【正文】 ] 100 % 的 電子在 10 cm 以前被碰。 3. 7. 3 由電子槍發(fā)出一束電子射人壓強(qiáng)為 p 的氣體中，在電子槍前相距 x 處放置一收集電極，用來測(cè)定能自由通過 ( 即不與氣體分子相碰 ) 這段距離的電子數(shù)。因此，分子按照自由程的分布 )/exp (0 ?xNN ?? 也可以理解為：在 0N 段自由程中，長(zhǎng)度大于 x 的自由程數(shù)為 N 。顯然， 4/π 2 AHAH dσ ? （ 7） 因?yàn)橐阎獨(dú)浞肿邮且苑骄俾蕪姆磻?yīng)堆逸出，所以 HHH π3mkTv ? （ 8） 利用（ 4）式可以得到分子束中的氫分子相對(duì)于氬原子的平均速率為 AAHH2A2HAH π83 mkTmkTvvv ???? （ 9） 現(xiàn) 在 已 經(jīng) 知 道 K0004H ?T ， K300A ?T ， 27H ????m ， ??m kg1027?? ， 325A ??n 。把 ‘ 1’ 分子相對(duì)于‘ 2 ’ 分子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢量寫為 2112 vvv ?? 其相對(duì)運(yùn)動(dòng) 速率的平方 221212212 )()( vv ??? vv 222121 vvvv ???? （ 1） 取平均值 222121222121212 22 vvvvvvvv ????????v （ 2） 上式最右邊第二項(xiàng)表示一個(gè)分子的速度在另一個(gè)分子速度方向上的投影的平均值的 2 倍，而 ?? c o sc o s 212121 ???? vvvvvv （ 3） 因?yàn)椋?3）式中的余弦函數(shù)是偶函數(shù)，它的平均值為零，所以（ 1）式可以表示為 22212221212 vvv ???? vv 又有如下近似條件可以利用 ? ?212212 vv ? ， 2121 )(vv ? ， 2222 )(vv ? 所以 222112 )()( vvv ?? （ 4） 利用這一公式可以計(jì)算相對(duì)運(yùn)動(dòng)平均速率。（ 2）在計(jì)算分子之間碰撞的平均頻率時(shí)要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)平均速率 12v 。 3. 6. 6 從反應(yīng)堆 ( 溫度 K0004?T ) 中逸出一個(gè)氫分子 ( 有效直徑為 m1010?? ) 以方均根速率進(jìn)入一個(gè)盛有冷氬氣 ( 氬原子的有效直徑為 10?? ，氬氣溫度為 300 K ) 的容器，氬原子的數(shù)密度為 325 ? 。而 n 是空氣的分子數(shù)密度，簡(jiǎn)單認(rèn)為 325 m10?n 。 〖分析〗： 這個(gè)問題的情況和上一題十分類似，碰撞截面可以利用 4/π 2dσ? 公式，平均自由程可以利用 nσ/1?? 公式。 〖解〗： 從上面的分析可以得到如下關(guān)系： )(d/d 0TTatQ ??? ， )( 010 TTaP ?? 另外又有 TCQ dd ? 將上述 3 個(gè)公式聯(lián)立后積分， 02/)(0010 d)(d 101 TTTP TTCt TTTt ????? ?? ? 最后得到 0 012ln PTTCt ??? 3. 6. 5 試估計(jì)宇宙射線中質(zhì)子抵達(dá)海平面附近與空氣分子碰撞時(shí)的平均自由程。設(shè)系統(tǒng)的漏熱遵從牛頓冷卻定律，試問加熱電路切斷后，物體溫度從 1T 降為 2/)( 01 TT ? 時(shí)所需的時(shí)間是多少 ? 〖分析〗： 牛頓冷卻定律可以表示為 )(d/d 0TTatQ ??? 其中 0T 為環(huán)境溫度。 〖解〗： 現(xiàn)在以半徑為 r~ rr d? 的球殼為研究對(duì)象，設(shè) r 及 rr d? 處的溫度分別為 TrTrT d)(),( ? 。 已 知 鈾 的 熱 導(dǎo) 率 11 KmW46 ???κ ，試問達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，鈾球的中心與外表面間的溫度差是多少 ? 〖分析〗： 對(duì)于球體內(nèi)部有恒定不變地均勻散發(fā)出熱量的傳熱問題，它達(dá)到穩(wěn)態(tài)的條件是：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，從半徑為 r ~ rr d? 的球殼向外傳遞的熱量，應(yīng)該等于單位時(shí)間內(nèi)以 r 為半徑的球內(nèi)所產(chǎn)生的總的熱量。 〖解〗： 設(shè) A 、 B 金屬棒的導(dǎo)熱系數(shù)分別是 21 κ,κ ，熱阻分別是 21, TT RR ，它們的串聯(lián)熱阻和并聯(lián)熱阻分別為 并串 TT RR , 。（ 1）式稱為熱歐姆定律。設(shè)高溫處與低溫處的溫度保持恒定，求將 A、 B 并聯(lián)使用和串聯(lián)使用時(shí)熱傳遞能量之比 ( 設(shè)棒的側(cè) 面是絕熱的 )?，F(xiàn)在取半徑 rrr d~ ? 的某一圓柱殼層為研究對(duì)象。為此必須取半徑為 rrr d~ ? 的某一圓柱殼層為對(duì)象，研究它的傳熱過程。這不符合穩(wěn) 態(tài)傳熱（ 在 td 時(shí)間內(nèi) , 在每一圓柱面上通過的熱量應(yīng)該是相等的 ）條件。把（ 1）式代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律分離變量后兩邊積分，最后得到 t 秒時(shí)圓盤的旋轉(zhuǎn)角速度為 )πe xp ( 20 md tRηωω ??? ? 3. 3. 3 兩個(gè)長(zhǎng)圓筒共軸套在一起，兩筒的長(zhǎng)度均為 L ，內(nèi)筒和外筒的半徑分別為 R 1 和 R2 ，內(nèi)筒和外筒分別保持在恒定的溫度 T 1 和 T2 ，且 T1 T2 ，已知兩筒間空氣的導(dǎo)熱系數(shù)為 ? ，試證明每秒由內(nèi)筒通過空氣傳到外筒的熱量為 )()/ln( π2 2112 TTRR κLQ ??? 〖分析〗： 在這里的溫度梯度不是常數(shù)，即 )/()(d/d 2121 RRTTrT ??? 否則 , 若把內(nèi)筒和外筒之間的空間分割為一系列厚度相等的圓柱殼層。 〖解〗： 圓盤受到的黏性力以及這一黏性力所施予中心軸的力矩分別為 drθrd rωηf dd ???? θrrd rωηrθrd rωηrM dd)dd(d 2???????? 對(duì)上式中的 θd 從 π2~0 積分，再對(duì) rd 從 0 ~ R 積分?，F(xiàn)在以離開中心軸距離 rrr d~ ? 的小圓環(huán)上，中心角為 θd 的一小塊圓盤為研究對(duì)象（它的面積時(shí)可以近似認(rèn)為它是底邊為 θrd 高為 rd 的矩形）。試求 t 秒時(shí)盤的旋轉(zhuǎn)角速度。初始時(shí)盤以角速度 0ω 旋轉(zhuǎn)。盤能繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。由于表面張力而浮在液體表面作二維自由運(yùn)動(dòng)，試問它的方均根速率是多大 ? 〖分析〗： 灰塵微粒作二維布朗運(yùn)動(dòng)，它應(yīng)該有如下關(guān)系 222 212121 vmvmvm yx ?? 按照能量均分定理 kTvmvm yx 212121 22 ?? 〖答〗： 15 ?? ? 。 M1 = g 的水蒸氣與 M2 = g 的氫氣組成 的混合理想氣體的內(nèi)能為 RT)]2/5()2/6()6/1[( ??? 。 〖分析〗： 顯然， g 水蒸氣的物質(zhì)的量是 mol)6/1( ， g 氫氣的物質(zhì)的量是 。 〖答〗： K1018 ?？梢怨烙?jì)到，當(dāng)溫度上升的足夠高時(shí)，砂粒也會(huì)像分子那樣作熱運(yùn)動(dòng)的。同樣，砂粒和布朗粒子之間也沒有本質(zhì)區(qū)別，也僅不過砂粒的質(zhì)量比一般的布朗粒子大十幾個(gè)數(shù)量級(jí)， 相應(yīng)地其均方速率要小十幾個(gè)數(shù)量級(jí)。 〖分析〗： （ 1）我們知道，布朗粒子和分子之間沒有本質(zhì)區(qū)別，僅不過布朗粒子的質(zhì)量比一般的分子大幾個(gè)數(shù)量級(jí)。由此看來，把地球的所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強(qiáng)為一個(gè)大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標(biāo)高。 顯然，用近似方法進(jìn)行計(jì)算要簡(jiǎn)便得多。設(shè)地球大氣為平均溫度 T = 273 K 的等溫大氣，而且 , 276E ?????? mR 100 627 23E ???????? ??? ? ?m gRkT （ 3） 利用（ 3）式可以看到 ,（ 2）式的方括號(hào)中的第二 項(xiàng)比第一項(xiàng)小 3 個(gè)數(shù)量級(jí) , 第三項(xiàng)又比第二項(xiàng)小 3 個(gè)數(shù)量級(jí)。而“紙”的體積就等于球面面積再乘以“ 紙”的高度。 〖答〗： 氫分子和氧分子的 rmsv 分別等于地球表面上的逃逸速率時(shí)的氫氣和氧氣的溫度分別為 4EH, ??T , 5EO, ??T . 氫分 子和氧分子的 rmsv 分別等于它們?cè)谠虑虮砻嫔系奶右菟俾蕰r(shí)的氫氣和氧氣溫度分別為 2MH, ??T ， 3MO, ??T 2． 6． 1 試證若認(rèn)為地球的大氣是等溫的 , 則把所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強(qiáng)為一個(gè)大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標(biāo)高。 同樣，在月球表面上也有逃逸速率 Mmin,v 。 〖分析〗： 在離地球中心距離為 R 的高層大氣中，必有某些氣體分子的速率大于從該處脫離地球引力而逃逸的最小速率 vmin （ 它稱為逃逸速率 ） , 這些分子向上運(yùn)動(dòng)時(shí) , 只要不和其它分子碰撞 , 就可以逃逸出大氣層?？紤]一半徑為 的球形容器，器壁上有一面積為 2cm1的區(qū)域被冷卻到液氮溫度 ( 77 K )，其余部分及整個(gè)容器均保持 300 K。 〖解〗： 利用平均速率公式可以把氣體分子碰壁數(shù)公式變換為 m kTp ??? π2/ 現(xiàn)在分別用下標(biāo) 1， 2 分別表示隔板左、右氣體的各個(gè)物理量。 兩部分氣體的溫度均為 T ，摩爾質(zhì)量均為 mM 。 現(xiàn)在在上式兩邊都除以容器體積 V , 并且在 0 到 t 之間進(jìn)行積分 nntVAv nnt d)/1(d)4/( 210 ?? ??? )/ln ()4/( 12 nntVAv ??? 現(xiàn)在要求容器中的原子數(shù)最后減少到 1 / e , 即 1)/ln (,e/ 1212 ??? nnnn RT MAVRTMAVvA Vt mm π28π44 ???????? s100? 即：經(jīng)過 100 s 容器內(nèi)原子數(shù)減為原來的 e/1 。 〖解〗： 在 td 時(shí)間內(nèi)在面積為 A 的小孔中流出的分子數(shù)為 4/dd tAvnN ? 其中 n 為氣體分子數(shù)密度。考慮在 t 到 tt d? 時(shí)間內(nèi) , 容器內(nèi)的分子數(shù)由于瀉流從 N 變化為 NN d? , 其中 Nd 就是在 td 時(shí)間內(nèi)瀉 流流出去的分子數(shù) , 列出 Nd 和 td 之間的關(guān)系 , 這就是解本題所需要的微分方程。應(yīng)該注意 , 容器內(nèi)的分子數(shù) (或者說容器內(nèi)的分子數(shù)密度 ) 是隨時(shí)間而減少的 , 所以 ? 是個(gè)變量。 〖解〗： （ 1）麥克斯韋的速度的 x、 y、 z 三個(gè)分量分布可以表示為 . )2/e x p ()π2/()( 2i2/1i kTmvkTmvf ???? ),i( zyx? xxx vvkTmvkTm d)2/e xp()π2/( 22/1 ???? ? ??? xxx vvkTmvkTm d)2/e xp()π2/( 22/10 ????? ? ?? 0d)2/e xp()π2/( 22/10 ?????? ? ? xxx vvkTmvkTm xxxx vvfvv d)(22 ????? mkTvvkTmvkTm xxx /d)2/e xp()π2/(2 222/10 ?????? ? ? （ 3）由于 vx 和 v2 相互獨(dú)立 , 利用概率相乘法則 , 并且考慮到 vx 的平均值等于零 , 則有 022 ??? vvvv xx （ 4）同樣 vx, vy 相互獨(dú)立 , 和“（ 3）”類似 022 ??? yxyx vvvv （ 5）利用概率相加法則 2222222 22)( yyxxyyxxyx vbvvbvvbvbvvbvv ???????? )1)(/(/0/ 22 bmkTmkTbmkT ????? 2. 5. 1 一容積為 1 升的容器，盛有溫度為 300 K，壓強(qiáng)為 Pa1030 4? 的氬氣，氬的摩爾質(zhì)量為 kg。 另外 , 因?yàn)?麥克斯韋速度分布函數(shù)是個(gè)偶函數(shù) , 所以在積分時(shí)要區(qū)分被積函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。若以 zyx vvv , 及 v 分別表示分子速度的 x、 y、 z 三個(gè)分量及其速率，試求下述平均值： （ 1） xv ；（ 2） 2xv ；（ 3） 2vvx ；（ 4） yxvv2 ；（ 5） 2)( yx bvv ? 。利用（ 5）式可以得到 vvvvDN yxv dπ2),(d ??? vvkTmvkTmN dπ2)2/e x p ()π2/( 2 ?????? vvkTmvkTmN d)2/e x p ()/( 2???? 所以分子處于速率為 v 到 v+d v 范圍內(nèi)的概率 f (v) d v 的表達(dá)式為 vvkTmvkTmvvfNN v d)2/e xp()/(d)(d 2???? （ 7） 它就是 2 維理想氣體的麥克斯韋速率分布。vNd 是在半徑為 vvv d~ ? 的圓環(huán)內(nèi)的分子代表點(diǎn)數(shù)。顯然它被除以微分元的面積 yx vvdd ，就是在 2 維速度空間中的分子代表點(diǎn)的數(shù)密度 ),( yx vvD ，所以 ),(dd/d),( , yxyxvvyx vvNfvvNvvD yx ?? ]2/)(e x p[)π2/( 222/1 kTvvmkTmN yx ?????