全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題正題及答案-資料下載頁(yè)
2025-01-14 00:45本頁(yè)面
【正文】 由，知OC⊥BD.因?yàn)椤螩BF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因?yàn)镮是△ABD的內(nèi)心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD.故AB+AD = 2BD． …………（20分）13（甲）．解：設(shè)a－b = m（m是素?cái)?shù)），ab = n2（n是正整數(shù)）. 因?yàn)?(a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. …………（5分）因?yàn)?a－m+2n與2a－m－2n都是正整數(shù)，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m為素?cái)?shù))，所以 2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.解得 a，. 于是 = a－m. …………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因?yàn)閙是素?cái)?shù)，解得m≥89. 此時(shí)，a≥=2025.當(dāng)時(shí)，，.因此，a的最小值為2025. …………（20分）13（乙）．解：假設(shè)凸邊形中有個(gè)內(nèi)角等于，則不等于的內(nèi)角有個(gè)．（1）若，由，得，正十二邊形的12個(gè)內(nèi)角都等于； …………（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．當(dāng)時(shí)，存在凸邊形，其中的11個(gè)內(nèi)角等于，其余個(gè)內(nèi)角都等于，． …………（10分）（3）若，且≤≤．當(dāng)時(shí)，設(shè)另一個(gè)角等于．存在凸邊形，其中的個(gè)內(nèi)角等于，另一個(gè)內(nèi)角．由≤可得；由≥8可得，且． …………（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．當(dāng)時(shí)，存在凸邊形，其中個(gè)內(nèi)角等于，另兩個(gè)內(nèi)角都等于．綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為12；當(dāng)≥13時(shí)，的最大值為11；當(dāng)≤≤時(shí)，的最大值為；當(dāng)3≤≤7時(shí)，的最大值為． …………（20分）14（甲）．解：由于都是正整數(shù)，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是 ≤．…………（10分）當(dāng)時(shí)，令，則 .…………（15分） 當(dāng)時(shí)，其中≤≤，令 ，則 ．綜上，滿足條件的所有正整數(shù)n為． …………（20分）14（乙）．解：當(dāng)時(shí)，把分成如下兩個(gè)數(shù)組： 和 ． 在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得．在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得． 所以，≥． …………（10分）下面證明當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)條件．不妨設(shè)2在第一組，若也在第一組，則結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設(shè)在第二組. 同理可設(shè)在第一組，在第二組．此時(shí)考慮數(shù)8．如果8在第一組，我們?nèi)?，此時(shí)；如果8在第二組，我們?nèi)。藭r(shí)．綜上，滿足題設(shè)條件．所以，的最小值為． …………（20分）20120416人教網(wǎng)下載： 下載：
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