【正文】 在黑板上畫出如圖的圖形，（其中點(diǎn) B， F， C， E 在同一條直線上）．并寫出四個(gè)條件： ① AB=DE， ②∠ 1=∠ 2． ③ BF=EC， ④∠ B=∠ E，交流中老師讓同學(xué)們從這四個(gè)條件中選出三個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題． ① 請(qǐng)你寫出所有的真命題； ② 選一個(gè)給予證明．你選擇的題設(shè)： ①③④ ；結(jié)論： ② ．（均填寫序號(hào)） 第 38 頁(yè)（共 46 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 全等三角形的判定與性質(zhì)；命題與定理． 【分析】 ① 有三種情況是真命題：情況一：由 AAS 證明 △ ABC≌△ DEF，得出對(duì)應(yīng)邊相等 BC=EF，即可得出 BF=EC； 情況二：先證 BC=EF，由 SAS 證明 △ ABC≌△ DEF，即可得出 ∠ 1=∠ 2； 情況三：先證出 BC=EF，再由 ASA 證明 △ ABC≌△ DEF，即可得出 AB=DE； ② 先證 BC=EF，由 SAS 證明 △ ABC≌△ DEF，即可得出 ∠ 1=∠ 2． 【解答】 解： ① 情況一：題設(shè)： ①②④ ；結(jié)論： ③ ； 情況二：題設(shè) ①③④ ；結(jié)論： ② ； 情況三：題設(shè) ②③④ ；結(jié)論： ① ． ② 選擇的題設(shè)： ①③④ ；結(jié)論： ② ； 理由：： ∵ BF=EC， ∴ BF+CF=EC+CF，即 BC=EF， 在 △ ABC 和 △ DEF 中， ， ∴△ ABC≌△ DEF（ SAS）， ∴∠ 1=∠ 2； 故答案為： ①③④ ； ② ． 17．如圖，兩車從路段 AB 的兩端同時(shí)出發(fā)，沿平行路線以相同的速度行駛，相同時(shí)間后分別到達(dá) C， D 兩地， CE⊥ AB， DF⊥ AB， C， D 兩地到路段 AB 的距離相等嗎？為什么？ 第 39 頁(yè)（共 46 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 全等三角形的應(yīng)用． 【分析】 根據(jù)題意可得 ∠ AEC=∠ BFD=90176。， AC=BD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得 ∠A=∠ B，然后再利用 AAS 判定 △ AEC≌△ BFD，進(jìn)而可得 CE=DF． 【解答】 解： C， D 兩地到路段 AB 的距離相等， 理由： ∵ CE⊥ AB， DF⊥ AB， ∴∠ AEC=∠ BFD=90176。， ∵ AC∥ BD， ∴∠ A=∠ B， 在 △ AEC 和 △ BFD 中 ， ∴△ AEC≌△ BFD（ AAS）， ∴ CE=DF， ∴ C， D 兩地到路段 AB 的距離相等． 18．如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長(zhǎng)是 1 的正方形）中完成下列各題：（用直尺畫圖） （ 1）畫出格點(diǎn) △ ABC（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）關(guān)于直線 DE 對(duì)稱的 △ A1B1C1； （ 2）在 DE 上畫出點(diǎn) P，使 PB1+PC 最??； （ 3）在 DE 上畫出點(diǎn) Q，使 QA+QC 最小． 【考點(diǎn)】 軸對(duì)稱 最短路線問(wèn)題． 【分析】 （ 1）從三角形各頂點(diǎn)向 DE 引垂線并延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接； （ 2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接 B1C 即可； 第 40 頁(yè)（共 46 頁(yè)） （ 3）利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可作點(diǎn) A 關(guān)于直線 DE 的對(duì)稱點(diǎn) A′，連接 A′C，交直線 DE 于點(diǎn) Q，點(diǎn) Q 即為所求． 【解答】 解：如圖所示： （ 1） △ A1B1C1 即為所求． （ 2）連接 B1C 與直線 DE 的交點(diǎn) P 即為所求． （ 3）作點(diǎn) A 關(guān)于直線 DE 的對(duì)稱點(diǎn) A′，連接 A′C，交直線 DE 于點(diǎn) Q，點(diǎn) Q 即為所求． 19．某中學(xué)八年級(jí)（ 1）班數(shù)學(xué)課外興趣小組在探究： “n 邊形共有多少條對(duì)角線 ”這一問(wèn)題時(shí)，設(shè)計(jì)了如下表格： 多邊形的邊數(shù) 4 5 6 7 8 … 從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引起的對(duì)角線條數(shù) 1 2 3 4 5 … 多邊形對(duì)角線的總條數(shù) 2 5 9 14 20 … （ 1）探究：假若你是該小組的成員，請(qǐng)把你研究的結(jié)果填入上表； （ 2）猜想：隨著邊數(shù)的增加，多邊形對(duì)角線的條數(shù)會(huì)越來(lái)越多，從 n 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引的對(duì)角線條數(shù)為 （ n﹣ 3）） ， n 邊形對(duì)角線的總條數(shù)為 （ n≥ 3） ． （ 3）應(yīng)用： 10 個(gè)人聚會(huì)，每不相鄰的人都握一次手，共握多少次手？ 【考點(diǎn)】 多邊形的對(duì)角線． 【分析】 （ 1）根據(jù)多邊形的性質(zhì)，可得答案； （ 2）根據(jù)多邊形的對(duì)角線，可得答案； 第 41 頁(yè)（共 46 頁(yè)） （ 3）根據(jù)多邊形的對(duì)角線，可得答案． 【解答】 解： 多邊形的邊數(shù) 4 5 6 7 8 … 從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引起的對(duì)角線條數(shù) 1 2 3 4 5 … 多邊形對(duì)角線的總條數(shù) 2 5 9 14 20 … （ 1）探究：假若你是該小組的成員，請(qǐng)把你研究的結(jié)果填入上表； （ 2）猜想：隨著邊數(shù)的增加，多邊形對(duì)角線的條數(shù)會(huì)越來(lái)越多，從 n 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引的對(duì)角線條數(shù)為 （ n﹣ 3））， n 邊形對(duì)角線的總條數(shù)為 （ n≥ 3）． （ 3） = =35 次， 20．如圖，把長(zhǎng)方形 ABCD 沿對(duì)角線 BD 折疊，重合部分為 △ EBD． （ 1）求證： △ EBD 為等腰三角形． （ 2）圖中有哪些全等三角形？ （ 3）若 AB=6， BC=8，求 △ DC′E 的周長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問(wèn)題）． 【分析】 （ 1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 ∠ BAE=∠ DCE， AB=CD，再由對(duì)頂角相等可得∠ AEB=∠ CED，推出 △ AEB≌△ CED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論； （ 2）根據(jù)全等三角形的判定解答即可； （ 3）根據(jù)三角形周長(zhǎng)即可得到結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 為矩形， ∴∠ BAE=∠ DCE， AB=CD， 在 △ AEB 和 △ CED 中， 第 42 頁(yè)（共 46 頁(yè)） ， ∴△ AEB≌△ CED（ AAS）， ∴ BE=DE， ∴△ EBD 為等腰三角形． （ 2）全等三角形有： △ EAB≌△ EC39。D； △ ABD≌△ CDB； △ CDB≌△ C39。DB； △ ABD≌△ C39。DB； （ 3） △ DC′E 的周長(zhǎng) =C39。D+C39。E+ED=AB+AE+ED=AB+AD=6+8=14． 21．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=60176。， BE 是中線，延長(zhǎng) BC 到 D，使 CD=CE，連接 DE，若 △ ABC 的周長(zhǎng)是 24， BE=a，則 △ BDE 的周長(zhǎng)是多少？ 【考點(diǎn)】 等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=60176。，可得 △ ABC 的形狀，再根據(jù) △ ABC的周長(zhǎng)是 24，可得 AB=BC=AC=8，根據(jù) BE 是中線，可得 CE 的長(zhǎng)， ∠ EBC=30176。，根據(jù) CD=CE，可得 ∠ D=∠ CED，根據(jù) ∠ ACB=60176。，可得 ∠ D，根據(jù) ∠ D 與 ∠ EBC，可得 BE 與 DE 的關(guān)系，可得答案． 【解答】 解： ∵ 在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=60176。， ∴△ ABC 是等邊三角形， ∵△ ABC 的周長(zhǎng)是 24， ∴ AB=AC=BC=8， ∵ BE 是中線， ∴ CE= AC=4， ∠ EBC= ∠ ABC=30176。， ∵ CD=CE， ∴∠ D=∠ CED， ∵∠ ACB 是 △ CDE 的一個(gè)外角， 第 43 頁(yè)（共 46 頁(yè)） ∴∠ D+∠ CED=∠ ACB=60176。 ∴∠ D=30176。， ∴∠ D=∠ EBC， ∴ BE=DE=a， ∴△ BED 周長(zhǎng)是 DE+BE+BD=a+a+（ 8+4） =2a+12． 22．如圖 1， AD 平分 ∠ BAC， ∠ B+∠ C=180176。， ∠ B=90176。，易知： DB=DC． （ 1）如圖 2， AD 平分 ∠ BAC， ∠ ABD+∠ ACD=180176。， ∠ ABD＜ 90176。．求證： DB=DC． （ 2）如圖 3，四邊形 ABCD 中， ∠ B=60176。， ∠ C=120176。， DB=DC=2，則 AB﹣ AC=？ 【考點(diǎn)】 全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）證明 △ DFC≌△ DEB 即可． （ 2）先證明 △ DFC≌△ DEB，再證明 △ ADF≌△ ADE，結(jié)合 BD 與 EB 的關(guān)系即可解決問(wèn)題． 【解答】 （ 1）證明：如圖 ② 中， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC 于 F， ∵ DA 平分 ∠ BAC， DE⊥ AB， DF⊥ AC， ∴ DE=DF， ∵∠ B+∠ ACD=180176。， ∠ ACD+∠ FCD=180176。， ∴∠ B=∠ FCD， 在 △ DFC 和 △ DEB 中， ， ∴△ DFC≌△ DEB， ∴ DC=DB． （ 2）解：如圖 ③ 連接 AD、 DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC 于 F， ∵∠ B+∠ ACD=180176。， ∠ ACD+∠ FCD=180176。， ∴∠ B=∠ FCD， 第 44 頁(yè)（共 46 頁(yè)） 在 △ DFC 和 △ DEB 中， ， ∴△ DFC≌△ DEB， ∴ DF=DE， CF=BE， 在 Rt△ ADF 和 Rt△ ADE 中， ， ∴△ ADF≌△ ADE， ∴ AF=AE， ∴ AB﹣ AC=（ AE+BE）﹣（ AF﹣ CF） =2BE， 在 Rt△ DEB 中， ∵∠ DEB=90176。， ∠ B=∠ EDB=60176。， BD=2， ∴ BE=1， ∴ AB﹣ AC=2． 23．（ 1）發(fā)現(xiàn)：如圖 1，點(diǎn) A 為線段 BC 外一動(dòng)點(diǎn)，且 BC=a， AB=b． ① 填空：當(dāng)點(diǎn) A 位于 CB 的延長(zhǎng)線上 時(shí)，線段 AC 的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為 a+b （用含 a， b 的式子表示） （ 2）應(yīng)用：點(diǎn) A 為線段 BC 外一動(dòng)點(diǎn)，且 BC=3， AB=1，如圖 2 所示，分別以 AB、AC 為邊，作等邊三角形 ABD 和等邊三角形 ACE，連接 CD， BE． ① 請(qǐng)找出圖中與 BE 相等的線段，并說(shuō)明理由； ② 直接寫出線段 BE 長(zhǎng)的最大值． 第 45 頁(yè)（共 46 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 三角形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）根據(jù)點(diǎn) A 為線段 BC 外一動(dòng)點(diǎn)，且 BC=a， AB=b，可得當(dāng)點(diǎn) A 位于CB 的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段 AC 的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為 BC+AB=a+b； （ 2） ① 根據(jù)等邊三角形 ABD 和等邊三角形 ACE，可得 △ CAD≌△ EAB（ SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 CD=BE； ② 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，線段 BE 長(zhǎng)的最大值 =線段 CD 長(zhǎng)的最大值，而當(dāng)線段 CD 的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn) D 在 CB 的延長(zhǎng)線上，此時(shí) CD=3+1=4，可得 BE=4． 【解答】 解：（ 1）如圖 1， ∵ 點(diǎn) A 為線段 BC 外一動(dòng)點(diǎn)，且 BC=a， AB=b， ∴ 當(dāng)點(diǎn) A位于 CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段 AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為 BC+AB=a+b． 故答案為： CB 的延長(zhǎng)線上， a+b； （ 2） ① CD=BE． 理由：如圖 2， ∵ 等邊三角形 ABD 和等邊三角形 ACE， ∴ AD=AB， AC=AE， ∠ BAD=∠ CAE=60176。， ∴∠ BAD+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC， 即 ∠ CAD=∠ EAB， 在 △ CAD 和 △ EAB 中， ， ∴△ CAD≌△ EAB（ SAS）， ∴ CD=BE； ② 線段 BE 長(zhǎng)的最大值為 4． 理由： ∵ 線段 BE 長(zhǎng)的最大值 =線段 CD 長(zhǎng)的最大值， ∴ 當(dāng)線段 CD 的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn) D 在 CB 的延長(zhǎng)線上， 第 46 頁(yè)（共 46 頁(yè)） 此時(shí) CD=3+1=4， ∴ BE=4．