632割線法與拋物線法-資料下載頁
2025-09-21 09:50本頁面
【導(dǎo)讀】若（）的右端最后一項(xiàng)忽略不記，作為。這就是Newton迭代法。橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn),見圖6-3.更準(zhǔn)確地,從()和()可得下面的定理.性方程，Newton法具有全局收斂性。例設(shè)a>0,對(duì)方程-a=0試證:取任何初值>0，程的單根時(shí),Newton法至少具有二階局部收斂性。討論重根的情形.由Newton迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式,容易求出)(x?所以，x*是的單零點(diǎn).可將Newton法的迭代函數(shù)修改為)(x?的Newton法是一階的,要近30次迭代才有相同精度的結(jié)果.f比較復(fù)雜時(shí)，提供它的導(dǎo)數(shù)值往往是有困難的。這稱為簡(jiǎn)化Newton法。其幾何解釋為通過。與Newton法不同的是，用割線法計(jì)算時(shí)，需要有兩個(gè)初始值。計(jì)算時(shí)，要保留上步。的和，再計(jì)算一次函數(shù)值。則當(dāng)時(shí)，由（）式產(chǎn)生的序列，并且按階收斂到根。
【正文】 ， 收斂仍可能很快 。 ? 0x *x)(39。 xf 0)(39。 * ?x?例 10 分別用單點(diǎn)割線法 ， 割線法和 Newton法求解Leonardo方程 020202)( 23 ????? xxxxf解 1043)(39。 2 ??? xxxf 46)(39。39。 ?? xxf由于 故，在（ 1， 2）內(nèi)僅有一個(gè) 根。 對(duì)于單點(diǎn)割線法和割線法，取 計(jì)算結(jié)果如表 68。 012)2(,07)1(,0)(39。 ?????? ffxf2,1 10 ?? xx第六章非線性方程組的迭代解法 對(duì)于 Newton法，由于在（ ）內(nèi) ，故取 ，計(jì)算結(jié)果如表 68 0)2(,0)(39。39。 ?? fxf20 ?x5x 單點(diǎn)割線法 割線法 Newton法 表 68 由計(jì)算結(jié)果知，對(duì)單點(diǎn)割線法有 ，對(duì)割線法有 ，對(duì) Newton法有 ，故取 545 ???? xx845 ???? xx 845 ???? xx* ?x第六章非線性方程組的迭代解法 割線法的收斂階雖然低于 Newton法 ， 但迭代一次只需計(jì)算一次 函數(shù)值 ， 不需計(jì)算導(dǎo)數(shù)值 ， 所以效率高 ， 實(shí)際問題中經(jīng)常使用 。 與割線法類似 ， 我們可通過三點(diǎn) 作一條拋物線 ， 適當(dāng)選取它與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為 。 這樣產(chǎn)生迭代序列的方法稱為 拋物線法 ， 亦稱 Muller方法 。 1?kx)( kxf )(39。 kxf).,1,2))((,( kkkixfx ii ??? 下面給出拋物線法的計(jì)算公式。過三點(diǎn) 的插值多項(xiàng)式為 ).,1,2))((,( kkkixfx ii ???))(](,[)](,[)()( 12112 ???? ?????? kkkkkkkkk xxxxxxxfxxxxfxfxp221 )](,[)()( kkkkkkk xxxxxfxxxf ????? ???其中 ],[)(],[ 2111 ???? ??? kkkkkkkk xxxfxxxxf?第六章非線性方程組的迭代解法 kx1?kx二次方程 有兩個(gè)根，我們選擇接近 的一個(gè)作 ，即得迭代公式 0)(2 ?xp],[)(4)s gn ()(22121??? ????kkkkkkkkkk xxxfxfxfxx???（ ） 把根式寫到分母是為例避免有效數(shù)字的損失。 可以證明（ ）產(chǎn)生的序列局部收斂到 的零點(diǎn) ，即有類似于定理 。這里要假設(shè) 在 的領(lǐng)域內(nèi)三階導(dǎo)數(shù)連續(xù) ， 。它的收斂階是 ，這是方程 的根。收斂速度比割線法更接近于 Newton法。 )(xf*x )(xf *x0)(39。39。 * ?xf ?p0123 ???? ???
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