初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-文庫(kù)吧
2025-06-28 10:20 本頁面
【正文】 倍。 【分析】若角平分線過 O，則 P、 M 重合， PM=0，結(jié)論顯然成立。 若角平分線不過 O，則延長(zhǎng)DO 至 D‘ ，使 OD’=OD ，則只需證 DD‘=PM 。連結(jié) D’P 、 DM，則只需證 DMPD‘ 為平行四邊形。 過 O作 m⊥PK ，則 D D’,KP， ∴∠D‘PK=∠DKP BL 平分 ∠ABC ， MK⊥BL→BL 為 MK 的中垂線 →∠DKB=∠DMK ∴∠D’PK=∠DMK ， ∴D‘P∥DM 。而 D’ D∥PM ， ∴DMPD‘ 為平行 四邊形。 【例 6】在 △ABC 中， AP 為 ∠A 的平分線， AM 為 BC 邊上的中線，過 B 作 BH⊥AP 于 H，AM 的延長(zhǎng)線交 BH 于 Q，求證： PQ∥AB 。 【分析】方法 結(jié)合中線和角平分線的性質(zhì)，考慮用比例證明平行。 倍長(zhǎng)中線：延長(zhǎng)AM 至 M’ ，使 AM=MA‘ ，連結(jié) BA’ ，如圖 61。 PQ∥AB← ← ← ← ∠A‘BQ=180176。 (∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180176。 90176。 ∠CAP=90176。 ∠BAP=∠ABQ 方法 結(jié)合角平分線和 BH⊥AH 聯(lián)想對(duì)稱知識(shí)。 延長(zhǎng) BH 交 AC 的延長(zhǎng)線于 B’ ，如圖 62。則 H 為 BB‘ 的中點(diǎn)，因?yàn)?M 為 BC 的中點(diǎn)，連結(jié) HM，則 HM∥B /C。延長(zhǎng) HM交 AB于 O，則 O為 AB的中點(diǎn)。延長(zhǎng) MO至 M’ ，使 OM‘=OM ，連結(jié) M’A 、 M‘B ，則 AM’BM 是平行四邊形 ， ∴MP∥AM‘ ， QM∥BM’ 。于是， ，所以 PQ∥AB 。 【例 7】 菱形 ABCD 的內(nèi)切圓 O 與各邊分別切于 E、 F、 G、 H，在 EF 與 GH 上分別作 ⊙O 的切線交 AB 于 M，交 BC 于 N，交 CD 于 P，交 DA 于 Q。 求證： MQ∥NP 。（ 95 年全國(guó)聯(lián)賽二試 3） 【分析】由 AB∥CD 知：要證 MQ∥NP ，只需證 ∠AMQ=∠CPN ， 結(jié)合 ∠A=∠C 知，只需證 △AMQ∽△CPN← ， AM178。CN=AQ178。CP 。 連結(jié) AC、 BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心 O。設(shè) MN 與 ⊙O 切于 K，連結(jié) OE、 OM、 OK、 ON、 OF。記 ∠ABO=φ ， ∠MOK=α ， ∠KON=β ，則 ∠EOM=α ， ∠FON=β ， ∠EOF=2α+2β=180176。 2φ 。 ∴∠BON=90176。 ∠NOF ∠COF=90176。 β φ=α ∴∠CNO=∠NBO +∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM 又 ∠OCN=∠MAO ， ∴△OCN∽△MAO ，于是 ， ∴AM178。CN=AO178。CO 同理， AQ178。CP=AO178。CO 。 【例 8】 ABCD 是圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角線交于 P， M、 N 分別是 AD、 BC 的中點(diǎn)，過 M、N 分別作 BD、 AC 的垂線交于 K。求證： KP⊥AB 。 【分析】延長(zhǎng) KP 交 AB 于 L，則只需證∠PAL+∠APL=90176。 ， 即只需證 ∠PDC+∠KPC=90176。 ，只需證∠PDC=∠PKF ， 因?yàn)?P、 F、 K、 E 四點(diǎn)共圓，故只需證∠PDC=∠PEF ，即 EF∥DC 。 ← ← ←△DME∽△CNF 【例 9】以 △ABC 的邊 BC 為直徑作半圓，與 AB、 AC 分別交于點(diǎn) D、 E。過 D、 E 作 BC的垂線，垂足分別是 F、 G，線段 DG、 EF 交于點(diǎn) M。求證： AM⊥BC 。 【分析】連結(jié) BE、CD 交于 H，則 H為垂心，故AH⊥BC 。（同一法） 設(shè) AH⊥BC 于 O，DG、 AH 交于 M1，EF、 AH 交于 M2。下面證 M M2重合。 OM1∥DF→ →OM 1= 。 OM2∥EG→ →OM 2= 。 只需證 OGDF=EGOF ，即←Rt △ OEG∽ Rt△
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