【正文】 （ 5）下面我們從速度分布導(dǎo)出速率分布。（ 3）式也可以寫為 yxyxyxyx vvvvfvvvfvf dd),(dd)()( ??? （ 4） 其中 yx vvdd 實(shí)際上就是在 2 維速度空間中 位置在 xxx vvv d~ ? ， yyy vvv d~ ? 范圍內(nèi)的正方形這一微分元的面積，而 yyxxyxyx vvfvvfvvvvf d)(d)(dd),( ?? 是氣體分子的代表點(diǎn)在這一微分元上的分布概率。如 果這些分子是單原子分子，吸附層的溫度為 T ，試給出表示分子處于速率為 v 到 v+d v 范圍內(nèi)的概率 f (v) d v 表達(dá)式。將它們代入（ 1）式即得到在 1sm500 ? 到 1sm501 ? 之間的分子數(shù)為 ???N 。將它們代入（ 1）式即得到在 1sm500 ? 到 1sm501 ? 之間的分 子數(shù)為 ???N 。它的概率等于在橫坐標(biāo)為 1sm500 ? 到 1sm501 ? 之間的麥克斯韋速率分布曲線線段下面的面積（ 這個(gè)梯形可以看作矩形 ）。 但是注意到 , 1sm500 ? 到 1sm501 ? 之間僅僅差 1sm1 ? ，它要比 1sm500 ? 小得多。 〖解〗： 歸一化， 1d)( ?????? xxf 在上述積分中考慮到 f ( x) 是偶函數(shù)，所以有 14/ππ8d)(2d)( 2/30 ????? ??????? ?? aAxxfxxf 2/π)/( 3/2aA ? 可以知道處于 9 ~ 1 范圍內(nèi)概率為 xeAP a ?????? ? 64π464 )64e x p (64π4π)/( 3 / 2 ??????? aa 2. 3. 1 求 ,0 0 下 的 氮?dú)庵兴俾试?1sm500 ? 到 1sm501 ? 之間的分子數(shù)。 〖答〗： （ 1） 325 ? ；（ 2） ? ；（ 3） 9?? ；（ 4） 21?? 。利用 Am mNM ? 和 nmρ? 公式可以得到氧氣的密度和分子質(zhì)量。 1. 6. 4 一容器內(nèi)貯有氧氣，其壓強(qiáng)為 ?p ， 溫度為 C270?t ，試求：（ 1）單位體積內(nèi)的分子數(shù)； (2) 氧氣的密度； (3) 分子間的平均距離： (4) 分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。利用 nkTp? 公式可以計(jì)算出吸附氣體分子數(shù)。若烘烤后壓強(qiáng)增為 Pa，問(wèn)器壁原來(lái)吸附了多少個(gè)氣體分子？ 〖分析〗： 烘烤時(shí)溫度上升 , 器壁所吸附的氣體分子有足夠大的能量克服器壁對(duì)它的吸引力而釋 放出來(lái)。 1. 6. 3 一容積為 的真空系統(tǒng)已被抽到 103 Pa 的真空。 〖討論〗： 我們發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力勢(shì)能的數(shù)量級(jí)要比分子互作用勢(shì)能小 3210? 。假定水中兩最鄰近分子質(zhì)量中心之間的距離為 10?? （ 利用上題的結(jié)果 ），則每個(gè)分子 所平均分?jǐn)偟降娜f(wàn)有引力勢(shì)能的數(shù)量級(jí)為 52p ???ε 。 〖解〗： 水的汽化熱為 16 ?? ，它的摩爾汽化熱為 1416mV, m o o lJ0 1 ?? ???????L 每摩爾有 NA 個(gè)分子，每個(gè)分子平均分?jǐn)偟降钠療釣?,p ???? NL? 可以認(rèn)為 p? 就是水的分子互作用勢(shì)能的數(shù)量級(jí)。但是一般說(shuō)來(lái)這兩者的數(shù)量級(jí)差不多相等，而且后者小于前者。所以汽化熱是用來(lái)增加分子之間作用力 勢(shì)能的。水的汽化是某些水分子有足夠大的熱運(yùn)動(dòng)能量，足以克服分子之間作用力而跑到外面成為自由的氣體分子。再估計(jì)兩個(gè)鄰近水分子間的萬(wàn)有引力勢(shì)能的數(shù)量級(jí)，判斷分子力是否可來(lái)自萬(wàn)有引力。 1. 4. 3 用定體氣體溫度計(jì)測(cè)得冰點(diǎn)的理想氣體溫度為 K，試求溫度計(jì)內(nèi)的氣體在冰點(diǎn)時(shí)的壓強(qiáng)與該氣體在水 的三相點(diǎn)時(shí)壓強(qiáng)之比的極限值。 （ 1）用溫度計(jì)測(cè)量 300 K 的溫度時(shí)，氣體的壓強(qiáng)是多少？ （ 2） 當(dāng)氣體的壓強(qiáng)為 3? 時(shí)，待測(cè)溫度是多少？ 〖提示〗： 3tr ??p 。 〖答〗： （ 1）－ 40 ℃；（ 2） 575 K；（ 3）沒(méi)有。考慮 x ~ x + dx 一 段氣體 , 它的分子數(shù)密度為 n ( x ) , 設(shè)管子的橫截面積為 S, 考慮到 p = n kT , 則這一小段中的氣體分子數(shù)為 xxkTSpxxSnN d)(d)(d ?? 管子中氣體總分子數(shù)為 )(d0 xT xkSpN L??? 利用（ 1）式可得 xL xkSpN L d)800200( 10 ???? ? 管中氣體最后的壓強(qiáng)是 p1（ 01 pp ? ） , 溫度是 T ， .則 kTSLpN /1? 由上面兩式相等 , 最后可以計(jì)算出 00 )8/1( ppp ???? 即：管中氣體最后的壓強(qiáng)為 p 。 〖解〗 ：因?yàn)楣茏邮且欢碎_(kāi)口的，所以 0pp? 。關(guān)鍵是求出開(kāi)始時(shí)長(zhǎng)管中氣體的總的分子數(shù)，而它是和整體溫度降為 100 K 以后的分子數(shù)相等的。先對(duì)管子加熱，使從開(kāi)口端溫度 1 000 K 均勻變?yōu)殚]端 200 K 的溫度分布，然后把 管子開(kāi)口端密封，再使整體溫度降為 100 K，試問(wèn)管中最后的壓強(qiáng)是多大？ 〖分析〗： 開(kāi)始時(shí)長(zhǎng)管中氣體有溫度分布，所以它不處于平衡態(tài)。 對(duì)原容器 A 中 剩下的 )( 1 VV ?? 體積的氣體進(jìn) 行研究，它們將等溫膨脹到體積 1V ，因而有 111 )( pVVVp ??? （ 1）按照理想氣體方程 , 有 TpVRν /? 關(guān)系，原容器 A 中 V? 體積的氣體和原容器 B 中 2V 體積的氣體進(jìn)行研究，它們合并前后物質(zhì)的量應(yīng)該不變，所以 2222211 TpVTVpT Vp ??? （ 2）由（ 1）式、（ 2）兩式化簡(jiǎn)可得 21221111 )( Tp ppVTVppVV ????? 212112211 VTV TVTVpp ??? 代入上述數(shù)據(jù)，可以得到活塞打開(kāi)后氣體的壓強(qiáng) 4??p 。 我們不能把 A 和 B 氣體的整體作為研究對(duì)象 , 而先把從 A 流入 B 的 那部分氣體作為研究對(duì)象，求出它的物質(zhì)的量（ 即 mol 數(shù) ），然后按照混合前后 A 和 B 總的物質(zhì)的量不變這一點(diǎn)列出方程。 它 們 的 體 積 分 別 為 , ?V l, ?V 試問(wèn)把活塞打開(kāi)后氣體的 壓強(qiáng)是多少？ 〖分析〗： 把活塞打開(kāi)后兩容器中氣體混合而達(dá)到新的力學(xué)平衡以后， A 和 B 中氣體壓強(qiáng)應(yīng)該相等。容器 A 浸入溫度為 C100 01 ?t 的水槽中，容器 B 浸入溫度為 C20 02 ??t 的冷卻劑中。 〖解〗： 抽氣機(jī)抽氣體時(shí)，由玻意耳定律得： 活塞運(yùn)動(dòng)第 一次 ： )( 0100 VVpVp ?? 00 01 pVVVp ?? 活塞運(yùn)動(dòng)第二次 ： )( 0201 VVpVp ?? 02001002 pVV VpVV Vp ???????? ???? 活塞運(yùn)動(dòng)第 n 次： )( 001 VVpVp nn ??? nn VV Vpp ???????? ?? 0 00 VVVnppn n ??000ln （ 1） 抽氣機(jī)每次抽出氣體體積 )400/20( ??V ?V 50 ??p Pa133?np 將上述數(shù)據(jù)代入（ 1）式，可解得 276?n 。 活門關(guān)上以后容器內(nèi)氣體的容積仍然為 V0 。 設(shè)抽氣過(guò)程中溫度始終不變。習(xí)題分析和解答 [說(shuō)明：本欄內(nèi)容對(duì)學(xué)生是有條件地開(kāi)放 ] 第一章 △ 1. 3. 6 一抽氣機(jī)轉(zhuǎn)速 1min400 ??? rω ，抽氣機(jī)每分鐘能抽出氣體 20 l (升 )。設(shè)容器的容積 V0 = 1，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后才能使容器內(nèi)的壓強(qiáng)由 Mpa 降為 133 Pa。 〖分析〗： 抽氣機(jī)每打開(kāi)一次活門 , 容器內(nèi)氣體的容積在等溫條件下擴(kuò)大了 V, 因而 壓強(qiáng)有所降低。下一次又如此變化，從而建立遞推關(guān)系。 則 s40s60)4 0 0/2 7 6( ???t 1. 3. 8 兩個(gè)貯著空氣的容器 A 和 B，以備有活塞之細(xì)管相連接。開(kāi)始時(shí)，兩容器被細(xì)管中之活塞分隔開(kāi)，這時(shí)容器 A 及 B 中空氣的壓強(qiáng)分別為 ?p ， ?p 。但是應(yīng)注意到 , 由于 A 和 B 的溫度不相等，所以整個(gè)系統(tǒng)仍然處于非平衡態(tài)。 〖解〗 ：設(shè)原容器 A 中有 V? 體積的氣體進(jìn)入容器 B，且打開(kāi)活塞后氣體壓強(qiáng)為 p。 △ 1. 3. 10 一端開(kāi)口，橫截面積處處相等的長(zhǎng)管中充有壓強(qiáng) p 的空氣。但是整體溫度降為 100 K 以后 , 長(zhǎng)管中氣體處于平衡態(tài)了。在計(jì)算分子數(shù)時(shí)要先求出長(zhǎng)管中的溫度分布，然后利用 p= n kT 公式。顯然，管子中氣體的溫度分布應(yīng)該是 xLxT 2022000200)( ??? （ 1）由于各處溫度不同，因而各處氣體分子數(shù)密度不同。 1. 4. 1 在什么溫度下，下列一對(duì)溫標(biāo)給出相同的讀數(shù)（如果有的話）： (1) 華氏溫標(biāo)和攝氏溫標(biāo)； （ 2）華氏溫標(biāo)和熱力學(xué)溫標(biāo)； （ 3）攝氏溫標(biāo)和熱力學(xué)溫標(biāo) ? 〖提示〗： 利用 F32C59 00F ?????? ??? tt ， CK][ 0?? Tt 。 1. 4. 2 定體氣體溫度計(jì)的測(cè)溫泡浸在水的三相點(diǎn)槽內(nèi)時(shí)，其中氣體的壓強(qiáng)為 3? 。 利用如下公式進(jìn)行計(jì)算： )( ?? trpppT ( 體積不變 ) 〖答〗： （ 1） 3? ；（ 2） 371 K。 〖解〗： 利用公式 . i tr0tr ??? ? ppT p 所以 tr0tr ??? ppp 1. 5. 2 試估計(jì)水的分子互作用勢(shì)能的數(shù)量級(jí)，可近似認(rèn)為此數(shù)量級(jí)與每個(gè)分子所平均分配到的汽化熱數(shù)量級(jí)相同。 〖分析〗： 水中的分子熱運(yùn)動(dòng)而不分散開(kāi) , 是因?yàn)榉肿又g有作用力。我們知道分子之間作用力勢(shì)能是負(fù)的 , 氣體分子的勢(shì)能為零。另外也要考慮到 , 液體轉(zhuǎn)變?yōu)闅怏w時(shí)體積擴(kuò)大作等壓膨脹要對(duì)外做功，它所需要的能量也由汽化熱提供。所以可以利用前者來(lái)估計(jì)分子互作用勢(shì)能的數(shù)量級(jí)。 至于水中兩鄰近分子的萬(wàn)有引力勢(shì)能的數(shù)量級(jí)，可以利用萬(wàn)有引力勢(shì)能公式來(lái)估計(jì)。 。由于分子互作用勢(shì)能來(lái)自電磁相互作用，這說(shuō)明萬(wàn)有引力相互作用要比電磁相互作用弱得多。為了提高其真空度，將它放在溫度為 C3000 的烘箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出所吸附的氣體。真空系統(tǒng)的壓強(qiáng)相應(yīng)增加。 〖答〗： ? 。 〖分析〗： 利用 nkTp? 公式可以得到單位體積內(nèi)的分子數(shù)。利用 3/1 Ln? 和 2/3t kTε ? 可以分別求得分子間的平均距離 L 和分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。 第二章 2． 2． 2 量 x 的概率分布函數(shù)具有形式 22 π4)e x p ()( xaxAxf ???? ,式中 A 和 a 是常數(shù) ， 試寫出 x 的值出現(xiàn)在 9 到 1 范圍內(nèi)的概率 P 的近似表示式。 〖分析〗： 這是一個(gè)在麥克斯韋速率分布中求某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的問(wèn)題 , 應(yīng)該用相對(duì)于 最 概然 速率的麥克斯韋速率分布 , 即使用誤差函數(shù) 來(lái)求解?？梢哉J(rèn)為在 1sm500 ? 到 1sm501 ? 范圍內(nèi)麥克斯韋速率分布是不變的。 〖解〗： 設(shè) ,0 0 下， 中的理想氣體分子數(shù)為 N , 利用洛施密特常量 3250 ???n 可以得到 19256 ?????? ?N 利用麥克斯韋速率分布可以得到速率在 vvv d~ ? 之間的分子數(shù)為 vvkTmvkTmNvvNf d)2/e x p ()π2/(π4d)( 222/3 ?????? （ 1） 現(xiàn)在其中的 11 sm1d,sm5 0 0 ???? vv , 氮?dú)鉁囟? K273?T ，而氮分子質(zhì)量 27????m 。 N , 利用洛施密特常量 3250 ???n 可以得到 19256 ?????? ?N 利用麥克斯韋速率分布可以得到速率在 vvv d~ ? 之間的分子數(shù)為 vvkTmvkTmNvvNf d)2/e x p ()π2/(π4d)( 222/3 ?????? （ 1） 現(xiàn)在其中的 11 sm1d,sm5 0 0 ???? vv , 氮?dú)鉁囟? K273?T ，而氮分子質(zhì)量 27????m 。 2. 4. 1 因?yàn)楣腆w的原子和氣體分子之間有作用力，所以在真空系統(tǒng)中的固體表面上會(huì)形成厚度為一個(gè)分子直徑的那樣一個(gè)單分子層，設(shè)這層分子仍可十分自由地在固體表面上滑動(dòng)，這些分子十分近似地形成 2 維理想氣體。 〖解〗： 我們知道 , 通常的麥克斯韋速度分布是 3 維的 zzyyxx vvfvvfvvf d)(d)(d)( ?? （ 1） 其中速度在 zyx , 的 3 個(gè)分量上的分布函數(shù)都具有如下形式： i2i2/1ii d)2/e x p ()π2/(d)( vkTmvkTmvvf ???? ),i( zyx?