高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科課件數(shù)列的綜合運(yùn)用-資料下載頁
2025-01-09 13:20本頁面
【正文】 (1 ＋ r)n － 1＋ ? ＋ an － 1(1 ＋ r)2＋ an(1 ＋ r) ， ② ② － ① ，得 rTn＝ a1(1 ＋ r)n＋ d [ ( 1 ＋ r)n － 1＋ (1 ＋ r)n － 2＋ ? ＋ (1 ＋r ) ] － an＝dr[(1 ＋ r)n－ 1 － r] ＋ a1(1 ＋ r)n－ an， 即 Tn＝a1r ＋ dr2 (1 ＋ r)n－drn －a1r ＋ dr2 . 如果記 An＝a1r ＋ dr2 (1 ＋ r)n， Bn＝－a1r ＋ dr2 －drn ， 則 Tn＝ An＋ Bn. 其中 {An} 是以a1r ＋ dr2 (1 ＋ r) 為首項(xiàng)， 1 ＋ r ( r ＞ 0) 為公比的等比數(shù)列； {Bn} 是以－a1r ＋ dr2 －dr為首項(xiàng)，－dr為公差的等差數(shù)列． 點(diǎn)評(píng) 數(shù)列的遞推應(yīng)用問題往往是以一定的實(shí) 際問題作為背景進(jìn)行命題，本題以社會(huì)熱點(diǎn)問題 —— 養(yǎng)老儲(chǔ)備金為背景，綜合等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法等相關(guān)知識(shí)，考查考生閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力．在構(gòu)造數(shù)列模型時(shí)，最容易忽視的是哪一項(xiàng)是數(shù)列的首項(xiàng)，例如本題中第 n 年末是數(shù)列的第 n 項(xiàng)還是第 n ＋ 1 項(xiàng)，同時(shí)還需要弄清楚是等差數(shù)列、等比數(shù)列模型還是遞推數(shù)列模型，是求 an還是求 Sn等 . 變式遷移 7 △ O B C 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 O ( 0 , 0 ) 、 B ( 1 , 0 ) 、 C( 0 , 2 ) ，設(shè)P1為線段 BC 的中點(diǎn)， P2為線段 CO 的中點(diǎn)， P3為線段 OP1的中點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù) n ， Pn ＋ 3為線段 PnPn ＋ 1的中點(diǎn)，令 Pn的坐標(biāo)為 (xn，yn) ， an＝12yn＋ yn ＋ 1＋ yn ＋ 2. ( 1 ) 求 a1， a2， a3及 an； ( 2 ) 證明： yn ＋ 4＝ 1 －14yn， n ∈ N*； ( 3 ) 若記 bn＝ y4n ＋ 4－ y4n， n ∈ N*，證明： {bn} 是等比數(shù)列． 解析 ( 1 ) 因?yàn)?y1＝ y2＝ y4＝ 1 ， y3＝12， y5＝34， 所以 a1＝ a2＝ a3＝ 2 ， 又由題意可知 yn ＋ 3＝y(tǒng)n＋ yn ＋ 12， 得到 an ＋ 1＝12yn ＋ 1＋ yn ＋ 2＋ yn ＋ 3＝12yn ＋ 1＋ yn ＋ 2＋yn＋ yn ＋ 12＝12yn＋ yn＋ 1 ＋ y n ＋ 2 ＝ a n ， 所以 {an} 為常數(shù)列，即 an＝ a1＝ 2 ， n ∈ N*. ( 2 ) 證明：將等式12yn＋ yn ＋ 1＋ yn ＋ 2＝ 2 兩邊同除以 2 ，得14yn＋yn ＋ 1＋ yn ＋ 22＝ 1 ， 又 yn ＋ 4＝y(tǒng)n ＋ 1＋ yn ＋ 22，所以14yn＋ yn ＋ 4＝ 1 ， 即 yn ＋ 4＝ 1 －14yn， n ∈ N*. ( 3 ) 證明：因?yàn)?bn ＋ 1＝ y4n ＋ 8－ y4n ＋ 4＝ (1 －14y4n ＋ 4) － (1 －14y4n) ＝－14(y4n ＋ 4－ y4n) ＝－14bn， 又 b1＝ y8－ y4＝－14≠ 0 ，所以 {bn} 是首項(xiàng)為－1公比為－14的等比數(shù)列 . 方 法 路 路 通 1 ．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長率、利率 ( 復(fù)利 ) 以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知 識(shí)建立數(shù)學(xué)模型． 2 ．在試題中常用的數(shù)學(xué)模型有 ① 構(gòu)造等差、等比數(shù)列模型，然后再應(yīng)用數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求解； ② 用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式求解； ③ 通過歸納得到結(jié)論，用數(shù)列知識(shí)求解． 3 ．建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟是： ( 1 ) 認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求： ① 明確問題屬于哪類應(yīng)用問題； ② 弄清題目中的主要已知事項(xiàng)； ③ 明確所求的結(jié) 論是什么． ( 2 ) 抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)． ( 3 ) 將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式 ( 如函數(shù)關(guān)系式、方程、不等式 ) ． 4 ．建立數(shù)列模型時(shí)，應(yīng)明確是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型，還是遞推數(shù)列模型？是求 an還是求 Sn， n 是多少？ 正 誤 題 題 辨 例一個(gè)球從 100 米高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半落下，當(dāng)它第 10 次著地時(shí)， 共經(jīng)過了多少米？ 錯(cuò)解 因球每次著地后跳回到原高度的一半，從而每次著地之間經(jīng)過的路程形成一公比為12的等比數(shù)列，又第一次著地時(shí)經(jīng)過了100 米，故當(dāng)它第 10 次著地時(shí)，共經(jīng)過的路程應(yīng)為其前 10 項(xiàng)之和．即： S10＝1 0 0 [ 1 － ?12?10]1 －12≈ 1 9 9 ( 米 ) 點(diǎn)擊 上述解法中，忽略了球落地一次的路程有往有返的情況． 正解 球第一次著地時(shí)經(jīng)過了 1 0 0 米，從這時(shí)到球第二次著地時(shí)，一上一下共經(jīng)過了 2 1002＝ 1 0 0 ( 米 ) ，從這時(shí)到球 第三次著地時(shí)經(jīng)過了 2 10022 ＝ 50( 米 ) ?? .因此到球第十次著地時(shí)共經(jīng)過的路程為： 100 ＋ 100 ＋1002＋10022 ＋ ? ＋10028 可見從第一次著地開始，每一次著地經(jīng)過的路程形成一等比數(shù)列，故到球第 10 次著地時(shí)總共經(jīng)過的路程為： 100 ＋1 0 0 [ 1 － ?12?9]1 －12≈ 300 米．
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