【正文】 其熵變 2ln)/l n(/d 23)3( )1(13 ????? ? RVVRTQSS （ 3）“ 341 ?? ”過程是由“ 41? ”的絕熱過程， 144111 ?? ? ?? VTVT （ 1） 。注意到 2H 為雙原子分子， 2/7m, RCp ? ， 2/5m, RCV ? 。 〖解〗： （ 1）“ 21 ? ”為等壓過程，K600)/( 1122 ??? TVVT 。 〖分析〗： 這是一個通過計算來說明熵是態(tài)函數(shù) , 熵的變化僅和初、末狀態(tài)有關(guān) , 而和變化路徑無關(guān)的習題。 2Hmol1 （ 理想氣體 ）在“ 1”點的狀態(tài)參量為, 31 ?V K3001 ?T ，在“ 3”點的狀態(tài)參量為 K300, 333 ?? TV 。 所以，兩絕熱線不能相交。利用閉合曲線做一正循環(huán) “ 1321 ??? ”。這說明系統(tǒng)可以在不吸收熱量 ， 甚至在放熱的情況下對外做有用功，這違反熱力學第一定律。利用閉合曲線做一正循環(huán) “ 1321 ??? ”?，F(xiàn)在也分兩種情況進行討論。 〖解〗： 假設(shè)在 Vp? 圖上兩條絕熱線 A、 B 相交于點“ 1”，則可作一等溫線 C 與它們分別相交于點“ 3”和點“ 2”。但是兩根相交的絕熱線不能構(gòu)成循環(huán)，而且它也不吸收熱量。例如先假定兩絕熱線已經(jīng)相交，其結(jié)果會形成一種永動機，從而說明這是不可能的。2 ??T ℃ 對于任何物質(zhì)，證明兩絕熱線不能相交。1 TTTPTTD ???? （ 8） 將（ 5）中的 PD ?? 代入，可以得到 7 439。239。239。139。239。2T ，則參考（ 6） 式，有 )/()( 39。39。1 TTTPTTD ???? （ 6） 得到 39。239。239。這時達到穩(wěn)態(tài)的條件同樣是：制冷機的制冷功率應(yīng)該等于房間的漏熱功率。1T ），而室內(nèi)溫度仍為 C20 039。21 TTTPTTD ???? （ 5） 將 301?T ℃， 2039。2139。21 TTDtQ ??? 應(yīng)該等于制冷機從房間取出的熱量，而后者可以用（ 2）式來求出，不過其中的 P 應(yīng)該用 來代替。我們可以利用這一條件求出 D 。房間的漏熱功率是由牛頓冷卻定律決定的，因而利用（ 1）式 ,有 )/()( 21221 TTPTTTD ??? （ 3） 0)( 2221 ??? PTTTD 即： 0)2( 212122 ???? DTTPDTDT ? ? DDTDPDTPDTT 24)2()2( 212112 ?????? 因為 12 TT? ，所以上式中只能取負號，所以有 )4)(212( 1212 DPTDPDPTT ???? （ 4） （ 3）當 室外溫度為 C300 ，制冷機長期 運轉(zhuǎn) %30 時間并且達到穩(wěn)態(tài)時，這時的 房間溫度為 ?39。 〖解〗： （ 1）對于 可逆卡諾制冷機，有： )/()/( 211211 TTTQ ??? ， 經(jīng)過變換可以得到 )/()/( 212212 TTTQ ??? （ 1） 又由于 W ?? 21 ，而 tWP d/d? ?? 22 d/d QtQ 考慮到在運行穩(wěn)定時 PQWQ // 22 ?? , 因而（ 1）式可表示為 )/(/ 2122 TTTPQ ??? ， )/( 212 TTPTQ ??? （ 2） （ 2）當 制冷機長期連續(xù)運轉(zhuǎn)后，房間達到的最低溫度 2T 時制冷機的制冷功率應(yīng)該等于房間的漏熱功率。通常制冷機是采用交替開停的方法來控制溫度， 使房間達到基本恒溫的。（ 3） 若室外溫度為 C300 ，溫度控制器開關(guān)使其間斷運轉(zhuǎn) %30 的時間 ( 例如開了 3分鐘就停 7 分鐘，如此交替開停 )，發(fā)現(xiàn)這時室內(nèi)保持 C200 溫度不變。（ 2）若室外向房間的漏熱遵從牛頓冷卻定律 ，即 )()d/d( 21 TTDtQ ??? ，其中 D 是與房屋的結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。 某空調(diào)器是由采用可逆卡諾循環(huán)的制冷機所制成。若要求出這一點，只要 將狀態(tài)方程兩邊對 V 求偏微商，偏微商的下標標以‘ l ’，表示這是狀態(tài)方程曲線上的 斜率。 ???????? ??W 由熱力學第一定律得吸收的熱量： J157139。 由圖知 AC pp ? ， AC 3VV ? ，根據(jù)蓋 呂薩克定律得： AC 3TT ? ，又由理想氣體狀態(tài)方程得： AAA RTVp ? ，所以 氣體從 A 變?yōu)? C 的過程中內(nèi)能的變化為： J60033)( AAAACm ?????? VpRTTTCU V, 。 ?W 。 狀態(tài)方程可寫為這樣的圓方程 1)2()2( 22 ???? Vp 圓的半徑 1?R 。若我們?nèi)? 335 m101,Pa101 ?? 分別作為縱坐標和橫坐標的單位，并且縱坐標和橫坐標只標定數(shù)字而不標出單位，則這個圓和普通的 yx, 坐標圖上的圓就沒有什么區(qū)別了。 還有一種確定 從放熱變?yōu)槲鼰岬倪^渡點坐標的方法，這將在 4. B. 2 中介紹。既然該點是絕熱曲線的一微小部分，也是圓的一微小部分，則該點在這兩條曲線上的斜率也應(yīng)該是相等的，或者說，絕熱曲線和圓應(yīng)該在該點相切。但是它的任何一個微小線段卻可以被認為是某一多方過程的微小部分。 〖分析〗： 循環(huán)曲線是由一段段實線線段連接而成的閉合曲線，而每一線段都可以被認為是某一多方過程的一部分。 ??? ??? WWWW = )2ln1(1 ?RT （ 2）計算系統(tǒng) 吸收或者釋放的熱量： 21? 等壓膨脹過程（ 吸熱 ）， 1m,12m,21 )( TCTTCQ pp ???? 32? 等體降溫過程（ 放熱 ）， 1m,32 TCQ V??? 13? 等溫壓縮過程（ 放熱 ）， 2ln113 RTνQ ??? （ 3）熱機效率 吸QWη 39。39。 13 RTppRTW ???? 對外作的 循環(huán)總 功 39。 21 )2()(2 RTTTRVVpW ?????? 32? 等體過程， 039。W ，注意 WW ??39。這是順時針循環(huán)，是熱機。 TpVp T ?????????? ， TpγVp S ?????????? 比較這兩個式子可以知道 m,m,m,m,VVVp C RCCγ ???? ， 由此可得： RCV, ? 。 若要避免錯誤，可以先把它轉(zhuǎn)換為 Vp? 圖，然后進 行計算。試問： (1) 該氣體的 m,VC 是多少 ? (2) 循環(huán)功是多少 ? (3) 循環(huán)效率是多少 ? 〖分析〗： （ 1）它的 等溫過程方程為 1CpV? ，絕熱過程方程為 2CpV ?? ，只要分別對上述方程的兩邊取微分，就可以求出在 Vp? 圖上過程曲線 的 斜率。但是如果要求出 1V ，必須先知道 2V ，（ 因為 021 2VVV ?? ）。 〖解〗： （ 1）顯然 初始時刻活塞左、右側(cè)氣體的壓強都 是 0p ，最 終左、右側(cè)氣體壓強分別為 1p 、 2p ，溫度分別 1T 、 2T ，體積分別為 1V 、 2V 。這個功全部用來增加右方氣體的內(nèi)能（或者說使得它的溫度升高）。試問： (1) 對活塞右側(cè)氣體作了 多少功 ? (2) 右側(cè)氣體的終溫是多少 ? (3) 左側(cè)氣體的終溫是多少 ? (4) 左側(cè)氣體吸收了多少熱量 ? 〖分析〗： 圓柱形容器和活塞都是絕熱的，所以活塞右方氣體經(jīng)歷的是絕熱過程；而活塞左側(cè)有通電線圈加熱。將一通電線圈放在活塞左側(cè)氣體中，對氣體緩慢加熱。 〖解〗： 因為 上升空氣的膨脹是準靜態(tài)絕熱過程，滿足準靜態(tài)絕熱方程 1001 ?? ? ????pTpT （ 1） 大氣壓隨高度變化的微分公式 zRTgMpp d)/(/d m?? （ 2） 由（ 1）式、（ 2）式化簡， 兩邊積分， ?? ??? ? hpp zp pgpM RT 0/1/)1(0m 0 dd0 ??? 可以得到 0/)1(0m101 )(1 RTghpMppγγ?????? ??? ??? 最后得到 )1/(0m,m0)1/(0m0 )1()]1[1( ?? ????? ???? TC ghMpRT)γ / (γ ghMppp 用絕熱壁做成一圓柱形的容器，在容器中間放置一無摩擦的、絕熱的可動活塞，活塞兩側(cè)各有 molν 的理想氣體 。實際上大氣溫度是隨高度而變化的。假設(shè)上升空氣的膨脹是準靜態(tài)絕熱過程。W J126J)]63(63[39。 〖解〗： （ 1）多方過程方程為 CpVn ? ，兩邊取對數(shù)，則有 )/ln( )/ln( 12 21 ?? VV ppn （ 1） （ 2） )( 12m, TTνCu V ??? ，而 222 RTνVp ? ， 111 RTνVp ? ， （ 3） 由此得到 J63???u （ 內(nèi)能減少 ） （ 4） （ 3）多方過程熱容 )1/(, ??? nRCC mVmn （ 5） 多方過程中吸收的熱量 )( 12, TTCνQ mn ?? （ 6） 聯(lián)立（ 3）、（ 5）、（ 6）式得到 J63?Q （ 吸收熱量 ）。設(shè)氧的 2/5., RC mV ? 。 4. 5. 5 室溫下定量理想氣體氧的體積為 （升），壓強為 ，經(jīng)過某一多方過程后體積變?yōu)? ，壓強為 。 TRTCQ V d)2/5(d)d( m,A ?? 兩邊積分 J1 3 9)2/5( AA ???? TRQ TRTRCTCQ Vp d)2/7(d)(d)d( m,m,B ???? 兩邊積分 J1 9 5)2/7( BB ???? TRQ （ 2）若 隔板換成可以自由滑動的絕熱隔板，則 A 部和 B 部的壓強始終相等，并且等于大氣壓強，這時 TRTCHQ pp / 2 ) d(7d)d()d( m,A ??? A)2/7( TRQ A ???? A 部凈吸收的熱量 JQA ?? A部的溫度改變 )2/7/(A ???? RQT 對于 B 部，由于隔板是絕熱的，所以 0)d( B?Q ， 0B??Q 。因為隔板是導熱的， B 部的溫度改變和 A 部相等 。注意到 A 部和 B 部的氣體都是 1 摩爾。 A 部在定體條件下既吸熱又放熱，但是其凈吸收的熱量是 A)d(Q 。 〖解〗： （ 1） 隔板是固定的并且是可導熱的。 2， 若 隔板是可以自由滑動的而且是絕熱的，則 A 部吸收熱量后按照等壓過程變化； B 部不吸收熱量，也不做功（ 因為它通過活塞和外界相連接，它的壓強始終和外界相等 ），按照熱力學第一定律，其內(nèi)能不變，狀態(tài)也不變。 〖分析〗： 1， 若 隔板的位置是固定的而且是導熱的，則 B 部吸收熱量后按照等壓過程變化； A 部既吸收熱量，又向 B 部放熱，同時它按照等體過程變化。今將 J 的熱量緩慢地由底部供給氣體，設(shè)活塞上的壓強始終保持為 ，求 A 部和 B 部溫度的改變以及各吸收的熱量( 導熱板的熱容可以忽略 )。若物態(tài)方程式是 （ 1） RTbVp ?? )( m （ bR、 是常數(shù) ） （ 2） ）（ mm 1 VBRTpV ?? [ ?R 常數(shù)， )(TfB? ] 〖解〗： （ 1）因為 RTbVp ?? )( m ，即 )/( m bVRTp ?? 。???? PPI 從而求出電子流強度 μA6139。 ???? ?P )1e xp( ) xp()10( )10(μA3739。? 時，在 cm10?x 處的殘) x p ()/10e x p ()10( 39。氣壓降 到 Pa502 ?p 時電子的平均自由程為 cm20239。 （ 2）因為 pσkT 2?? , 說明溫度相同時 ? 和 p 成反比。 〖解〗： （ 1）設(shè)電子的平均自由程為 ? 。當氣壓降到 Pa502 ?p 時在 10 cm 處電子的殘存概率可以由 39。由此可以求出 Pa1001 ?p 時電子的平均自由程為 ? ；同時也可以求出氣壓降到 Pa502 ?p 時的平均自由程為 39。 (1) 電子的平均自由程為多大 ? (2) 氣壓降到 Pa502 ?p 時，到達收集極的電子流強度是多少 ? 〖分析〗： 由于電子槍發(fā)射的電子流強度為 100 ?A， 在 氣壓 Pa1001 ?p 、 x = 10 cm 時，到達收集極的電子流強度為 37 ?A， 說明有 [（ 100－ 37） /100