【正文】 30 2230 311022xyn AM xn C A yxy? ?? ? ? ??? ?? ??? ? ???? ? ???? ??? ???? ???， 3 , 1,13n ??? ? ? ?????, ?平面 ABC 的一個法向量為 ? ?0,0,1CP? , 21c o s , 7n C Pn C Pn C P?? ? ? ??, 顯然，二面角 M AC B??為銳二面角， 所以二面角 M AC B??的余弦值為 217 ． （Ⅲ） (0, 2,0)BC ?? ,點 B 到平面 MAC 的距離 2 217BC ndn???． 24． 解： （Ⅰ） 解法一 ：連結(jié) AB 、 11AB ， ∵ CC,1 分別是矩形 11ABBA 邊 11BA 、 BA 的中點， ∴ 1AC CC? ， 1BC CC? ， AC BC C??, ∴ 1CC ?面 ABC ． ∴ ACB? 為二面角 11A CC A?? 的平面角， 則 60OACB?? ． ∴ ABC? 為正三角形，即幾何體 111 CBAABC ? 是正三棱柱 ． ∴四邊形 11AABB 為正方形 ,∴ BAAB 11 ? ． 取 BC 中點 O ，連結(jié) AO ，則 BCAO? ． ∵正三棱柱 111 CBAABC ? 中，平面 ABC ⊥平面 11BBCC 交于 BC， ∴ AO ⊥平面 11BBCC , ∵ ?BD 平面 11BBCC ,∴ AO ⊥ BD , 在正方形 11BBCC 中，∴ BDOB ?1 , ∵ OOBAO ?? 1 ,∴ BD ⊥面 OAB1 ，∴ BD ⊥ 1AB ． 1BD A B B? ∴ 1AB ⊥平面 DAB1 ．∴ 1AB ⊥ 1AD． （Ⅰ） 解法二： 連結(jié) AB 、 11AB ， ∵ CC,1 分別是矩形 11ABBA 邊 11BA 、 BA 的中點， ∴ 1AC CC? ， 1BC CC? ， AC BC C??,∴ 1CC ?面 ABC ∴ ACB? 為二面角 A CC A???? 的平面角，則 60OACB?? ． ∴ ABC? 為正三角形，即幾何體 111 CBAABC ? 是正三棱柱 ． 取 BC 中點 O ，連結(jié) AO 則 BCAO? ， ∵正三棱柱 111 CBAABC ? 中，平面 ABC ⊥平面 11BBCC ， ∴ AO ⊥平面 11BBCC ,取 11CB 中點 1O ，以 O 為原點， OAOOOB ， 1 的方向為 ,xyz 軸的正方向建立空間直角坐標系，不妨設 1 2AA? ，則)0,0,1(B ，)0,1,1(?D , )3,0,0(A , )3,2,0(1A , )0,2,1(1B 則 1 (1, 2 3)AB ?? ， 1 ( 1, 1, 3 )AD ? ? ? ?， ∴11 ( 1 , 1 , 3 ) ( 1 , 2 3 ) 1 2 3 0A B A D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 11AB AD? ∴ 1AB ⊥ 1AD． （Ⅱ） 解： 設平面 DAB 11 的法向量為 ),( zyxn? ∵ )3,0,1(11 ??BA ， )3,1,1(1 ????DA ∵ 11BAn? , DAn 1? ∴???????0.0.111DAnBAn ,∵ 3 0,3 0,xzx y z? ????? ? ? ??? ∴ 2 3 ,3yzxz? ??????? 令 1z? 得 ( 3, 2 3,1)n ?? 為平面 DAB 11 的一個法向量 ． 由 （Ⅰ） 得 1 (1, 2, 3)AB ??,設 1AB 與平面 11ABD 所成角為 ? ， 11sin |n|AB |n AB? ? = 3 4 3 3 4 32 2 .4 8 2?? ?= 64 ． 所以 1AB 與平面 11ABD 所成角的正弦值為 64 ． 25． 解：（Ⅰ）設圓 F 的方程為 (x－ 1)2＋ y2＝ r2（ r＞ 0）． 將 y2＝ 4x 代入圓方程，得 (x＋ 1)2＝ r2， 所以 x＝ － 1－ r（舍去），或 x＝ － 1＋ r． 圓與拋物線有且只有一個公共點，當且僅當－ 1＋ r＝ 0，即 r＝ 1． 故所求圓 F 的方程為 (x－ 1)2＋ y2＝ 1． （Ⅱ）設過點 M (－ 1， 0)與圓 F 相切的斜率為正的一條切線的切點為 T． 連結(jié) TF，則 TF⊥ MT，且 TF＝ 1， MF＝ 2，所以∠ TMF＝ 30176。 ． 直線 MT 的方程為 x＝ 3y－ 1，與 y2＝ 4x 聯(lián)立，得 y2－ 4 3y＋ 4＝ 0． 記直線與拋物線的兩個交點為 A (x1， y1)、 B (x2， y2)，則 y1＋ y2＝ 4 3， y1y2＝ 4， x1＋ x2＝ 3(y1＋ y2)－ 2＝ 10． 從而 AB 的垂直平分線的方程為 y－ 2 3＝ － 3(x－ 5)． 令 y＝ 0 得， x＝ 7．由圓與拋物線的對稱性可知圓 E 的圓心為 E (7， 0)． |AB|＝ (x1－ x2)2＋ (y1－ y2)2]＝ (1＋ 3)[(y1＋ y2)2－ 4y1y2]＝ 8 2． 又點 E 到直線 AB 的距離 d＝ 7－ 0＋ 12 ＝ 4，所以圓 E 的半徑 R＝ (4 2)2＋ 42＝ 4 3． 因此圓 E 的方程為 (x－ 7)2＋ y2＝ 48． 26． 解：（ Ⅰ ）連接 QF ，根據(jù)題意， | | | |QP QF? ， 則 | | | | | | | | 4 | | 2 3Q E Q F Q E Q P E F? ? ? ? ? ?， 故動點 Q 的軌跡 ? 是以 ,EF為焦點，長軸長為 4 的橢圓． 設其方程為 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?，可知 2a? ， 3c? ，則 1b? ， 所以點 Q 的軌跡 ? 的方程為為 2 2 14x y??． （ Ⅱ ）存在最小值． （ ⅰ ）當 AB 為長軸（或短軸）時，可知點 C 就是橢圓的上、下頂點（或左、右頂點）， 則 1 | | | | 22ABCS O C A B a b? ? ? ? ?△． （ ⅱ ）當直線 AB 的斜率存在且不為 0 時，設斜率為 k ，則直線 AB 的方程為 y kx? ，設點( , )AAAx y ， 聯(lián)立方程 2 2 14x yy kx? ????? ??消去 y 得 2222244,1 4 1 4AA kxykk???? 由 | | | |CA CB? ，知 ABC△ 是等腰三角形， O 為 AB 的中點，則 OC AB? ，可知直線 OC的方程為 1 ,yxk?? 同理可得點 C 的坐標滿足 2222244,44CCkxykk???? 則 2222 2 24 4 4 (1 )| | ,1 4 1 4 1 4kkOA k k k?? ? ?? ? ? 2222 2 24 4 4 (1 )|| 4 4 4kkOC k k k ?? ? ?? ? ?， 則 2 2 222 224 ( 1 ) 4 ( 1 ) 4 ( 1 )2 | | | | 1 4 4( 1 4 ) ( 4 )ABC OACk k kS S OA OC kkkk? ? ?? ? ? ? ? ?????△ △． 由于 2 2 222 ( 1 4 ) ( 4 ) 5 ( 1 )( 1 4 ) ( 4 ) = ,22k k kkk ? ? ? ??? ? 所以 224( 1 ) 825 (1 ) 52A B C O A CkSSk????…△ △，當且僅當 221 4 4kk? ? ，即 2 1k? 時取等號． 綜合（ ⅰ ）（ ⅱ ），當 2 1k? 時， ABC△ 的面積取最小值 85 ， 此時 222224 4 4 4,4 5 4 5CCkxykk? ? ? ??? 即 2 5 2 5,55CCxy? ? ? ? 所以點 C 的坐標為 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )5 5 5 5 5 5 5 5? ? ? ? 27． 解： （ Ⅰ ） 由題意可設橢圓方程為 （ a＞ b＞ 0），則 則 故 所以，橢圓方程為 ． （ Ⅱ ） 由題意可知，直線 l 的斜率存在且不為 0， 故可設直線 l 的方程為 y=kx+m（ m≠0）， P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， 由 消去 y 得 （ 1+4k2） x2+8kmx+4（ m2﹣ 1） =0， 則 △ =64k2b2﹣ 16（ 1+4k2b2）（ b2﹣ 1） =16（ 4k2﹣ m2+1）＞ 0， 且 ， ． 故 y1y2=（ kx1+m）（ kx2+m） =k2x1x2+km（ x1+x2） +m2． 因為直線 OP， PQ， OQ 的斜率依次成等比數(shù)列， 所以 =k2， 即 +m2=0，又 m≠0， 所以 k2= ，即 k= ． 由于直線 OP， OQ 的斜率存在，且 △＞ 0，得 0＜ m2＜ 2 且 m2≠1． 設 d 為點 O 到直線 l 的距離， 則 S△ OPQ= d|PQ|= |x1﹣ x2||m|= ， 所以 S△ OPQ 的取值范圍為（ 0， 1）． 28． 解： （ Ⅰ ）點 P 的 坐標為 ? ?,xy , ,22A P B Pyykkxx????, 由題意可知 32 2 4yyxx? ? ??? , 化簡得點 P 的軌跡方程為 22143xy??， ? ?2x?? ． （ Ⅱ ）以 BD 為直徑的圓與直線 PQ 相切． 證明如下：由題意可設直線 AP 的方程為 ( 2)y k x??( 0)k? ． 則點 D 坐標為 (2, 4 )k ， BD 中點 E 的坐標為 (2, 2 )k ． 由 22( 2),143y k xxy????? ????得 2 2 2 2( 3 4 ) 16 16 12 0k x k x k? ? ? ? ?． 設點 P 的坐標為 00( , )xy ，則 20 216 122 34kx k??? ?． 所以 20 26834kx k?? ?，00 212( 2 ) 34ky k x k? ? ? ?． 因為點 Q 坐標為 (1, 0) ， 當 12k?? 時，點 P 的坐標為 3(1, )2? ，點 D 的坐標為 (2, 2)? 直線 PQ x? 軸，此時以 BD 為直徑的圓 22( 2) ( 1) 1xy? ? ?與直線 PQ 相切． 當 12k?? 時，則直線 PF 的斜率 020 41 1 4PF y kk xk????． 所以直線 PQ 的 方程為24 ( 1)14kyxk???． 點 E 到直線 PQ 的距離222228421 4 1 416 1(1 4 )kkkdkk??????? 32222814 2 | |14| 1 4 |kkk kkk?????? 又因為 | | 4| |BD k? ，所以 1||2d BD? ， 故以 BD 為直徑的圓與直線 PQ 相切． 綜上得，當直線 AP 繞點 A 轉(zhuǎn)動時，以 BD 為直徑的圓與直線 PQ 相 切． 29．解： （ Ⅰ ） 函數(shù)定義域為 R， f 39。(x) = e x(x 2－ mx + 1－ 2x + m)(x 2－ mx + 1) 2 = e x(x－ 1)(x－ m－ 1)(x 2－ mx + 1) 2 ① 當 m + 1 = 1， 即 m = 0 時， f 39。(x)≥ 0， 此時 f (x) 在 R 上單調(diào)遞增 ② 當 m + 1 1， 即 0 m 2 時， x∈ (－ ,1) 時， f 39。(x) 0,此時 f (x) 單調(diào)遞增， x∈ (1,m + 1) 時， f 39。(x) 0， 此時 f (x) 單調(diào)遞減， x∈ (m + 1,+ ) 時， f 39。(x) 0，此時 f (x) 單調(diào)遞增 ． ③ 當 m + 1 1,即－ 2 m 0 時， x∈ (－ ,m + 1) 時， f 39。(x) 0， 此時 f (x) 單調(diào)遞增， x∈(m + 1,1) 時， f 39。(x) 0， 此時 f