廣州市高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-資料下載頁
2025-01-08 21:21本頁面
【正文】 a??? ? ?????； 當(dāng) 1a?? 時(shí)，函數(shù) ??hx的單調(diào)遞增區(qū)間為 ? ?0,?? ，無單調(diào)遞減區(qū)間 . （ 2） 證法 1：設(shè)點(diǎn) P 、 Q 的坐標(biāo)分別是 ? ? ? ?1 1 2 2 1 2, , , , 0x y x y x x??. 則點(diǎn) M 、 N 的橫坐標(biāo)為 122xxx ?? . 1C 在點(diǎn) M 處的切線斜率為121 12212xxxk x x x???? ?， 10 2C 在點(diǎn) N 處的切線斜率為 ? ? ? ?121222 2xxxa x xk a x b b???? ? ? ?. 假設(shè) 1C 在點(diǎn) M 處的切線與 2C 在點(diǎn) N 處的切線平行，則 12kk? ， 即 ? ?12122 2a x x bxx ???? ， 則 ? ? ? ? ? ?21 222 1 2 1122 2xx a x x b x xxx? ? ? ? ?? 222 2 1 1 2 1 2 1l n l n22aax b x x b x y y x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. ∴21221121ln1xxxxxx?????????. 設(shè) 21xt x? ，則 ? ?21ln , 11tttt???? . （ *） 令 ? ? ? ?21ln , 11th t t tt?? ? ??，則 ? ?? ? ? ?? ?239。2211411tht tt t t?? ? ???. ∵ 1t? ，∴ ??39。 0ht? . ∴ ??ht 在 ? ?1,?? 上單調(diào)遞增 . ∴ ? ? ? ?10h t h??，即 ? ?21ln 1tt t?? ? ，這與（ *）式矛盾，假設(shè)不成立 . ∴ 1C 在點(diǎn) M 處的切線與 2C 在點(diǎn) N 處的切線不平行 . 證法 2： 設(shè)點(diǎn) P 、 Q 的坐標(biāo)分別是 ? ? ? ?1 1 2 2 1 2, , , , 0x y x y x x??. 則點(diǎn) M 、 N 的橫坐標(biāo)為 122xxx ?? . 1C 在點(diǎn) M 處的切線斜率為121 12212xxxk x x x???? ?， 2C 在點(diǎn) N 處的切線斜率為 ? ? ? ?121222 2xxxa x xk a x b b???? ? ? ?. 11 假設(shè) 1C 在點(diǎn) M 處的切線與 2C 在點(diǎn) N 處的切線平行，則 12kk? ， 即 ? ?12122 2a x x bxx ???? ， 則 ? ? ? ? ? ?21 222 1 2 1122 2xx a x x b x xxx? ? ? ? ?? 222 2 1 1 2 1 2 1l n l n22aax b x x b x y y x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. ∴ ? ? ? ? ? ?1 2 2 1 2 1l n l n 2x x x x x x? ? ? ?. ∵ 1 0x? ， ∴ 2 2 21 1 11 ln 2 1x x xx x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. 設(shè) 21xt x? ，則 ? ? ? ?1 ln 2 1 , 1t t t t? ? ? ?. （ *） 令 ? ? ? ? ? ?1 l n 2 1 , 1h t t t t t? ? ? ? ?，則 ? ?39。 1ln 1h t t t? ? ?. ∵ 39。221 1 1 1ln tt t t t t???? ? ? ????? ? ?00t??， ∴ 1lnt t? 在 ? ?1,?? 上單調(diào)遞增 . ∴ 1ln ln 1 1 1t t? ? ? ?. ∴ ? ?39。 1ln 1 0h t t t? ? ? ?. ∴函數(shù) ??ht 在 ? ?1,?? 上單調(diào)遞增 . ∴ ? ? ? ?10h t h??，即 ? ? ? ?1 ln 2 1t t t? ? ?，這與（ *）式矛盾，假設(shè)不成立 . ∴ 1C 在點(diǎn) M 處的切線與 2C 在點(diǎn) N 處的切線不平行
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