20xx年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案-資料下載頁(yè)
2025-08-05 00:01本頁(yè)面
【正文】 （第12題答題（ii））（第12題答題（i））（ii）若△為鈍角三角形．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由，可得，于是? 當(dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，因?yàn)?，所以由，可得，于是．（iii）若△為直角三角形．當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，不可能共圓，所以不可能等于；當(dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，此時(shí)點(diǎn)B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角．綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及．13．設(shè)，是素?cái)?shù)，記，當(dāng)時(shí)，，能否構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)？證明你的結(jié)論．【解答】不能．依題意，得．因?yàn)椋裕钟捎跒檎麛?shù)，為素?cái)?shù)，所以或，．當(dāng)時(shí)，．進(jìn)而，，與，是素?cái)?shù)矛盾；當(dāng)時(shí)，所以，不能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)．14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，在中都至少有一個(gè)為m的魔術(shù)數(shù)．【解答】若n≤6，取1，2，…，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中的一個(gè)正整數(shù)M是≤＜≤7的公共的魔術(shù)數(shù)，即7|()，7|()．則有7|()，但0＜≤6，矛盾．故n≥7．又當(dāng)為1，2，…，7時(shí)，對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，設(shè)其為位數(shù)（為正整數(shù)）．則（…，7）被7除的余數(shù)兩兩不同．若不然，存在正整數(shù)，≤＜≤7，滿足7|[(，即，從而7|，矛盾．故必存在一個(gè)正整數(shù)≤≤7，使得7|(，即為m的魔術(shù)數(shù)．所以，n的最小值為7． 第 7 頁(yè) 共 7
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