【正文】 m,m,VVVp C RCCγ ???? ， 由此可得： RCV, ? 。 （ 2）現(xiàn)在把 循環(huán)曲線從 Tp? 圖轉(zhuǎn)換為 Vp? 圖，如右圖所示。這是順時針循環(huán)，是熱機(jī)。 計算系統(tǒng)對外作的功 39。W ，注意 WW ??39。 （ W 為外界對系統(tǒng)作的功）： 21? 等壓膨脹過程， 21? 11112139。 21 )2()(2 RTTTRVVpW ?????? 32? 等體過程， 039。 32 ??W 13? 等溫過程 , 2ln)/l n ( 113139。 13 RTppRTW ???? 對外作的 循環(huán)總 功 39。 133239。39。 2139。 ??? ??? WWWW = )2ln1(1 ?RT （ 2）計算系統(tǒng) 吸收或者釋放的熱量： 21? 等壓膨脹過程（ 吸熱 ）， 1m,12m,21 )( TCTTCQ pp ???? 32? 等體降溫過程（ 放熱 ）， 1m,32 TCQ V??? 13? 等溫壓縮過程（ 放熱 ）， 2ln113 RTνQ ??? （ 3）熱機(jī)效率 吸QWη 39。?= 5)2ln1(22ln1(1m,1 ???TCRTp） 一摩爾單原子理想氣體經(jīng)歷了一個在 Vp? 圖上可表示為一個圓的準(zhǔn)靜態(tài)過程 ( 如下頁圖所示 )，試求： (1) 在一次循環(huán)中對外作的 功； (2) 氣體從 A 變?yōu)? C 的過程中內(nèi)能的變化； (3) 氣體在 A－ B－ C 過程中吸收的熱量； (4) 為了求出熱機(jī)循環(huán)效率，必須知道它從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點(diǎn)的坐標(biāo)，試導(dǎo)出過渡點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程。 〖分析〗： 循環(huán)曲線是由一段段實(shí)線線段連接而成的閉合曲線，而每一線段都可以被認(rèn)為是某一多方過程的一部分。應(yīng)該明確，對于在 Vp? 圖上可表示為一個實(shí)線圓的過程，圓上任何一個有一定大小的有限線段，都不能被認(rèn)為是某一多方過程的一部分。但是它的任何一個微小線段卻可以被認(rèn)為是某一多方過程的微小部分。從放 熱變?yōu)槲鼰岬倪^渡點(diǎn)可以被認(rèn)為是這樣一個特殊點(diǎn)：在這一點(diǎn)既不吸熱也不放熱，所以它也是某一條絕熱曲線上的微小部分。既然該點(diǎn)是絕熱曲線的一微小部分，也是圓的一微小部分，則該點(diǎn)在這兩條曲線上的斜率也應(yīng)該是相等的，或者說，絕熱曲線和圓應(yīng)該在該點(diǎn)相切。由此可以確定從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點(diǎn)的坐標(biāo)。 還有一種確定 從放熱變?yōu)槲鼰岬倪^渡點(diǎn)坐標(biāo)的方法，這將在 4. B. 2 中介紹。 〖解〗： (1) 從 題圖 可以看出， 圓心的橫坐標(biāo)就是 A 點(diǎn) 和 C 點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和的一半，同樣 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和的一半就是圓 的縱坐標(biāo)。若我們?nèi)? 335 m101,Pa101 ?? 分別作為縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的單位，并且縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)只標(biāo)定數(shù)字而不標(biāo)出單位，則這個圓和普通的 yx, 坐標(biāo)圖上的圓就沒有什么區(qū)別了。從圖上可以看出，該圓的半徑是 “ 1”。 狀態(tài)方程可寫為這樣的圓方程 1)2()2( 22 ???? Vp 圓的半徑 1?R 。 在一次循環(huán)中對外作的功就是圓的面積，它應(yīng)該等于縱坐標(biāo)半徑和橫坐標(biāo)半徑的乘積再乘上 π ，所以 J31439。 ?W 。 （ 2） 要求出 內(nèi)能變化就要求出溫度變化。 由圖知 AC pp ? ， AC 3VV ? ，根據(jù)蓋 呂薩克定律得： AC 3TT ? ，又由理想氣體狀態(tài)方程得： AAA RTVp ? ，所以 氣體從 A 變?yōu)? C 的過程中內(nèi)能的變化為： J60033)( AAAACm ?????? VpRTTTCU V, 。 (3) 氣體在 A－ B－ C 過程中對外做的功應(yīng)該等于曲線 A－ B－ C 下面的面積 J5 5 7J]1021021010)/2π([ 353539。 ???????? ??W 由熱力學(xué)第一定律得吸收的熱量： J157139。 ???? WUQ （ 4） 吸熱和放熱的過渡點(diǎn) ),( Vp ?? 是‘絕熱點(diǎn)’，即過程曲線在該點(diǎn)的斜率與絕熱線斜率相等。若要求出這一點(diǎn)，只要 將狀態(tài)方程兩邊對 V 求偏微商，偏微商的下標(biāo)標(biāo)以‘ l ’，表示這是狀態(tài)方程曲線上的 斜率。 得到 0)2(2)2(2 l ????????? ??? VVpp 即 22l ???????????? pVVp （ 1） 又將絕熱過程 CpV ?? 兩邊對 V 求微分 ，得 VpγVp ?????????? S （ 2） 從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點(diǎn)應(yīng)該滿足 （ 1）式 =（ 2）式，從而得到滿足這一等式的 ),( Vp ?? 坐標(biāo)，顯然它們 應(yīng)該滿足如下關(guān)系 VpγpV ??????? 22 即 )2()2( ??????? ppγVV （ 3） 因?yàn)? ),( Vp ?? 是圓上的點(diǎn)，所以 ),( Vp ?? 還應(yīng)該同時滿足 1)2()2( 22 ?????? Vp （ 4） （ 3）式和（ 4）式就是 從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點(diǎn)所應(yīng)該滿足的聯(lián)立方程。 某空調(diào)器是由采用可逆卡諾循環(huán)的制冷機(jī)所制成。它工作于某房間 ( 設(shè)其溫度為 2T ) 及室外 ( 設(shè)其溫度為 1T ) 之間，消耗的功率為 P ，試問： （ 1） 若在 1 秒內(nèi)它從房間吸取熱量 2Q ，向室外放熱 1Q ，則 2Q 是多大 ? ( 以 1T ， 2T 表示之 )。（ 2）若室外向房間的漏熱遵從牛頓冷卻定律 ，即 )()d/d( 21 TTDtQ ??? ，其中 D 是與房屋的結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。試問制冷機(jī)長期連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)后，房間所能達(dá)到的最低溫度 2T 是多大 ? ( 以 1T 、 P、 D 表示之 )。（ 3） 若室外溫度為 C300 ，溫度控制器開關(guān)使其間斷運(yùn)轉(zhuǎn) %30 的時間 ( 例如開了 3分鐘就停 7 分鐘，如此交替開停 )，發(fā)現(xiàn)這時室內(nèi)保持 C200 溫度不變。試問在夏天仍要求維持室內(nèi)溫度 C200 ，則該空調(diào)器可允許正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最高室外溫度是多少 ? （ 4） 在冬天，致冷機(jī)從外界吸熱，向室內(nèi)放熱，制冷機(jī)起了熱泵的作用，仍要求維持室內(nèi)為 C200 ，則它能正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最低室外溫度是多少 ? 〖分析〗 ： 這是現(xiàn)在正在廣泛使用的 熱泵，它既能在夏天用來降溫，又能在冬天用來取暖的一個理想模型（ 認(rèn)為制冷機(jī)是可逆卡諾制冷機(jī) ）。通常制冷機(jī)是采用交替開停的方法來控制溫度， 使房間達(dá)到基本恒溫的。在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時，在相同時間內(nèi)，冬天時制冷機(jī)向房間傳遞的熱量應(yīng)該等于房間向外的漏熱；夏天時外界向房間的漏熱應(yīng)該等于制冷機(jī)從房間取出的熱量。 〖解〗： （ 1）對于 可逆卡諾制冷機(jī)，有： )/()/( 211211 TTTQ ??? ， 經(jīng)過變換可以得到 )/()/( 212212 TTTQ ??? （ 1） 又由于 W ?? 21 ，而 tWP d/d? ?? 22 d/d QtQ 考慮到在運(yùn)行穩(wěn)定時 PQWQ // 22 ?? , 因而（ 1）式可表示為 )/(/ 2122 TTTPQ ??? ， )/( 212 TTPTQ ??? （ 2） （ 2）當(dāng) 制冷機(jī)長期連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)后，房間達(dá)到的最低溫度 2T 時制冷機(jī)的制冷功率應(yīng)該等于房間的漏熱功率。制冷機(jī)的制冷功率是由制冷機(jī)的效率公式?jīng)Q定的。房間的漏熱功率是由牛頓冷卻定律決定的，因而利用（ 1）式 ,有 )/()( 21221 TTPTTTD ??? （ 3） 0)( 2221 ??? PTTTD 即： 0)2( 212122 ???? DTTPDTDT ? ? DDTDPDTPDTT 24)2()2( 212112 ?????? 因?yàn)? 12 TT? ，所以上式中只能取負(fù)號，所以有 )4)(212( 1212 DPTDPDPTT ???? （ 4） （ 3）當(dāng) 室外溫度為 C300 ，制冷機(jī)長期 運(yùn)轉(zhuǎn) %30 時間并且達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，這時的 房間溫度為 ?39。2T C200 。我們可以利用這一條件求出 D 。因?yàn)樵谶_(dá)到 穩(wěn)定狀態(tài)時，單位時間內(nèi)外界向房間的漏熱 )()d/d( 39。21 TTDtQ ??? 應(yīng)該等于制冷機(jī)從房間取出的熱量，而后者可以用（ 2）式來求出，不過其中的 P 應(yīng)該用 來代替。這樣，就有 )/()( 39。2139。239。21 TTTPTTD ???? （ 5） 將 301?T ℃， 2039。2?T ℃ 代入（ 5） 式，可以得到 PD ?? （ 6） 到了 夏天仍要求維持室內(nèi)溫度 C200 ，若該空調(diào)器可允許正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最高室外溫度（ 設(shè)為 39。1T ），而室內(nèi)溫度仍為 C20 039。2 ?T 。這時達(dá)到穩(wěn)態(tài)的條件同樣是：制冷機(jī)的制冷功率應(yīng)該等于房間的漏熱功率。但是現(xiàn)在空調(diào)器是不間歇地連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn) , 在（ 5） 式中的P 應(yīng)改為 ，即 )/()( 39。239。139。239。239。1 TTTPTTD ???? （ 6） 得到 39。1 ??T ℃ （ 7） （ 4） 在冬天要求維持室內(nèi)溫度 C20 039。39。1 ?T ，設(shè)它能正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最低室外溫度為 39。2T ，則參考（ 6） 式，有 )/()( 39。39。239。39。139。39。239。39。239。39。1 TTTPTTD ???? （ 8） 將（ 5）中的 PD ?? 代入，可以得到 7 439。39。2 ??T ℃ 對于任何物質(zhì)，證明兩絕熱線不能相交。 〖分析〗： 本題和上題一樣也是針對任何物質(zhì)而言的，也要利用 熱力學(xué)基本定律（ 即利用永動機(jī)不可能造成的 ），由反證法來證明。例如先假定兩絕熱線已經(jīng)相交，其結(jié)果會形成一種永動機(jī)，從而說明這是不可能的。因?yàn)橛绖訖C(jī)是做功的機(jī)器， 所以要在 Vp? 圖上構(gòu)造一個順時針循環(huán)。但是兩根相交的絕熱線不能構(gòu)成循環(huán)，而且它也不吸收熱量。 我們應(yīng)再增添一條從單一熱源吸熱的等溫線，這條等溫線和那兩條絕熱線相交組成一個順時針順循環(huán)，看這樣是否會違背熱力學(xué)基本定律。 〖解〗： 假設(shè)在 Vp? 圖上兩條絕熱線 A、 B 相交于點(diǎn)“ 1”，則可作一等溫線 C 與它們分別相交于點(diǎn)“ 3”和點(diǎn)“ 2”。線段 “ 21? ”、“ 32? ”和“ 13? ” 圍成一閉合區(qū)域?，F(xiàn)在也分兩種情況進(jìn)行討論。 （ 1）若“ 1”點(diǎn)在等溫線上面，如題（ a）所示。利用閉合曲線做一正循環(huán) “ 1321 ??? ”。在此循環(huán)過程中對外做了 功（ 其大小就是閉合曲線所圍的面積 ），它卻僅在“ 32? ”等溫過程中放熱。這說明系統(tǒng)可以在不吸收熱量 ， 甚至在放熱的情況下對外做有用功，這違反熱力學(xué)第一定律。 （ 2）若“ 1”點(diǎn)在等溫線下面，如圖（ b）所示。利用閉合曲線做一正循環(huán) “ 1321 ??? ”。此循環(huán)過程只在“ 32? ”等溫過程中從單一熱源吸熱對外做了有用功而無其它影響 , 這違反熱力學(xué)第二定律。 所以，兩絕熱線不能相交。 如下圖所示，圖中 31? 為 等溫線， 41? 為絕熱線， 21? 和 34? 均為等壓線， 32? 為等體線。 2Hmol1 （ 理想氣體 ）在“ 1”點(diǎn)的狀態(tài)參量為, 31 ?V K3001 ?T ，在“ 3”點(diǎn)的狀態(tài)參量為 K300, 333 ?? TV 。試分別用如下三條路徑計算 13 SS? ：（ 1） 321 ?? ；（ 2） 31? ；（ 3） 341 ?? 。 〖分析〗： 這是一個通過計算來說明熵是態(tài)函數(shù) , 熵的變化僅和初、末狀態(tài)有關(guān) , 而和變化路徑無關(guān)的習(xí)題。 因?yàn)槟軌蛴脤?shí)線表示的狀態(tài)變化圖線一般都可以認(rèn)為是可逆變化過程，所以可以用 ?? ? TQS /dd 來計算熵變。 〖解〗： （ 1）“ 21 ? ”為等壓過程，K600)/( 1122 ??? TVVT 。而“ 32? ”為等體過程。注意到 2H 為雙原子分子， 2/7m, RCp ? ， 2/5m, RCV ? 。所以在“ 321 ?? ”過程中的熵變?yōu)? TQTQSS dd )3( )2()2( )1(13 ?? ??? TQCTTC Vp dd 300600m,600300m, ?? ?? 2ln??R （ 2）“ 31 ? ”為等溫過程。其熵變 2ln)/l n(/d 23)3( )1(13 ????? ? RVVRTQSS （ 3）“ 341 ?? ”過程是由“ 41? ”的絕熱過程， 144111 ?? ? ?? VTVT （ 1）