【正文】 段長度剛好為 10 cm ? 〖分析〗： 以下兩個有關(guān)概率的概念是等價的：“一個分子自一次碰撞后又行進路程 x而還沒有被碰撞的概率”；“在許多段長度不同的自由程中，長度大于自由程 x 的概率”。 〖解〗： （ 1）在 10 000 段自由 程中，其自由程長于 10 cm 的段數(shù)為 6 7 93)10/10e x p (0 0 0101 ???N （ 2）在 10 000 段自由程中，其自由程長于 50 cm 的段數(shù)為 67)10/50e x p (000102 ???N （ 3）在 10 000 段自由程中，其自由程長于 5 cm， 短于 10 cm 的段數(shù)為 3872)]10/10e x p ()10/5[ e x p (100003 ??????N （ 4）因為 )( ???? ，所以在 10 000 段自由程中，自由程長度在 cm 與 10 cm 之間的段數(shù)為 )10/10e x p (000104 ????N （ 5）不能這樣提問，因為按照概率分布函數(shù)（ 即隨機變量為連續(xù)變量的概率分布 ）的概念，只存在隨機變量在某一范圍內(nèi)的概率，而不存在隨機變量為某一確定數(shù)值的概率。已知電子槍發(fā)射的電子流強度為 100 ?A，當(dāng)氣壓 Pa1001 ?p 、 x = 10 cm 時，到達(dá)收集極的電子流強度為 37 ?A。而 （ 37 / 100 ） 則是在 10 cm 處電子的殘存概率。? 。? 求得，而電子的殘存概率是直接和到達(dá)收集極的電子流強度相對應(yīng)的。則電子束行進 x 距離時的殘存概率為 ),exp()( ?xxP ?? 因而有： )10e xp(10037)10( ????P 得到電子的平均自由程為 cm10?? 。而 21 2pp ? 。 ?? ?? 在平均自由程為 39。39。39。 ?I 第四章 mol1 氣體作準(zhǔn)靜態(tài)等溫膨脹，由初體積 mi,V 變成終體積 mf,V ，試計算這過程中所做的功。 ?? ???mf,mi,mf,mi, mmm ddVVVV VbVRTVpW bV bVRTi ??m,mf,ln （ 2）因為 ）（ mm 1 VBRTpV ??，即 2mm VBRTVRTp ??, 所以 ?? ??? mf,mi,mf,mi, m2mmm d)(d VVVV VVBRTVRTVpW mi,mf,mi, mf,ln VB R TVB R TVVRT ?? 圖表示有一除底部外都是絕熱的氣筒，被一位置固定的導(dǎo)熱板隔成相等的兩部分 A 和 B ，其中各盛有一 摩爾的理想氣體氮。若將位置固定的導(dǎo)熱板換成可以自由滑動的絕熱隔板， 重復(fù)上述討論。 A 部吸收的熱量等于 A 部內(nèi)能的增加加上向 B 部釋放的熱量。 A 部吸收的熱量全部用于A 部內(nèi)能的增加和它對外作的等壓功。 設(shè) A 部和 B 部凈吸收的熱量分別為 A)d( Q 、 B)d(Q 。而 B 部是在定壓條件下吸熱，其吸的熱等于焓的增加。我們規(guī)定：下標(biāo)“ V ”或者“ p ”表示定體積過程或者定壓過程，下標(biāo)“ m ”表示是 1 摩爾的物理量 ，則 TCU VVV d)d()d()d( m,mA ??? TCH PPP d)d()d()d( m,mB ??? A 部從加熱器吸收的熱量為 TRTRCTCC VpV d6d)2()d()d()d( m,m,m,BA ?????? 兩邊積分得： TRQ ???? 6 )K(??T 這就是 A 部的溫度改變。 下面求 A部和 B部凈吸收的熱量 。 B 部狀態(tài)不變化，其溫度不變。試求： (1) 多方指數(shù) n ； (2) 內(nèi)能的變化； (3) 吸收的熱量； (4) 氧膨脹時對外界所作的功。 。 （ 4）氣體膨脹，它對外作的功 39。 ????????? uQWW 利用大氣壓隨高度變化的微分公式 zRTgMpp d)/(/d m?? ，證明高度 h 處的大氣壓強為 )1/(0m,m0 )1( ??? ??TC ghMppp 其中 0T 和 0p 分別為地面的溫度和壓強， mM 為空氣的平均摩爾質(zhì)量。 〖分析〗： 在課本中推導(dǎo)的大氣壓強公式是假定整個大氣處于溫度處處相等的平衡態(tài)的。在貼近地面的對流層中，如果不考慮大氣環(huán)流，則影響大氣溫度垂直變化的原因是重力和 上升空氣的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹。設(shè)氣體定體摩爾熱容 m,VC 為常數(shù)， ?γ 。左側(cè)氣體膨脹，同時通過活塞壓縮右方氣體，最后使右方氣體壓強增為 0)8/27( p 。左方氣體吸收熱量后不僅增加它自己的內(nèi)能，同時還對右方氣體做功。另外，可以認(rèn)為在初始時刻活塞位于圓柱形容器的正中央，左、右方氣體的物質(zhì)的量、體積、壓強都相等，因而溫度也相等。 該過程中左側(cè)氣體對右側(cè)氣體（視作理想氣體）所做準(zhǔn)靜態(tài)絕熱壓縮功為 ]1)[(1 /)1(0200 ??? ? ??ppγ VpW 0003/100 1 RTνVpVp ?????????? ?????????? （ 2）絕熱過程中有如此關(guān)系： 11 / CTp ?? ?? ，所以 右側(cè)氣體的終溫為 0/101022 23 TTppT ????????? ??????????? ??? （ 3） 左側(cè)氣體經(jīng)歷的既不是絕熱也不是等壓過程，要求出終溫，必須知道 1p 、 1V ，然后通過狀態(tài)方程求出 1T 。而右側(cè)氣體的絕熱過程有 ?? 2200 VpVp ? 關(guān)系，所以 003/2000/1202 948/27)( VVppVppV ????????????? ? 9/149/422 000201 VVVVVV ????? 又 ， 111000 // TVpTVp ? 由 此 我 們 可 以 得 到 左 側(cè) 氣 體 的 這 最 終 溫 度 為 0000 00000 111 421)9/14()8/27( TTVp VpTVp VpT ?????? 已知某種理想氣體在 Vp? 圖上的等 溫線與絕熱線的斜率之比為 ，現(xiàn)一摩爾該種理想氣體在 Tp? 圖上經(jīng)歷如右圖所示的循環(huán)。（ 2）在求循環(huán)功和循環(huán)效率時應(yīng)該注意到，上圖畫的是 Tp? 圖，而不是 Vp? 圖。 〖解〗： （ 1） 分別對等溫過程方程和絕熱過程方程的兩邊取微分，可以得到它們在 Vp? 圖上過程曲線 的 斜率，以下標(biāo)‘ T ’和下標(biāo)‘ S ’分別表示等溫過程和絕熱過程。 （ 2）現(xiàn)在把 循環(huán)曲線從 Tp? 圖轉(zhuǎn)換為 Vp? 圖，如右圖所示。 計算系統(tǒng)對外作的功 39。 （ W 為外界對系統(tǒng)作的功）： 21? 等壓膨脹過程， 21? 11112139。 32 ??W 13? 等溫過程 , 2ln)/l n ( 113139。 133239。 2139。?= 5)2ln1(22ln1(1m,1 ???TCRTp） 一摩爾單原子理想氣體經(jīng)歷了一個在 Vp? 圖上可表示為一個圓的準(zhǔn)靜態(tài)過程 ( 如下頁圖所示 )，試求： (1) 在一次循環(huán)中對外作的 功； (2) 氣體從 A 變?yōu)? C 的過程中內(nèi)能的變化； (3) 氣體在 A－ B－ C 過程中吸收的熱量； (4) 為了求出熱機循環(huán)效率，必須知道它從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點的坐標(biāo)，試導(dǎo)出過渡點坐標(biāo)所滿足的方程。應(yīng)該明確，對于在 Vp? 圖上可表示為一個實線圓的過程，圓上任何一個有一定大小的有限線段，都不能被認(rèn)為是某一多方過程的一部分。從放 熱變?yōu)槲鼰岬倪^渡點可以被認(rèn)為是這樣一個特殊點：在這一點既不吸熱也不放熱，所以它也是某一條絕熱曲線上的微小部分。由此可以確定從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點的坐標(biāo)。 〖解〗： (1) 從 題圖 可以看出， 圓心的橫坐標(biāo)就是 A 點 和 C 點的橫坐標(biāo)的和的一半，同樣 B 點和 D 點的縱坐標(biāo)的和的一半就是圓 的縱坐標(biāo)。從圖上可以看出，該圓的半徑是 “ 1”。 在一次循環(huán)中對外作的功就是圓的面積，它應(yīng)該等于縱坐標(biāo)半徑和橫坐標(biāo)半徑的乘積再乘上 π ，所以 J31439。 （ 2） 要求出 內(nèi)能變化就要求出溫度變化。 (3) 氣體在 A－ B－ C 過程中對外做的功應(yīng)該等于曲線 A－ B－ C 下面的面積 J5 5 7J]1021021010)/2π([ 353539。 ???? WUQ （ 4） 吸熱和放熱的過渡點 ),( Vp ?? 是‘絕熱點’，即過程曲線在該點的斜率與絕熱線斜率相等。 得到 0)2(2)2(2 l ????????? ??? VVpp 即 22l ???????????? pVVp （ 1） 又將絕熱過程 CpV ?? 兩邊對 V 求微分 ，得 VpγVp ?????????? S （ 2） 從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點應(yīng)該滿足 （ 1）式 =（ 2）式，從而得到滿足這一等式的 ),( Vp ?? 坐標(biāo)，顯然它們 應(yīng)該滿足如下關(guān)系 VpγpV ??????? 22 即 )2()2( ??????? ppγVV （ 3） 因為 ),( Vp ?? 是圓上的點，所以 ),( Vp ?? 還應(yīng)該同時滿足 1)2()2( 22 ?????? Vp （ 4） （ 3）式和（ 4）式就是 從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點所應(yīng)該滿足的聯(lián)立方程。它工作于某房間 ( 設(shè)其溫度為 2T ) 及室外 ( 設(shè)其溫度為 1T ) 之間，消耗的功率為 P ，試問： （ 1） 若在 1 秒內(nèi)它從房間吸取熱量 2Q ，向室外放熱 1Q ，則 2Q 是多大 ? ( 以 1T ， 2T 表示之 )。試問制冷機長期連續(xù)運轉(zhuǎn)后，房間所能達(dá)到的最低溫度 2T 是多大 ? ( 以 1T 、 P、 D 表示之 )。試問在夏天仍要求維持室內(nèi)溫度 C200 ，則該空調(diào)器可允許正常運轉(zhuǎn)的最高室外溫度是多少 ? （ 4） 在冬天，致冷機從外界吸熱，向室內(nèi)放熱，制冷機起了熱泵的作用，仍要求維持室內(nèi)為 C200 ，則它能正常運轉(zhuǎn)的最低室外溫度是多少 ? 〖分析〗 ： 這是現(xiàn)在正在廣泛使用的 熱泵，它既能在夏天用來降溫，又能在冬天用來取暖的一個理想模型（ 認(rèn)為制冷機是可逆卡諾制冷機 ）。在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時，在相同時間內(nèi)，冬天時制冷機向房間傳遞的熱量應(yīng)該等于房間向外的漏熱；夏天時外界向房間的漏熱應(yīng)該等于制冷機從房間取出的熱量。制冷機的制冷功率是由制冷機的效率公式?jīng)Q定的。2T C200 。因為在達(dá)到 穩(wěn)定狀態(tài)時，單位時間內(nèi)外界向房間的漏熱 )()d/d( 39。這樣，就有 )/()( 39。239。2?T ℃ 代入（ 5） 式，可以得到 PD ?? （ 6） 到了 夏天仍要求維持室內(nèi)溫度 C200 ，若該空調(diào)器可允許正常運轉(zhuǎn)的最高室外溫度（ 設(shè)為 39。2 ?T 。但是現(xiàn)在空調(diào)器是不間歇地連續(xù)運轉(zhuǎn) , 在（ 5） 式中的P 應(yīng)改為 ，即 )/()( 39。139。239。1 ??T ℃ （ 7） （ 4） 在冬天要求維持室內(nèi)溫度 C20 039。1 ?T ，設(shè)它能正常運轉(zhuǎn)的最低室外溫度為 39。39。39。39。39。39。39。 〖分析〗： 本題和上題一樣也是針對任何物質(zhì)而言的，也要利用 熱力學(xué)基本定律（ 即利用永動機不可能造成的 ），由反證法來證明。因為永動機是做功的機器， 所以要在 Vp? 圖上構(gòu)造一個順時針循環(huán)。 我們應(yīng)再增添一條從單一熱源吸熱的等溫線，這條等溫線和那兩條絕熱線相交組成一個順時針順循環(huán)，看這樣是否會違背熱力學(xué)基本定律。線段 “ 21? ”、“ 32? ”和“ 13? ” 圍成一閉合區(qū)域。 （ 1）若“ 1”點在等溫線上面，如題（ a）所示。在此循環(huán)過程中對外做了 功（ 其大小就是閉合曲線所圍的面積 ），它卻僅在“ 32? ”等溫過程中放熱。 （ 2）若“ 1”點在等溫線下面，如圖（ b）所示。此循環(huán)過程只在“ 32? ”等溫過程中從單一熱源吸熱對外做了有用功而無其它影響 , 這違反熱力學(xué)第二定律。 如下圖所示，圖中 31? 為 等溫線， 41? 為絕熱線， 21? 和 34? 均為等壓線， 32? 為等體線。試分別用如下三條路徑計算 13 SS? ：（ 1） 321 ?? ；（ 2） 31? ；（ 3） 341 ?? 。 因為能夠用實線表示的狀態(tài)變化圖線一般都可以認(rèn)為是可逆變化過程，所以可以用 ?? ? TQS /dd 來計算熵變。而“ 32? ”為等體過程。所以在“ 321 ?? ”過程中的熵變?yōu)? TQTQSS dd )3( )2()2( )1(13 ?? ??? TQCTTC Vp dd 300600m,600300m, ?? ?? 2ln??R （ 2）“ 31 ? ”為