【正文】 ∥DC，所以 DAPBEAPFDnn 2222 ∽， 　∽ ????　從而有 AP222 ???? BEnDPBFAn，　即 　　所以 EF∥BDn2?　?、谟散倏芍?，所以 ，同理可證??nABSnSAFD21??? SnABE21???　　顯然 ，所以 ，2DCF 4CC　　從而知 ，已知 所以有SE2)4(1? ,83AEF?　　 ，即Sn283???? 83)2(41??n　　解方程得 n＝6。證明：①連結(jié) OC、OC 1，分別交 PQ、NP 于點(diǎn) D、E，根據(jù)題意得∠COC 1＝45176?！　　唿c(diǎn) O 到 AC 和 BC 的距離都等于 1，∴OC 是∠ACB 的平分線。　　∵∠ACB＝90176?！　唷螼CE＝∠OCQ＝45176?！　⊥怼螼C 1D＝∠OC 1N＝45176?！　唷螼EC＝∠ODC 1＝ 90176?！　　唷螩QP ＝ ∠CPQ ＝∠C 1PN＝∠C 1NP＝45176。　　∴△CPQ 和△C 1NP 都是等腰直角三角形?！　　唷螧NM＝∠C 1NP＝45176?！　　螦 1QK＝∠CQP ＝45176。　　∵∠B＝45176?！　　螦 1＝45176?！　　唷鰾MN 和△A 1KQ 都是等腰直角三角形?！　　唷螧 1ML＝∠BMN＝90176。，∠AKL＝∠A 1KQ＝90176。　　∴∠B 1＝45176。　　∠A＝45176。∴△B 1ML 和△AKL 也都是等腰直角三角形。②在 Rt△ODC 1 和 Rt△OEC 中，∵OD＝OE ＝1 ，∠COC 1＝45 176?！郞C＝OC 1＝ 　　∴CD＝C 1E＝ 122∴PQ＝NP＝2（ 1）＝2 2，CQ＝CP＝C 1P＝C 1N＝ （ 1）＝2－數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練（7）－32∴ 23)2(12?????CPQS延長 CO 交 AB 于 H∵CO 平分∠ACB ，且 AC＝BC∴CH⊥AB ，　∴CH ＝CO＋OH＝ +12∴AC＝BC＝A 1C1＝B 1C1＝ （ ＋1）＝2＋∴ 3)2(?????BS∵A 1Q＝BN＝（2+ ）－（2 2）－（2－ ）＝2∴KQ＝MN＝ ＝∴ 1)2(???BMNS∵AK＝（2+ ）－（2－ ）－ ＝2∴ )(?AKL241)3)(SSAKLBMNCPQABMNPQ???????　 　 　 　 　 　 　 － （　 　 　 　 　 　 ＝＝多 邊 形S初中數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練（10）（三角形的四心及性質(zhì)、平移、旋轉(zhuǎn)、覆蓋）　一、填空題：G 是△ABC 的重心，連結(jié) AG 并延長交邊 BC 于 D，若 △ABC 的面積為 6cm2，　則△BGD 的面積為（　　　 ）　A. 2cm 2 B. 3 cm2 AC BE圖 101數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練（7）－33C. 1 cm2 D. cm23如圖 101，在 Rt△ABC 中，∠C＝90176。，∠A＝30176。，∠C 的平分線與∠B 的外角的平分線交于 E 點(diǎn)，則∠AEB 是（　　?。. 50176。 B. 45176。 C. 40176。 D. 35176。在△ABC 中，∠ACB ＝90176。，∠A＝20176。，如圖 102，將△ABC 繞點(diǎn) C 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 α 到∠A’C’B’的位置，其中 A’、B’分別是 A、B 的對應(yīng)點(diǎn)，B 在 A’B’上，CA’交AB 于 D，則∠BDC 的度數(shù)為（　　?。. 40176。 B. 45176。C. 50176。 D. 60176。設(shè) G 是△ABC 的垂心，且 AG＝6，BG＝8，CG＝10，則三角形的面積為（　　?。. 58 B. 66 C. 72 D. 84如圖 103，有一塊矩形紙片 ABCD，AB＝8，AD＝6 ，將紙片折疊，使 AD 邊落在AB 邊上，折痕為 AE，再將 △AED 沿 DE 向右翻折，AE 與 BC 的交點(diǎn)為 F，△CEF的面積為（　　?。. 2 B. 4 C. 6 D. 8在△ABC 中，∠A＝45176。，BC ＝a，高 BE、CF 交于點(diǎn) H，則 AH＝（　　?。. B. C. a D. a212a2已知點(diǎn) I 是銳角三角形 ABC 的內(nèi)心，A B C 1 分別是點(diǎn) I 關(guān)于 BC、CA、AB 的對稱點(diǎn)，若點(diǎn) B 在△A 1B1C1 的外接圓上，則∠ABC 等于（　　?。. 30176。 B. 45176。 C. 60176。 D. 90176。已知 AD、BE、CF 是銳角△ABC 三條高線，垂心為 H，則其圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（　　?。. 6 B. 8 C. 10 D. 12二、填空題如圖 104，I 是△ABC 的內(nèi)心，∠A ＝40176。，則∠CIB＝＿＿在凸四邊形 ABCD 中，已知AB∶BC ∶CD ∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠ABC＝90176。，則ABCDA’B’α圖 102A BCDDAEBCADEBCF圖 103ACIB D圖 104AB CDED’圖 105數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練（7）－34∠DAB 的度數(shù)是＿＿＿＿＿如圖 105，在矩形 ABCD 中，AB＝5，BC ＝12，將矩形 ABCD 沿對角線對折，然后放在桌面上，折疊后所成的圖形覆蓋桌面的面積是＿＿＿＿＿＿＿在一個(gè)圓形時(shí)鐘的表面，OA 表示秒針，OB 表示分針（O 為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）若現(xiàn)在時(shí)間恰好是 12 點(diǎn)整，則經(jīng)過＿＿＿＿秒鐘后，△OAB 的面積第一次達(dá)到最大。已知等腰三角形頂角為 36176。，則底與腰的比值等于＿＿＿＿＿＿已知 AM 是△ABC 中 BC 邊上的中線，P 是△ABC 的重心，過 P 作 EF（EF∥BC ） ，分別交 AB、AC 于 E、F，則 ＝＿＿＿＿＿＿＿＿AFCB?三、解答題如圖 106，在正方形 ABCD 的對角線 OB 上任取一點(diǎn) E，過 D 作 AE 的垂線與 OA交于 F。求證：OE ＝OF數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練（7）－35在△ABC 中，D 為 AB 的中點(diǎn)，分別延長 CA、CB 到點(diǎn) E、F，使 DE＝DF，過E、F 分別作 CA、CB 的垂線相交于 P，設(shè)線段 PA、PB 的中點(diǎn)分別為 M、N?！∏笞C：①△DEM≌△DFN　　　?、凇螾AE＝∠PBF如圖 108，在△ABC 中，AB＝AC，底角 B 的三等分線交高線 AD 于 M、N ，邊 CN并延長交 AB 于 E。求證：EM∥BNAECBFDPM N圖 107AB CNMED圖 108數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練（7）－36如圖 109，半徑不等的兩圓相交于 A、B 兩點(diǎn)，線段 CD 經(jīng)過點(diǎn) A，且分別交兩于C、D 兩點(diǎn)，連結(jié) BC、CD，設(shè) P、Q、K 分別是 BC、BD、CD 中點(diǎn) M、N 分別是弧BC 和弧 BD 的中點(diǎn)。　求證：① BNPM?　　　?、凇鱇PM∽△NQKABC DM NKP Q圖 109數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練參考答案（10）－37數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練（10）參考答案一、選擇題解： 。選 C。)(12312cmSSABCABDBG??????解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90176。，∠A ＝30176。，則∠ABC ＝60176。，因?yàn)?EB 是∠B 的外角的平分線，所以∠ABE＝60176。，因?yàn)?E 是∠C 的平分線與 ∠B 的平分線的交點(diǎn)，所以 E 點(diǎn)到 CB 的距離等于 E 到 AB 的距離，也等于 E 點(diǎn)到 CA 的距離，從而 AE是∠A 的外角的平分線?！　∷?，∠AEB＝180176。－60176。－75176。＝45176。應(yīng)選 B。???75210B解：依題意在等腰三角形 B′CB 中，有∠B′CB＝α ，∠B ′＝90176。－20176。＝70176?！　∷?α＝180176。－270176。＝40176。，即∠DCA＝α＝40176。，　從而∠BDC＝∠DCA＋∠A＝40176。＋20176。＝60176。應(yīng)選 D。解：設(shè) AD 為中線，則 DG＝ AG＝3，延長 GD 到 G′，DG＝DG ′＝3，21　　 。應(yīng)選 C。723468??????? BCABCGB SS　 　 　解：由折疊過程知，DE＝ AD＝6，∠DAE ＝∠CEF ＝45176。，所以△CEF 是等腰直角三角形，且 EC＝8－6＝2，所以 S△CEF ＝2。故選 A。解：取△ABC 的外心及 BC 中點(diǎn) M，連 OB、OC、OM，由于∠A＝45176。，故∠BOC＝90176。， OM＝ a，由于 AH＝2OM，AH ＝a。應(yīng)選 C。1解：因?yàn)?IA1＝IB 1＝IC 1＝ 2r（r 為△ABC 的內(nèi)切圓半徑） ，所以 I 點(diǎn)同時(shí)是△A 1B1C1的外接圓的圓心，設(shè) IA1 與 BC 的交點(diǎn)為 D，則 IB＝IA 1＝ 2ID，所以∠IBD＝30176。同理，∠IBA＝30176。，于是∠ABC＝60176。故選 C。圖中有 6 個(gè)直角，每一個(gè)直角對應(yīng)兩個(gè)直角三角形，共有 12 個(gè)直角三角形：△ADB、△ADC、△BEA、△CFA、△CFB、△HDB、△HDC 、△HEC、△HEA、△HFA、　 　　　　△BEC、△ HFB。故選 D。二、填空題解： ?????????102490 290)2()(　 　 　 ACBAICBDI數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練參考答案（10）－38解：連 AC，即 AD＝a，則在等腰 Rt△ABC 中　　 2222)3(8ADCaBCA????　　有∠CAD＝90176。　∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝90176。+45 176。＝135176。解：設(shè)折疊后所成圓形覆蓋桌面的面積為 S，則：　 ECABSSEC AECBDAD2511????? ??矩 形 由 Rt△ABE ≌Rt △CD 1E　 知 EC＝AE　設(shè) EC＝x，則 ，即22x?2)1(5x???　解得： 482035154869469 ???????SSAEC　 　　 　解：答： 。51　　設(shè) OA 邊上的高為 h，則 h≤OB，所以 OBAhOAB???2　　當(dāng) OA⊥OB 時(shí)，等號成立，此時(shí)△OAB 的面積最大?！　≡O(shè)經(jīng)過 t 秒時(shí)，OA 與 OB 第一次垂直，又因?yàn)槊脶?1 秒鐘旋轉(zhuǎn) 6 度，分針 1 秒鐘旋轉(zhuǎn) 度，于是（6－）t ＝90，解得 t= 。59解：設(shè)等腰三角形底邊為 a，腰為 b，作底角∠B 的平分線交 AC 于 D，則　　 　∴△BCD、△DAB 均為等腰三角形。??????70)318(2B　　BD＝AD＝BC＝a ，而 CD＝b－a　　由△BCD∽△ABC 　　∴ abBCDA??　 　 即　　則有 （取正）21501)(2???bb　 　 解 得解：如圖分別過 B、C 兩點(diǎn)作 BG、CK 平行于 AM 交直線EF 于 G、K，則有 APKFEGA?　 　　兩式相加 又梯形 BCKG 中，PM＝FE??（BG+CK） ，而由 P 為重心得 AP＝2PM21AB M CKFDEG數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練參考答案（10）－39　故 12??PMAFCEB三、解答題證明：∵正方形 ABCD　　　　　∴OA⊥DE　　　　　∵DF⊥AE　　∴F 是△DAE 的垂心　　　　　∴EF⊥AD　　∴EF ∥AB　　　　　∵OA＝OB　　∴OE＝OF證明：①如圖，據(jù)題設(shè)可知 DM 平行且等于 BN，DN 平行且等于 AM，　　　　　∴∠AMD＝∠BND　　　　　∵M(jìn)、N 分別是 Rt△AEP 和 Rt△BFP 斜邊的中點(diǎn)　∴EM＝AM＝DN　FN ＝BN＝DM又已知 DE＝DF　　∴△DEM≌△DFN②由上述全等三角形可知∠EMD ＝∠FND　　∴∠AME＝∠BNF而△AME、△BNF 均為等腰三角形∴∠PAE＝∠PBF。證明：連結(jié) MC　∵AB ＝BC，AD⊥BC　∴∠1＝∠2 ＝∠3　　　　∵∠4＝∠5＝∠6　又∵∠7＝∠8　∴M 是△AEC 的內(nèi)心　　　　∴EM 是∠AEN 的平分線 　∴ MNAE?　　　　又∵∠EBN＝2∠NBD＝2∠1　　　　　　∠ENB＝∠NBD＋∠4＝2∠1　　　　　∴EB＝EN　∴ 　　∴EN∥BN　　　　　BA證明：①如圖：　　因?yàn)?M 是 的中點(diǎn)，P 是 BC 的中點(diǎn)，所以⌒ CMP⊥BC ，∠BPM＝90176。，連結(jié) AB，則有∠PBM＝ ∠CAB＝ （180176。21－∠DAB）＝90176。－ ∠DAB＝90176。－∠NBD＝∠QNB。21　　所以 Rt△ BPM∽Rt △NQB。于是有 BQNP?　?、谝?yàn)?KP∥BD ，且 KP＝ BD＝BQ，所以，四邊形 PBQK 是平行四邊形。于是，21AB CNMED4123 5 67 8數(shù)學(xué)競賽專項(xiàng)訓(xùn)練參考答案（10）－40有 BP＝ KQ　BQ＝KP　由式①得 。又∠KPM＝∠KPB＋90176。KPNQM?＝∠KQB＋90176。＝∠NQK，所以 △KPM ∽△NQK