屆人教a版高三數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)綜合檢測試卷(二)含答案-資料下載頁
2025-01-09 10:45本頁面
【正文】 k2－ 80 即 k2 2時，方程 h(x)＝ 0 有兩個不等的實根 x1＝ k－ k2－ 82 0， x2＝k＋ k2－ 82 0. 若 x1xx2，則 h(x)0， ∴ φ′ (x)0， ∴ φ(x)在區(qū)間 (x1， x2)上遞減； 若 xx2或 0xx1，則 h(x)0， ∴ φ′ (x)0， ∴ φ(x)在區(qū)間 (0， x1)和 (x2，＋ ∞ )上遞增 ． 綜上可知：當(dāng) 0k≤ 2 2時， φ(x)的遞增區(qū)間為 (0，＋ ∞ )； 當(dāng) k2 2時， φ(x)的遞增區(qū)間為 (0， k－ k2－ 82 )和 (k＋ k2－ 82 ，＋ ∞ )，遞減區(qū)間為 (k－ k2－ 82 ，k＋ k2－ 82 )． (2)∵ x≥ e， ∴ xln x≥ ax－ a? a≤ xln xx－ 1. 令 p(x)＝ xln xx－ 1， x∈ [e，＋ ∞ )，則 p′ (x)＝ x－ ln x－ 1?x－ 1?2 . ∵ 當(dāng) x≥ e 時， (x－ ln x－ 1)′ ＝ 1－ 1x0， ∴ 函數(shù) y＝ x－ ln x－ 1 在 [e，＋ ∞ )上是增函數(shù)， ∴ x－ ln x－ 1≥ e－ ln e－ 1＝ e－ 20， p′ (x)0， ∴ p(x)在 [e，＋ ∞ )上是增函數(shù)， ∴ p(x)的最小值為 p(e)＝ ee－ 1， ∴ a≤ ee－ 1. 22． 解 (1)∵ 雙曲線 C2： x22－ y2＝ 1 的頂點為 F1(－ 2， 0)， F2( 2， 0)， ∴ 橢圓 C1的兩焦點分別為 F1(－ 2， 0)， F2( 2， 0)． 設(shè)橢圓 C1的方程為 x2a2＋y2b2＝ 1 (ab0)， ∵ 橢圓 C1過點 A(－ 2， 1)， ∴ 2a＝ |AF1|＋ |AF2|＝ 4，得 a＝ 2. ∴ b2＝ a2－ ( 2)2＝ 2. ∴ 橢圓 C1的方程為 x24＋y22＝ 1. (2)設(shè)點 Q(x， y)，點 P(x1， y1)， 由 A(－ 2， 1)及橢圓 C1關(guān)于原點對稱可得 B( 2，－ 1)， ∴ AQ→ ＝ (x＋ 2， y－ 1)， AP→ ＝ (x1＋ 2， y1－ 1)， BQ→ ＝ (x－ 2， y＋ 1)， BP→ ＝ (x1－ 2， y1＋ 1)． 由 AQ→ AP→ ＝ 0， 得 (x＋ 2)(x1＋ 2)＋ (y－ 1)(y1－ 1)＝ 0， 即 (x＋ 2)(x1＋ 2)＝－ (y－ 1)(y1－ 1)． ① 同理，由 BQ→ BP→ ＝ 0， 得 (x－ 2)(x1－ 2)＝－ (y＋ 1)(y1＋ 1)． ② ① ② ，得 (x2－ 2)(x21－ 2)＝ (y2－ 1)(y21－ 1)． ③ 由于點 P 在橢圓 C1上，則 x214＋y212＝ 1，得 x21＝ 4－ 2y21， 代入 ③ 式，得－ 2(y21－ 1)(x2－ 2)＝ (y2－ 1)(y21－ 1)． 當(dāng) y21－ 1≠ 0 時，有 2x2＋ y2＝ 5， 當(dāng) y21－ 1＝ 0 時，點 P(－ 2，－ 1)或 P( 2， 1)，此時點 Q 對應(yīng)的坐標(biāo)分別為 ( 2， 1)或 (－ 2，－ 1)，其坐標(biāo)也滿足方程 2x2＋ y2＝ 5. 當(dāng)點 P 與點 A 重合時，即點 P(－ 2， 1)， 由 ② 得 y＝ 2x－ 3. 解方程組 ??? 2x2＋ y2＝ 5，y＝ 2x－ 3， 得點 Q 的坐標(biāo)為 ( 2，－ 1)或 ?? ??22 ，－ 2 . 同理，當(dāng)點 P 與點 B 重合時，可得點 Q 的坐標(biāo)為 (－ 2， 1)或 ?? ??－ 22 ， 2 . ∴ 點 Q 的軌跡方程為 2x2＋ y2＝ 5，除去四個點 ( 2，－ 1)， ?? ??22 ，－ 2 ， (－ 2， 1)， ?? ??－ 22 ， 2 . (3)點 Q 到直線 AB： x＋ 2y＝ 0 的距離為 |x＋ 2y|3 . △ ABQ 的面積為 S＝ 12 ? 2＋ 2?2＋ ?－ 1－ 1?2|x＋ 2y|3 ＝ |x＋ 2y|＝ x2＋ 2y2＋ 2 2xy. 而 2 2xy＝ 2 (2x) ?? ??y2 ≤ 4x2＋ y22 (當(dāng)且僅當(dāng) 2x＝y(tǒng)2時等號成立 )， ∴ S＝ x2＋ 2y2＋ 2 2xy≤ x2＋ 2y2＋ 4x2＋ y22 ＝ 5x2＋ 52y2＝ 5 22 (當(dāng)且僅當(dāng) 2x＝ y2時，等號成立 )． 由????? 2x＝ y2，2x2＋ y2＝ 5，解得????? x＝ 22 ，y＝ 2，或????? x＝－ 22 ，y＝－ 2. ∴△ ABQ 的面積的最大值為 5 22 ，此時，點 Q 的坐標(biāo)為 ?? ??22 ， 2 或 ?? ??－ 22 ，－ 2 .
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