【正文】 ∴∠ BOC=2∠ A=120176。， ∵ OB=OC， ∴∠ OBC=∠ OCB=30176。， ∵ CP=CB， ∴∠ CPB=∠ CBP=30176。， ∵∠ BOC=120176。， ∴∠ DOC=60176。， ∴∠ PCO=90176。， ∴ PC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）連接 CD， ∵ BD 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ BCD=90176。， ∵ = ， ∴∠ ACB=∠ ACD=45176。， ∵ PC 是 ⊙ O 的切線， ∴∠ PCD=∠ PBC=30176。， ∴∠ PCE=∠ ACD+∠ PCD=75176。， ∵∠ P=30176。， ∴∠ PEC=75176。， ∴∠ PEC=∠ PCE=75176。， ∴ PC=PE． 第 24 頁（共 28 頁） 【點評】 本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的判定，綜合性比較強，熟記定理及性質(zhì)，才是解答的關(guān)鍵． 五、本大題共 1小題，共 10分 23．如圖，在菱形 ABCD 中，兩條對角線長是 AC=10， BD=6， F 是線段 AO 上一點（不與 A、 O 重合）， Q 是線段 OC 上一點，且 AP=CQ，分別將 ∠ BAD 和 ∠ BCD 折疊，使 A、 C 兩點都在對角線AC 上，折痕分 別是 EH 和 FG， EH 過 P 點， FG 過 Q 點，連接 EF、 HG，再把折疊部分鋪平． （ 1）四邊形 EFGH 的形狀是 矩形 ； （ 2）設(shè) AP=x，四邊形 EFGH 的面積為 y； ①求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式及面積 y 的取值范圍； ②當四邊形 EFGH 是正方形時，求面積 y 的值． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 ∠ HAP=∠ EAP=∠ GCQ=∠ FCQ，由折疊的性質(zhì)得到 AP⊥ HE，CQ⊥ GF，推出 △ APH≌△ CQG，得到 PH=GQ，同理 PH=GQ=PE=FQ，證得四邊形 EFGH 是平行四邊形，得到 HG∥ EF，根據(jù) 平行線的性質(zhì)得到 ∠ AHF=∠ ADB， ∠ HAP=∠ DHG，即可得到結(jié)論； （ 2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 AO=CO= AC=5， AC⊥ BD，由折疊的性質(zhì)得 HE⊥ BD，推出△ AEH∽△ ABD，得到 ，求得 HE= x，根據(jù)矩形的面積公式得到 y=HE?PQ= x?（ 10﹣ 2x），于是得到結(jié)論； ②根據(jù)正方形到現(xiàn)在列方程得到 x= ，即可得到結(jié)果． 【解答】 解：（ 1）四邊形 EFGH 的形狀是矩形； 第 25 頁（共 28 頁） ∵ 在菱形 ABCD 中， ∴∠ HAP=∠ EAP=∠ GCQ=∠ FCQ， 由折疊的性質(zhì)得： AP⊥ HE， CQ⊥ GF， 在 △ APH 與 △ CQG 中， ， ∴△ APH≌△ CQG， ∴ PH=GQ， 同理 PH=GQ=PE=FQ， ∴ HE=GF， ∵ HE∥ GF， ∴ 四邊形 EFGH 是平行四邊形， ∴ HG∥ EF， ∴∠ AHF=∠ ADB， ∠ HAP=∠ DHG， ∵∠ HAP+∠ AHP=90176。， ∴∠ AHP+∠ DHG=90176。， ∴∠ EHG=90176。， ∴ 四邊形 EFGH 是矩形， 故答案為：矩形； （ 2） ①∵ 在菱形 ABCD 中， ∴ AO=CO= AC=5， AC⊥ BD， 由折疊的性質(zhì)得 HE⊥ BD， ∴ HE∥ BD， ∴△ AEH∽△ ABD， ∴ ， ∴ ， ∴ HE= x， 第 26 頁（共 28 頁） ∵ PQ=10﹣ 2x， ∴ y=HE?PQ= x?（ 10﹣ 2x）， 即 y=﹣ x2+12x，（ 0＜ y≤15）； ②當四邊形 EFGH 是正方形時，即 HE=EF， ∴ x=10﹣ 2x， 解得： x= ， ∴ y=﹣ x2+12x= ． 【點評】 本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 六、本大題共 1小題，共 12分 24．在平面直角坐標系中，拋物線 C1： y= ，把 C1沿 x 軸向右平移 m（ m＞ 0）個單位長度，得拋物線 C2， C1和 C2的交點為點 Q，頂點分別是 O 和 P， （ 1）直接寫出拋物線 C2的函數(shù)解析式（含 m），并求點 Q 的坐標（含 m）． （ 2）定義：兩條拋物線，把其中一條只通過沿水平方向向左（或向右）平移得到另一條，且 ∠ OQP=90176。，這樣的兩條拋物線稱為 “和諧線 ”． ①當 C1和 C2是和諧線時，求 m 的值； ②求拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 的和諧線． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)圖形左加右減，可得函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)值相等的點關(guān)于對稱軸對稱，可得 Q與 P 的關(guān)系，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得 Q 點坐標； 第 27 頁（共 28 頁） （ 2） ①根據(jù) 兩條拋物線，把其中一條只通過沿水平方向向左（或向右）平移得到另一條，且∠ OQP=90176。，這樣的兩條拋物線成為 “和諧線 ”，可得 △ OPQ 是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于 m 的方程，根據(jù)解方程，可得答案； ②根據(jù)兩條拋物線，把其中一條只通過沿水平方向向左（或向右）平移得到另一條，且 ∠ EQP=90176。，這樣的兩條拋物線成為 “和諧線 ”，可得 △ EPQ 是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于 m 的方程，根據(jù)解方程，可得答案． 【解答】 解：（ 1）如圖 1 ， 把 C1沿 x 軸向右平移 m（ m＞ 0）個單位長 度，得拋物線 C2，得 C2： y= （ x﹣ m） 2， 過 Q 作 QG⊥ x 軸于 G 點， 由 Q 到對稱軸的距離相等，得 OG=PG= OP= m． 當 x= 時， y= m2，即 Q 點的坐標為（ m， m2）； （ 2） ①如圖 2 ， 由 ∠ OQP=90176。， OQ=PQ，得 ∠ QOG=45176。， OG=PG= OP= m， 當 x= m 時， y= （ m） 2= ，即 Q（ m， ）． 由 ∠ QOG=45176。， ∠ OGQ=90176。，得 第 28 頁（共 28 頁） OG=GQ，即 | m|=| （ m） 2|， 解得 m=0（舍）、 m=177。4， m=﹣ 4 時，拋物線向左平移， m=4 時，拋物 線向右平移， 綜上所述：當 C1 和 C2 是和諧線時， m 的值為 4 或﹣ 4； ②如圖 3 ， y=﹣ x2﹣ 2x+3=﹣（ x+1） 2+4，拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 的和諧線 y=﹣（ x+1﹣ m） 2+4， 由 △ PEQ 是等腰直角三角形，得 △ PFQ 是等腰直角三角形，即 PF=FQ． 當 x=﹣ 1+ 時， y=﹣ +4，即 Q（﹣ 1+ ，﹣ +4）， FQ=4﹣（﹣ +4） = ． = ．解得 m=2， m=0（舍）， 拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 的和諧線 y=﹣（ x﹣ 1） 2+4， 同理向左平移， m=﹣ 2， 拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 的和諧線 y=﹣（ x+3） 2+4， 綜上所述：拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 的和諧線 y=﹣（ x﹣ 1） 2+4 或 y=﹣（ x+3） 2+4． 【點評】 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用兩條拋物線成為 “和諧線 ”得出 △ EPQ 是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．