【正文】 CD，交點(diǎn)為E. 作BF⊥EC，并與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F. 若AE = AO，BC = 6，則CF的長(zhǎng)為 .（第10（甲）題）10（乙）．已知是偶數(shù)，且1≤≤100．若有唯一的正整數(shù)對(duì)使得成立，則這樣的的個(gè)數(shù)為 ．三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11（甲）．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有；關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于．求的取值范圍．11（乙）． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中， AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD與y軸交于點(diǎn)E，且S△COE = S△ADE. 已知經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.（第11（乙）題）12（甲）．如圖，的直徑為，過點(diǎn)，且與內(nèi)切于點(diǎn)．為上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．點(diǎn)在上，且，BE的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，求證：△BOC∽△．（第12（甲）題）12（乙）．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對(duì)角線， AC的中點(diǎn)I是△ABD的內(nèi)心. 求證：（1）OI是△IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）題）13（甲）．已知整數(shù)a，b滿足：a－b是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù). 當(dāng)a≥2012時(shí)，求a的最小值.13（乙）．凸邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于？并說明理由14（甲）．求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14（乙）．將（n≥2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)（可以相同）使得，求的最小值．2012年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（正題）參考答案 一、選擇題1（甲）．C解：由實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以 ． 1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由題設(shè)知，，所以.解方程組得 所以另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.2（乙）．B解：由題設(shè)x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2.因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以有解得以上共計(jì)9對(duì).3（甲）．D解：由題設(shè)知，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為 ，于是 .3（乙）．B解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE. （第3（乙）題）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE， BD = AE.又因?yàn)?，所?在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）．D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得消去x得 (2y－7)n = y+4，2n =.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以2y－7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11．從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負(fù)．由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，所以，即 . 由于都是正整數(shù)，所以，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此時(shí)都有. 于是共有7組符合題意． 5（甲）．D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對(duì)有9個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，所以，因此最大．5（乙）．C解：因?yàn)?，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘積不變．設(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，則，解得 ，．二、填空題6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的結(jié)果分別為3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得 27x－26≤487，81x－80＞487.解得 7＜x≤19.容易驗(yàn)證，當(dāng)7＜x≤19時(shí)，≤487 ≤487，故x的取值范圍是7＜x≤19．6（乙）．7解：由已知可得．7（甲）．8解：連接DF，記正方形的邊長(zhǎng)為2. 由題設(shè)易知△∽△，所以，由此得，所以.（第7（甲）題）在Rt△ABF中，因?yàn)?，所以，于?.由題設(shè)可知△ADE≌△BAF，所以 ，.于是 ，. 又，所以. 因?yàn)?，所?7（乙）．解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則．因?yàn)?，所以，．（?（乙）題）所以 .8（甲）．解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0． 又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，從而k=3. 此時(shí)方程為x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故==．8（乙）．1610解：因?yàn)?=.當(dāng)被5除余數(shù)是1或4時(shí)，或能被5整除，則能被5整除；當(dāng)被5除余數(shù)是2或3時(shí)，能被5整除，則能被5整除；當(dāng)被5除余數(shù)是0時(shí)， 不能被5整除.所以符合題設(shè)要求的所有的個(gè)數(shù)為．9（甲）．8解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為，由題設(shè)知，由此得0≤b≤43.又 ，所以. 于是0≤≤43，87≤≤130，由此得 ，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不合題設(shè).故．9（乙）． ≤1解：由題設(shè)得所以 ，即 .整理得，由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，得.又因?yàn)?≤1，所以≤1.10（甲）．解：如圖，連接AC，BD，OD. （第10（甲）題）由AB是⊙O的直徑知∠BCA =∠BDA = 90176。.依題設(shè)∠BFC = 90176。，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠BCF =∠BAD,所以 Rt△BCF∽R(shí)t△BAD ，因此 .因?yàn)镺D是⊙O的半徑，AD = CD，所以O(shè)D垂直平分AC，OD∥BC， 于是 . 因此.由△∽△，知．因?yàn)?，所?，BA=AD ，故.10（乙）. 12解：由已知有，且為偶數(shù)，所以同為偶數(shù)，于是是4的倍數(shù)．設(shè)，則1≤≤25．（Ⅰ）若，可得，與b是正整數(shù)矛盾．（Ⅱ）若至少有兩個(gè)不同的素因數(shù)，則至少有兩個(gè)正整數(shù)對(duì)滿足；若恰是一個(gè)素?cái)?shù)的冪，且這個(gè)冪指數(shù)不小于3，則至少有兩個(gè)正整數(shù)對(duì)滿足．（Ⅲ）若是素?cái)?shù)，或恰是一個(gè)素?cái)?shù)的冪，且這個(gè)冪指數(shù)為2，則有唯一的正整數(shù)對(duì)滿足．因?yàn)橛形ㄒ徽麛?shù)對(duì)，所以m的可能值為2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12個(gè)．三、解答題11（甲）．解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以，即，所以． …………（5分）當(dāng)時(shí)，≤；當(dāng)時(shí)，≤，即≤，且 ≤，解得≤． …………（10分）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得．因?yàn)椋?，解得，或．因此?…………（20分）11（乙）．解：因?yàn)閟in∠ABC=，所以AB = 10．由勾股定理，得 BO=.（第11（乙）題）易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6. 于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以 ，解得n=－4. 因此D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn) D的坐標(biāo)為（3，－4）. …………（10分）因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點(diǎn)E為△ABC的重心，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為.設(shè)經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y=a（x－6）（x+6）. 將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，解得a =. 故經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為. …………（20分）12（甲）． 證明：連接BD，因?yàn)闉榈闹睆?，所以．又因?yàn)?，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）題）…………（5分）設(shè)與交于點(diǎn)，連接OM，則．又因?yàn)?，所以?…………（15分）又因?yàn)榉謩e是等腰△，等腰△的頂角，所以△BOC∽△． …………（20分）12（乙）．證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知（第12（乙）題）所以 CI = CD．同理， CI = CB.故點(diǎn)C是△IBD的外心.連接OA，OC，因?yàn)镮是AC的中點(diǎn)，且OA = OC，所以O(shè)I⊥AC，即OI⊥CI.故OI是△IBD外接圓的切線. …………（10分）（2） 如圖，過點(diǎn)I作IE⊥AD于點(diǎn)E，設(shè)OC與BD交于點(diǎn)F. 由，知OC⊥BD.因?yàn)椤螩BF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因?yàn)镮是△ABD的內(nèi)心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD.故AB+AD = 2BD． …………（20分）13（甲）．解：設(shè)a－b = m（m是素?cái)?shù)），ab = n2（n是正整數(shù)）. 因?yàn)?(a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. …………（5分）因?yàn)?a－m+2n與2a－m－2n都是正整數(shù)，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m為素?cái)?shù))，所以2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.解得 a，. 于是 = a－m. …………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因?yàn)閙是素?cái)?shù)，解得m≥89. 此時(shí)，a≥=2025.當(dāng)時(shí)，，.因此，a的最小值為2025. …………（20分）13（乙）．解：假設(shè)凸邊形中有個(gè)內(nèi)角等于，則不等于的內(nèi)角有個(gè)．（1）若，由，得，正十二邊形的12個(gè)內(nèi)角都等于； …………（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．當(dāng)時(shí)，存在凸邊形，其中的11個(gè)內(nèi)角等于，其余個(gè)內(nèi)角都等于，． …………（10分）（3）若，且≤≤．當(dāng)時(shí)，設(shè)另一個(gè)角等于．存在凸邊形，其中的個(gè)內(nèi)角等于，另一個(gè)內(nèi)角．由≤可得；由≥8可得，且． …………（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．當(dāng)時(shí)，存在凸邊形，其中個(gè)內(nèi)角等于，另兩個(gè)內(nèi)角都等于．綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為12；當(dāng)≥13時(shí)，的最大值為11；當(dāng)≤≤時(shí)，的最大值為；當(dāng)3≤≤7時(shí)，的最大值為． …………（20分）14（甲）．解：由于都是正整數(shù)，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是 ≤．…………（10分）當(dāng)時(shí)，令，則 .…………（15分）當(dāng)時(shí)，其中≤≤，令 ，則 ．綜上，滿足條件的所有正整數(shù)n為． …………（20分）14（乙）．解：當(dāng)時(shí)，把分成如下兩個(gè)數(shù)組：和 ．在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得．在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得． 所以，≥． …………（10分）下面證明當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)條件．不妨設(shè)2在第一組，若也在第一組，則結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設(shè)在第二組. 同理可設(shè)在第一組，在第二組．此時(shí)考慮數(shù)8．如果8在第一組，我們?nèi)。藭r(shí)；如果8在第二組，我們?nèi)?，此時(shí)．綜上，滿足題設(shè)條件．所以，的最小值為． …………（20分）