44三次樣條插值-資料下載頁(yè)
2024-09-30 10:16本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】前面我們根據(jù)區(qū)間[a,b]上給出的節(jié)點(diǎn)做。插值多項(xiàng)式Ln近似表示f。以為L(zhǎng)n的次數(shù)越高，逼近f的精度。越好，但實(shí)際并非如此，次數(shù)越高，計(jì)。算量越大，也不一定收斂。值一般要慎用，實(shí)際上較多采用分段低。，則外插也選若，即。取，，若計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。上的現(xiàn)性插值函數(shù)表示用則。足夠小才能較好的逼近}{max11??????差，如果交通工具用這樣的外形，則勢(shì)。必加大摩擦系數(shù)，增加阻力，因此用。對(duì)應(yīng)于劃分為區(qū)間則稱。是不超過(guò)上在每個(gè)小區(qū)間。上有表達(dá)式在每個(gè)子區(qū)間設(shè)三次樣條函數(shù)。已知兩端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)第一類。給出兩個(gè)個(gè)，還缺兩個(gè)，因此須而插值條件為。個(gè)未知系數(shù)，即對(duì)于待定系數(shù)
【正文】 ?????????miniimiiimiinminiminiminiminimiimiiminimiimikkxyxyyxxxxxxxxnkxxx0001002010010200001), . . . ,2,1,0()(1)(?????????????最小二乘的法方程為時(shí)，當(dāng)例題 ? 例 設(shè)函數(shù) y=f(x)的離散數(shù)據(jù)如下表所示 試用二次多項(xiàng)式擬和上述數(shù)據(jù) ,并求平方誤差 . 0 1 2 3 4 5 0 1 iixiy? 解 由式 ()可得 ? 解方程組得 ? 所以擬合二次函數(shù)為 ???????????????????????????????0 8 6 1 5 6 6 210???0 1 , , ? ? ?? ? ?21 .0 0 6 3 2 1 4 2 8 0 .8 6 2 5 8 9 2 9 5 0 .8 4 2 4 1 0 7 0 4y x x? ? ?? 平方誤差為 01 7 1007 8 242211002222????????????????所以f? 例 地球溫室效應(yīng)問(wèn)題 ? 下表統(tǒng)計(jì)了近 100年內(nèi)地球大氣氣溫上升的數(shù)據(jù) .試根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立一數(shù)學(xué)模型即擬和曲線 ,并根據(jù)這一模型 ,預(yù)報(bào)地球氣溫何年會(huì)比 1860年的平均溫度高 7oC年份 N 1860年后地球氣溫增加值 年份 N 1860年后地球氣溫增加值 1880 1940 1890 1950 1900 1960 1910 1970 1920 1980 1930 Ct0Ct0? 解 為簡(jiǎn)化數(shù)據(jù) ,從 1880年起年份記 N,其變換 n=(N1870)/記為 t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴(kuò)大 100倍 ,根據(jù)新數(shù)據(jù)繪制圖 (P119) ? 從圖 ,氣溫 t與變換 n大致服從指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)過(guò)程 ,因此 ,可以假設(shè) t與 n滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系 ? 為決定參數(shù) α,β將上式改寫(xiě)成 nte ???l n l ntt????? 記 則有 ? 這是已知數(shù)據(jù)相應(yīng)地變?yōu)槿缦卤硭? l n , , l n ,y t x n a b??? ? ? ?bxay ??n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ln1 ln2 ln3 ln4 ln6 ln8 ln10 ln13 ln19 ln24 ln32 ty ln?? 由式 (),取 n=1,m=10,并將上表已知數(shù)據(jù)帶入得 解方程組得 : 1 1 6 5 2 1 .4 5 0 9 5 0 7 86 5 5 0 6 1 6 4 .2 1 7 4 2 4 8abab???????1 . 1 4 3 6 9 5 1 0 80 . 3 0 7 2 9 2 9 6 9aeb??? ??? ???所以,3 0 7 2 9 2 9 6 ,1 3 4 2 6 4 3 4 ?? ba? 相應(yīng)的 t 與 n 的指數(shù)型擬合曲線關(guān)系為 ? 就是所求地球溫室效應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型 ,以此進(jìn)行預(yù)報(bào) ,即已知 t值求 0. ?l n ( / 1 . 1 4 3 6 9 5 1 0 8 ) / 0 . 3 0 7 2 9 2 9 6 61 8 7 0 1 0ntNn???? 以地球氣溫比 1860年上升 為例 ,即以t=700代入上式可得 : N(7)=2078(年 ) 7oC 矛盾方程組的最小二乘解 ? 設(shè)矛盾方程組 ? 這里 mn,記 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2( 4. 5. 18 )nnnnm m m n n mx x x bx x x bx x x b? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ????? ? ? ??1122( ) , , ,ij m nnnxbxbA a x bxb?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 則上式可簡(jiǎn)記為 Ax=b. ? 矛盾方程組的最小二乘解 x*是指滿足 22 *2 2m in A x b A x b? ? ?? 引理 設(shè) 則 B為半正定對(duì)稱方陣 ,當(dāng) R(A)=n,則 B是正定對(duì)稱方程 .若 A的各列線性無(wú)關(guān) ,則 是非奇異方陣 . ,m n TA R B A A???TB A A?? 定理 設(shè) 且各列向量線性無(wú)關(guān) ,則 (1)矛盾方程組 ()的法方程組 恒有解 。 (2)設(shè) x* 是法方程組 的解 ,則 x* 是矛盾方程組 ()的最小二乘解 . nmRA ??TTA Ax A b?TTA Ax A b?? 定理 :實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 的曲線擬合最小二乘法本質(zhì)上就是矛盾方程組 的最小二乘解 . ),...2,1,0(),( miyx ii ?0 0 0 1 1 0 0 00 0 1 1 1 1 1 10 0 1 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )nnnnm m n n m mx x x yx x x yx x x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ????? ? ?
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