[理學(xué)]高等代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題答案-資料下載頁
2025-01-09 01:19本頁面
【正文】 4321 ??????? nxxxxxx ?代入即得 4??a . 2．證明：設(shè) ),( 21 naaaf ? 為關(guān)于 naaa , 21 的任意對(duì)稱多形式，則由基本定律 知 ),(),( 1121 ???? nn gaaaf ?? ?? ，其中 11 , ??? n?? ? 關(guān)于 naaa , 21 的全部初等對(duì)稱多項(xiàng)式 .顯然 nnn xxa ???????? 111122111 , ?????????? ??，再由根與系數(shù)的關(guān)系 得出上式中的 i?? 是關(guān)于 1a 的多項(xiàng)式 . 第一章 測試題解答 一、 填空題 1．零次， 零 ； 2. 二 ， 2x ， 四 ； 3. )(cf ； 4. bia? ； 5. 的公因式與是 )()()( xgxfxd 二、選擇題 1． (B), ； 2. （ A） ,(D) ； 3. (A),(B),(C) . 一、 解答題 因?yàn)?P?? 23,1 ,則 P???? 2323 1 ,所以 P????? 32)23(23 , 從而 P?3 ,進(jìn)而 P?2 . ii. 解 ：利用輾轉(zhuǎn)相除得到下列等式： 222( ) ( ) ( 2 3 1 )1 1 3 3( ) ( ) ( 2 3 1 ) ( )2 2 4 48 4 3 3( 2 3 1 ) ( ) ( )3 3 4 4f x x g x x xg x x x x xx x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 所以 ( ( ) , ( ) ) 1f x g x x??，取 22 1 3 3 3( ) , ( )3 3 8 1 6 4u x x v x x x? ? ? ? ? ?，則有( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) , ( ) )f x u x g x v x f x g x?? 3． 解 ：利用有理根的求法容易得到 525153)( 234 ????? xxxxxf 的有理根為：2,13 4． 解 ))(1)(1)(1()1)(1(1 2224 上，在 QRxxxxxx ???????? )())(1)(1( 上在）（ Cixixxx ????? 1. 證明 2 31,2 31 21 iwiw ?????? 是 12 ??xx 的根 ,因此 0)1()1( ?? gwf k ( 2,1?k ),解之得 0)1(,0)1( ?? gf . 6．解 ：顯然當(dāng) 0ab?? 時(shí) ， baxx ??33 有三重因式 x ，當(dāng) 0, 0ab??時(shí) baxx ??33無重因式；當(dāng) 0a? 時(shí)，當(dāng) 2 04ba a??時(shí)， 2( ( ) , ( ) ) 22bf x f x x x aa? ? ? ? ?， baxx ??33有二重因式 22xa? . 7． 解 (i)利用艾森施坦因判別法取 5?p 即可 得出 5)( 5 ??xxf 不可約 . (ii)令 1xy??，由于 ( 1) ( ) 1nx f x x? ? ?，我們得到12( 1 ) ( 1 ) 1 1 2 1p p p pp p py f y y y y y yP??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 令 ( ) ( 1)g y f y??于是 1 2 3() 1 2 1p p pp p pg y y y y P? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?.顯然()gy的最高次項(xiàng)不能被 p 整除 .其余的系數(shù)都是二項(xiàng)式系數(shù)，他們都能被 p 整除 .事實(shí)上，當(dāng) kp? 時(shí)， ( 1 ) ( 1 )!p p p p kk k?? ? ? ??????，因?yàn)樗莻€(gè)整數(shù)，所以右端的分子能被 !k 整除，但 !k 與 p 互素，所以 ! | ( 1) ( 1)k p p k? ? ?因此 |pp k??????，但 ()gy的常數(shù)項(xiàng) 1p pp????????不能被 p 整除 .由 Eisenstein 判別法， ()gy 在有理數(shù)域上不可約 .如果存在 12( ), ( ) [ ]f x f x Q x? ， 12( ) ( ) ( )f x f x f x? ，那么1 2 1 2( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) , ( ) ( 1 ) [ ]iig y f y f y g y g y g y f y Q x? ? ? ? ? ? ? 這與 ()gy在有理數(shù)域上不可約矛盾，所以 ()fx在 Q 上不可約 . 8．證明 ：由于 ()fx為首項(xiàng)系數(shù)是 1 的多項(xiàng)式，故若有有理根 a ，則一定是整數(shù)，且為常數(shù)項(xiàng) na 的因數(shù)，由于系數(shù)為奇數(shù)，故 a 為奇數(shù) .而 ()fa為奇數(shù)個(gè) 奇數(shù)的和，必不是 0，這于 a 是根矛盾 .
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