20xx年“數(shù)學(xué)周報杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案-資料下載頁
2025-08-04 08:29本頁面
【正文】 設(shè)OC與BD交于點F．由，知OC⊥BD．因為∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以．所以BF = AE． 又因為I是△ABD的內(nèi)心，所以．故．也可由托勒密定理得：，再將代入即得結(jié)論。13（甲）．解：設(shè)a－b = m（m是素數(shù)），ab = n2（n是自然數(shù)）. 因為 (a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2， (2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. …………（5分）（1）當(dāng)時，因為2a－m+2n與2a－m－2n都是正整數(shù)，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m為素數(shù))，所以 2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.解得 a，. 于是 = a－m. …………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因為m是素數(shù)，解得m≥89. 此時，a≥=2025.當(dāng)時，，.此時，a的最小值為2025. （2）當(dāng)時，因為2012，所以，從而得a的最小值為2017（素數(shù)）。綜上所述，所求的a的最小值為2017?！?5分）13（乙）.解：設(shè)凸n邊形最多有k個內(nèi)角等于150176。，則每個150176。內(nèi)角的外角都等于30176。，而凸n邊形的n個外角和為360176。，所以，只有當(dāng)時，k才有最大值12. …………（5分）下面我們討論時的情況： （1）當(dāng)時，顯然，k的值是11； （2）當(dāng)時，k的值分別為1，2，3，4，5；（3）當(dāng)時，k的值分別為7，8，9，10. …………（10分）綜上所述，當(dāng)時，凸n邊形最多有個內(nèi)角等于150176。；當(dāng)時，凸n邊形最多有個內(nèi)角等于150176。；當(dāng)時，凸n邊形最多有12個內(nèi)角等于150176。；當(dāng)時，凸n邊形最多有11個內(nèi)角等于150176。. ……（15分）14（甲）．解：由于都是正整數(shù)，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是 ≤．…………（5分）當(dāng)時，令，則 .…………（10分） 當(dāng)時，其中≤≤，令 ，則 ．綜上，滿足條件的所有正整數(shù)n為． …………（15分）14（乙）.解：當(dāng)時，把分成如下兩個數(shù)組：和． 在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得．在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得． 所以，． 下面證明當(dāng)時，滿足題設(shè)條件．不妨設(shè)2在第一組，若也在第一組，則結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設(shè)在第二組． 同理可設(shè)在第一組，在第二組． 此時考慮數(shù)8．如果8在第一組，我們?nèi)?，此時；如果8在第二組，我們?nèi)?，此時．綜上，滿足題設(shè)條件．所以，的最小值為．（注：也可以通過考慮2，4，16，256，65536的分組情況得到n最小值為65536．）第 12 頁 共12頁
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