廣州市高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-資料下載頁(yè)
2025-06-07 19:08本頁(yè)面
【正文】 間為. （ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為 ，. 若，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.若，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間. （2）證法1：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是. 則點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為. 在點(diǎn)處的切線斜率為， 在點(diǎn)處的切線斜率為. 假設(shè)在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則， 即， 則. ∴. 設(shè)，則. （*） 令，則. ∵，∴. ∴在上單調(diào)遞增. ∴，即，這與（*）式矛盾，假設(shè)不成立. ∴在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行. 證法2：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是. 則點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為. 在點(diǎn)處的切線斜率為， 在點(diǎn)處的切線斜率為. 假設(shè)在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則， 即， 則. ∴. ∵， ∴. 設(shè)，則. （*） 令，則. ∵， ∴在上單調(diào)遞增. ∴.∴.∴函數(shù)在上單調(diào)遞增. ∴，即，這與（*）式矛盾，假設(shè)不成立. ∴在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行. 12
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