【正文】 N、 R， 則由雙曲線定義知 |PF1||PF2|=2a， 即（ |PM|+|MF1|） （ |PN|+|NF2|） =2a， 又 |PM|=|PN|，故 |MF1||NF2|=2a， 而 |MF1|=|RF1|， |NF2|=|RF2|， 因此 |F1R||F2R|=2a， 設 R（ 0， t），則 t+c（ ct） =2a， ∴ t=a. 12222?? byaxA 二、填空題 6.（ 2022178。 湖南理， 12）已知以雙曲線 C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內角為 60176。 ，則雙曲線 C的離心率為 . 解析 ∵ 雙曲線中焦距比虛軸長， ∴ 焦點處內角為 60176。 ,又由雙曲線性質得四邊形為菱形 . ∴ =tan 30 176。 = , ∴ c= b,∴ a2=c2b2=2b2, ∴ a= b. ∴ e= . cb33322623 ??ac267.（ 2022178。 聊城模擬）設雙曲線 (ba0)的半焦距為 c，直線 l過（ a,0）、 (0,b)兩點 .已知原點到直線 l的距離為 ，則雙曲線的離心率為 . 解析 直線 l的方程為 ，即 bx+ayab=0. 于是有 ,即 ab = . 兩邊平方得 16a2b2=3c4,∴16 a2(c2a2)=3c4. 即 3c416a2c2+16a4=0,∴3 e416e2+16=0. 解得 e2=4,或 e2= , ∵ ba0, 1, ∴ e2= =1+ 2,故 e2=4,∴ e=2. 12222?? byaxc431?? byax22ab?222aba ?22ab2243ccbaabab430022??????348.（ 2022178。 南通模擬）已知拋物線 y2=2px(p0)的焦點 F恰好是橢圓 (ab0)的左焦點，且兩曲線的公共點的連線過 F，則該橢圓的離心率為 . 解析 由題意 F（ ， 0），設橢圓的右焦點為 M，橢圓與拋物線的一個交點為 A，則 |AF|=p， |FM|=p， ∴ |AM|= p， ∴ 橢圓長半軸長 a = , 橢圓的半焦距 c= , ∴ 橢圓的離心率 e= . 12222?? byax2p?2pAMAF 2 122 ???2p12121 ????ac12 ?三、解答題 9.（ 2022178。 濰坊模擬）已知橢圓的兩個焦點分別為 F1（ 0， ）， F2（ 0， ），離心率為 e= . （ 1）求橢圓方程； （ 2）一條不與坐標軸平行的直線 l與橢圓交于不同 的兩點 M， N，且線段 MN中點的橫坐標為 ，求直 線 l的傾斜角的取值范圍 . 解 （ 1）根據題意可設橢圓方程為 （ ab0） ,其中 c為半焦距 , c= , e= , ∴ a=3,b=1,∴ . 2222?32221?12222??aybx2222 ?? ba322?ac1922 ?? yx（ 2）由題意知，直線的傾斜角不可能為 0和 , ∴ 設直線方程為 y=kx+m (k≠0). y=kx+m x2+ =1 (k2+9)x2+2kmx+m29=0, Δ =4k2m24(k2+9)(m29)0，即 k2m2+90① 設 M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， x1+x2= ， ∵ 線段 MN中點的橫坐標為 ， ∴ ，即 m= ② 把②代入①解得 k23,即 k 或 k , 直線 l的傾斜角的取值范圍為 . 2?92y922 ??kkm21?2192212 ?????kkmkk292 ?3 3?)32,2()2,3( ???? ?，橢圓 C的方程為 (ab0),A是橢圓 C的短軸左頂點，過 A點作斜率為 1的直線交橢圓于B點，點 P（ 1， 0），且 BP∥ y軸，△ APB的面積為 . （ 1）求橢圓 C的方程； （ 2）在直線 AB上求一點 M，使得 以橢圓 C的焦點為焦點，且過 M的 雙曲線 E的實軸最長，并求此雙 曲線 E的方程 . 解 （ 1） S△ APB= AP178。 PB= ， 又 ∠ PAB=45176。 ， AP=PB，故 AP=BP=3. ∵ P（ 1， 0）， ∴ A（ 2， 0）， B（ 1， 3） . ∴ b=2，將 B（ 1， 3）代入橢圓方程， 12222??bxay292129 b=2, 得 解得 a2=12, , ∴ 所求橢圓的方程為 . (2)設橢圓 C的焦點為 F1， F2， 則易知 F1（ 0， ）， F2（ 0， ）， 直線 AB的方程為 x+y+2=0，因為 M在雙曲線 E上，要使雙曲線 E的實軸最長，只需 ||MF1||MF2||最大， ∵ F1（ 0， ）關于直線 AB的對稱點為F1′( 2,2), ∴ 直線 F2F1′ 與直線 l的交點為所求 M 191 22 ?? ab141222?? xy22? 2222?22∵ F2F1′ 的方程為 y+(3+ )x =0, y+(3+ )x =0, ∴ 聯(lián)立 得 M（ 1， 3）， x+y+2=0, 又 2a′=|| MF1||MF2|| =||MF1′| |MF2||≤| F2F1′| = ， 故 a′ max= ,b′= , 故所求雙曲線的方程為 . 22 2222 2262)222()0222( 22 ??????6 212622?? xy返回