【正文】 o s2s i n22c o s2s i n2)s i n (s i ns i n??????????????????????? 2s i n12c o s12c o s2c o s????????????? ?cos1 2?? aPFPF 221 ??? )(44 222221 bacFF ??? ??c o s12c o s122222222????????baabaa 即 2222cos a ab ??? . 因為 ????0 ，所以 2222a rc c os a ab ??? . 當點 P 在 長 軸 上 的 端 點 時 ， 0?? ， 這 時 ， 21PFF? 不 存 在 ， 因 此 ，)12a rc c os (0 22 ??? ab?[4]. 性質(zhì) 4 離心率 .2cos2cos???????e 證明：由正弦定理，有 )s i n(s i ns i ns i n 212121 ????? ???? FFFFPFPF 2c o s2s i n22c o s2s i n2s i ns i n)s i n (2121???????????????????? ???? PFPF FF .2c o s2c o s????????? eac 例 5 （ 2022 年福建高考題）已知 1F 、 2F 是橢圓的兩個焦點，過 1F 且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 A 、 B 兩點，若 2ABF? 是正三角形，求這個橢圓的離心率 [5]. 分析：由 2ABF? 是正三角形可知 12 2 AFAF ? ，根據(jù)橢圓的第一定義可求得aAF 2322 ?? .再由22130cos AFFF?? 可求得離心率 4解題，求解更簡便． 解：根據(jù)已知條件有 .30,90 2121 ?? ???? AFFFAF （如圖 3） .3330c os60c os23090c os23090c os2c os2c os ????????? ??????????e F 2F 1yxOBA 圖 3 性質(zhì) 5 ee???? 112ta n2ta n ?? . 證明：由正弦定理，有 ??? sinsinsin 2121 FFPFPF ?? ?? ???? ? s i ns i n )s i n(s i ns i n s i n21 21 ? ?????? PFPF FF ?????? ?? ?? s ins in )s in(ace2c o s2sin22c o s2sin2???????????? 2s i n2s i n2c os2c os2s i n2s i n2c os2c os2c os2c os ?????????????????????? 2tan2tan12tan2tan1????????? ee????? 112ta n2ta n ?? . 例 6 如圖 4， P 是橢圓 12222 ?? byax 上一點， 1F 、 2F 是焦點，已知,2, 1221 ?? ???? FPFFPF 求橢圓的離心率 [6]． F 2F1POyx 圖 4 分析：知道 ,2, 1221 ?? ???? FPFFPF 我們可以直接利用性質(zhì) 5解題． 解：由性質(zhì) 5有 eeee???????????11c o s2c o s2s i nc o ss i n2c o s2s i n1122tan2tan22????????? ee?????? 11c osc os c os122 ?? ? 化簡，得 .1cos2 ?? ?e 雙曲線焦點三角形的性質(zhì) 以雙曲線 )0,0(12222 ???? babyax 的兩個焦點 1F 、 2F 及雙曲線上任意一點 P （除實軸上兩個端點外）為頂點的 21PFF? ，叫做雙曲線的焦點三角形 [7]. 設(shè) 21PFF? =? ， 21FPF? =? ， 12FPF? =β，雙曲線的離心率為 e ，則有以下性質(zhì)： O F 2F 1Pyx 圖 5 性質(zhì) 1 .c os1 2 221 ???? bPFPF 證明：在 21PFF? 中，由余弦定理，有 22221 ?? PFPF ??? ?cos21 PFPF 2221 )2( cFF ? ① aPFPF 221 ??? 2212221 42 aPFPFPFPF ????? ② 由①②得 .c os1 2 221 ???? bPFPF 例 1 設(shè) 1F 和 2F 為雙曲線 1916 22 ?? yx 的兩個焦點，點 P 在雙曲線上且滿足??? 9021PFF ，求 21PFF? 的面積 . 解： 1890c os1 92c os1 2 221 ?? ????? ??bPFPF? 990s in21 21 ?????? ?PFPFS . 性質(zhì) 2 2cot221???? bS PFF . 證明：由性質(zhì) 1得 ?s in212121 ????? PFPFS PFF ?? sincos1 221 2 ???? b ??cos1 sin2 ???b ??? sincos12tan ??? ??? cos1 sin2cot ??? 2c ot221 ???? ? bS PFF . 例 2 已知點 1F （ 0,2? ）、 2F （ 0,2 ），動點 P 滿足 212 ?? PFPF .當點 P 的縱坐標是 21 時，若令 ??? 21PFF ，求 2cot? 的 值． 解：由雙曲線的第一定義可知點 P的軌跡方程為 ).0(122 ??? xyx 則 2,1 22 ?? cb .所以 222122121 ????? cS PFF .222cot222cot2???????b 例 3 設(shè)點 )0)(,( 000 ?yyxP 是雙曲線 )0,0(12222 ???? babyax 上任一點，且,21 ??? PFF 求證： .2cot20 ???? cby 分析：此題根據(jù)已知條件列方程求解，計算量大且過程繁瑣，應另外尋求解法，由于 0y和 21PFF? 的高相等，不妨從 21PFF? 的面積入手進行求解 . 證明：0212121 yFFS PFF ????? 2cot221???? bS PFF 2c ot221 20 ?????? byc 00 ?y? .2c ot20 ????? cby 性質(zhì) 3 離心率 2sin2sin???????e （ ??? ） . 證明：由正弦定理，有 )s i n(s i ns i ns i n 212121 ????? ???? FFFFPFPF ?? sinsin ?? .)s in(s ins in 2121 ???? ????? FFPFPF 即 ????2s in2c o s???? a2co s2sin???? ??? c 又 02c os, ????? ?????o 2sin2sin????????? ace . 例 4 （ 2022年上海高考題） 如圖 6，已知 1F 、 2F 為雙曲線 )0,0(12222 ???? babyax的焦點，過 2F 作垂直于 x軸的直線交雙曲線于點 P ，且 ??? 3021FPF .求雙曲線的漸近線方程． 分析：由于雙曲線的漸近線方程為 xaby ?? ，若能求出 a ,b 的值，漸近線方程就可確定 .在此題中，我們不易求出 a , b 的值，我們將 xaby ?? 作一下變形，2222 222222 )1( xexa acxaby ???????? ，若能求出 e的值，則漸近線方程就求出．知道??? 3021FPF ， ??? 9012 FPF ，利用 性質(zhì) 4可求 e. F 2F 1PO xy圖 6 解： 330s in60s in2s in2s in ????? ??????e? .22 22xyxy????? 性質(zhì) 4 （ 1）當 P點在雙曲線右支上時 .112c ot2tan ???? ee?? （ 2）當 P點在雙曲線左支上時 .112c ot2tan ???? ee?? 證明：（ 1）當 P點在雙曲線右支上時 .221 aPFPF ?? 由正弦定理，有 ??? sinsinsin 2121 FFPFPF ?? )s i n (s i ns i n22)s i n (s i ns i ns i ns i ns i n2121??????????????????????caFFPFPF ?????? ?? ?? s ins in )s in(ace2sin2c o s22c o s2sin2???????????? 2s i n2c os2c os2s i n2s i n2c os2c os2s i n2s i n2s i n?????????????????????? 2cot2tan12cot2tan1????????? .112c ot2tan ????? ee?? 例 5（ 2022年福建高考題）已知 1F 、 2F 是雙曲線 )0,0(12222 ???? babyax 的兩焦點，以線段 21FF 為邊作正三角形 21FMF ，若邊 1MF 的中點在雙曲線上，求雙曲線的離心率 [8]. MF 2 F1ONyx 圖 7 解：連接 NF2 ，則 ??? 3012 FNF ??? 6021FNF 所以 .13113)32(3230tan45tan130tan45tan)3045t a n (15tan1130c o t15tan.11260c o t230tan????????????????????????????????????eeeeeee? 3圓錐曲線焦點弦的性質(zhì) 性質(zhì) 1 過橢圓 一個焦點 F 的直線與橢圓交于點 P 、 Q ， 1A 、 2A 為橢圓長軸上的頂點， PA1 和 QA2 交于點 N ， PA2 和 QA1 交于點 M ，則 NFMF? . FQA 2A 1PMNOyx圖 8 證明：如圖，設(shè)橢圓的方程為 )0(12222 ???? babyax ，則可設(shè)點 F 的坐標為 ),0,( c?點 P 、 Q 的坐標分別為 )sin,cos( ?? ba ， )sin,cos( ?? ba ，則 PA1 的方程為 ).()c os1( s in axa by ???? ?? ① QA2 的方程為