【正文】 ? ??? 2 332 因?yàn)? 22222)2( )3)(1()2( 34)2( )33()2)(32( ? ????? ????? ??????? t ttt ttt tttty 又 因?yàn)? 11 ??? t 所以 0)2( )3)(1( 2 ?? ??? t tt 因此 ttty ? ??? 2 332 在 ]1,1[? 上是減函數(shù) . 所以 當(dāng) 1?t 時， 1?最小y ； 當(dāng) 1??t 時， 37?最大y． 故所求函數(shù)的值域?yàn)?]37,1[? ． 通過以上例題可以看出，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，簡單 快捷 ，便于掌握， 且 容易操作 ， 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù) 在)x(fy? 的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間 的一般步驟是： (1)確定定義域 A ； (2)求 )(xf? ； (3)求方程 0)( ?? xf 的根； (4)由 0)( ?? xf 的根將 A 分成若干個區(qū)間，分區(qū)間判斷 )(xf? 符號 ； (5)得出結(jié)論． 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 24 導(dǎo)數(shù)這一靈活 有效地 工具，使很多問題變得 簡單 ，并且有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，例如求導(dǎo)還可解決一些實(shí)際應(yīng) 用問題．因此，熟練掌握和深刻理解利用導(dǎo)數(shù)解題的方法是非常必要的．當(dāng)然求導(dǎo)的方法也必須和以前的各種方法密切配合，才能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)解法的整體性． 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用就以上部分 的探討還不夠完善 ，在以后的學(xué)習(xí)中，我會繼續(xù)學(xué)習(xí)和探討，以下本論文也簡單介紹了導(dǎo)數(shù)與函數(shù) 極值的關(guān)系以及在函數(shù)在極值中的應(yīng)用 . 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系 函數(shù)的極值不僅在實(shí)際問題中占有重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征 ]7[ ．下面我們通過兩個定理的證明來討論極值的 充分條件： 定理 ]7[ （極值的第一充分條件）設(shè) f 在點(diǎn) 0x 連續(xù)，在某領(lǐng)域 )。( 00 ?xU內(nèi)可導(dǎo)． (1)若當(dāng) x ? )。( 00 xx ?? 時 0)( ?? xf ，當(dāng) x ? )。( 00 ??xx 時， 0)( ?? xf ，則 f在點(diǎn) 0x 取得極小值． (2)若當(dāng) x ? )。( 00 xx ?? 時 0)( ?? xf ，當(dāng) x ? )。( 00 ??xx 時， 0)( ?? xf ，則 f在點(diǎn) 0x 取得極大值． 證明 下面對 (2)進(jìn)行證明，第 (1)題可以類似的證明． 由定理的條件及單調(diào)函數(shù)在某個區(qū)間上遞增 (減 )的充要條件可知 f 在)。( 00 xx ?? 內(nèi)遞增，在 )。( 00 ??xx 內(nèi)遞減，又由 f 在 0x 處連續(xù)，故對任意x ? )。( 0 ?xU ，恒有 )()( 0xfxf ? 即 f 在 0x 取得極大值． 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 25 若 f 是二階可導(dǎo)函數(shù)，則有如下判別極值定理． 定理 ]7[ （極值的第二充分條件）設(shè) f 在 0x 的某領(lǐng)域 )。( 0 ?xU 內(nèi)一階可導(dǎo)，在 0xx? 處二階可導(dǎo)，且 0)(39。,0)( 00 ???? xfxf ． (1)若 0)( ??? xf ，則 f 在點(diǎn) 0x 取得極小值． (2)若 0)( ??? xf ，則 f 在點(diǎn) 0x 取得極大值． 例 13 求函數(shù) 4431 3 ??? xxy的極值 (圖像如右圖所示 ) 解 因?yàn)? 42 ??? xy )( Rx? 令 0??y 求 得 2??x 則隨著 x 的 變化， )(xf 和 )(xf? 的變化如下表 x )2,( ??? 2? )2,2(? 2 ),2( ?? )(xf? 0? 0 0? 0 0? )(xf 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 所以 函數(shù) 4431 3 ??? xxy 的極大值為 328 ，極小值為 34? . 這是通過第一充分條件所求的極值，也可以用第二充分條件求解，這里不再求解． 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性中還有一些初學(xué)者所忽略的問題，下面作一簡單歸納 . 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 26 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性常見的錯誤及分析 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間必須在清楚函數(shù)的定義域的前提下作答，否則會因?yàn)楹鲆暥x域而致錯得不到正解． 例 14 求函數(shù) =xlnxy 的單調(diào)區(qū)間 ． 錯解 因?yàn)? xy 11??? 令 xy 11??? =0 解得 =1x 或 =0x 所以 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( , 0) (1, )? ? ?? 所以 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (0,1) ． 錯因 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域 ,錯解忽略了這一環(huán)節(jié) ． 正解 因?yàn)?函數(shù) =xlnxy 的定義域?yàn)?? ?|0xx? 又 因?yàn)? xy 11??? ， ? ?|0xx? 所以 函數(shù) =xlnxy 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ? ?1,?? ； 函數(shù) =xlnxy 的單調(diào)遞減區(qū)間為 (0,1) ． 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．以下有這樣的實(shí)例 ： 例 15 當(dāng)函數(shù)為常值函數(shù)，即若 cf ?)x( （ c 為常數(shù)），則 0)( ?? xf ． 證明 因?yàn)? 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 27 x xfxxfxy ? ?????? )()( ?xcc?? ? 0 所以 00limlim)( 00 ???????? ???? xx xyxfy 0??y 表示函數(shù) cy? 圖像上每一點(diǎn)處的切線的斜率都是 0． 這是本 論文在用導(dǎo)數(shù)的定義在前面所證明過的 .這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零但是這個函數(shù)卻沒有增減性，即沒有極值點(diǎn)． 例 16 函數(shù)為 3)( xxf ? ,求它的導(dǎo)數(shù) . 證明 因?yàn)? 3)( xxf ? 利用 前面所提到的幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可直接求得 23)( xxf ?? 由 于這個函數(shù) 的 定義域?yàn)?}|{ Rxx ? ， 它的圖像在整個定義域上是單調(diào)遞增的，當(dāng) 0?x 時導(dǎo) 數(shù)為 0，但這個零點(diǎn)并不是它的極值點(diǎn) . 在這里我們對另一個知識點(diǎn)駐點(diǎn)給以說明 (導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱之為駐點(diǎn)，如果駐點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號相反，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)，否則為一般的駐點(diǎn)，如 3xy? 中23xy ?? ， 0?x 的左右導(dǎo)數(shù)符號為正，該點(diǎn)為一般駐點(diǎn)． )8 5 結(jié) 論 從以上可以看出，數(shù)學(xué)是一門邏輯性相當(dāng)強(qiáng)的學(xué)科，對學(xué)生的思維邏輯能力有很高的要求，而掌握正確的學(xué)習(xí)方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在 ]8[ ．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具， 加 入新教材之后，給函數(shù)問題注入了新的生機(jī)和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了初學(xué)者對函數(shù)問題的學(xué)習(xí)和思考空間．所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情，初學(xué)者需掌握題型命制，它往往融函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 28 式，方程等知識于 一體，通過演繹證明，運(yùn)算推理等理性思維，解決單調(diào)性，極值， 切線，方程的根，參數(shù)的范圍等問題，難度很大，綜合性強(qiáng)，內(nèi)容新，背景新，方法新，是這塊知識命題的豐富寶藏． 解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想． 本文主要通過大量實(shí)例探討 了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性與極值求解中的應(yīng)用問題，導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非 常廣泛，其思維方法有：利用增（減）函數(shù)的定義判斷單調(diào)性， 利用在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù) )(xf在 ),( ba 上遞增（或遞減）的充要條件是 0)( ?? xf （或 0)( ?? xf ）， ?x ),( ba 恒成立（但 )(xf? 在 ),( ba 的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于 0）．定義法化簡較為繁瑣，比較適合解決抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，而用導(dǎo)數(shù)知識來判斷函數(shù)的單調(diào)性既快捷又容易掌握，特別是對于具體函數(shù)更加適用． 本論文所論述的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有十分廣泛的運(yùn)用，所以掌握導(dǎo)數(shù)法的運(yùn)用十分關(guān)鍵．首先，本文將函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的基本知識做了簡單介紹，幫助學(xué)生對這些知識有更加清晰、細(xì)致、系統(tǒng)的認(rèn)識 ； 其次 , 主要是導(dǎo)數(shù)法在求解函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，其中包含了數(shù)形結(jié) 合等數(shù)學(xué)思想的正確運(yùn)用； 最后，導(dǎo)數(shù)法的數(shù)學(xué)思想是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必不可少的一種解題思想，它的運(yùn)用廣泛，在解題過程中可以避開函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)單調(diào)性的繁、難、偏的步驟，運(yùn)用了新穎的、簡單的解題思想，使初學(xué)者用起來更為方便，更符合課改的目標(biāo)要求，且更加有助于培養(yǎng)初學(xué)者的創(chuàng)新思維 [９ ]，有助于創(chuàng)新性人才的培養(yǎng)． 本論文在 設(shè)計、 歸納整理過程中仍存在許多漏洞 ，望讀者予以指正． 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 29 謝 辭 大學(xué)四年的學(xué)習(xí)如白駒過隙般在不經(jīng)意之間匆匆而過，人生黃金的生活已然接近了尾聲，伴隨著答辯的臨近，我們的大 學(xué)生活就要和我說再見了．回顧這三個多月的論文寫作過程，真的讓我感慨萬千： 首先，我要感謝的是我的論文指導(dǎo)教師戴曉娟老師，在我論文的設(shè)計過程中給我提供了很多專業(yè)性的指導(dǎo)和新穎的建議，戴老師嚴(yán)謹(jǐn)而熱情的工作態(tài)度給我留下了深刻的印象，若沒有戴老師的幫助，這次的畢業(yè)論文設(shè)計不會這樣順利．所以，借此機(jī)會我向戴老師致以深深的感謝和敬意． 其次我要真誠地感謝我學(xué)習(xí)生涯中其他的老師、同學(xué)和朋友，在我的課題研究中，他們或多或少提供的信息是我靈感的來源，在知識和工具上都給了我很大的幫助，所以同樣致以感謝． 最后我要感謝四年的大 學(xué)生活，四年的歷練讓我對自己的人生觀、價值觀有了新的認(rèn)識，讓我對以后將要走的路有了更加明確的方向感．在今后的人生路上，我將會更加努力的學(xué)習(xí)，不辜負(fù)老師、朋友以及家人的期望． 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 30 參考文獻(xiàn) [1] 李宗岳．名師教學(xué)設(shè)計 3— 新課標(biāo)第二課堂 [G]． 西藏： 西藏人民出版社 ． 2021,6:494． [2] 程曉亮，劉影．初等數(shù)學(xué)研究 [M]． 北京： 北京大學(xué)出版社． 2021,1:122123． [3] 李名德，李勝宏．高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程（一試） [M]． 浙江： 浙江大學(xué)出版社． 2021，1:352357． [4] 劉紹興，錢佩玲．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué) 選修 22 A版 [M]．人民教育出版社出版發(fā)行． 2021， 6： 2335． [5] 薛金星．高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識手冊 [G]． 北京： 北京教育出版社出版． 2021， 3： 68． [6] 劉紹興，錢佩玲，章建躍．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué) 選修 22 A版 教師教學(xué)用書 [M]． 北京： 人民教育出版社出版發(fā)行． 2021， 5： 1925． [7] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析 .上冊 第三版 [M]． 北京： 高等教育出版社． 2021,6:142. [8] 黃珊數(shù)．?dāng)?shù)形結(jié)合思想與解題教學(xué)研究 [J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)與研究 2021(3)． [9] 于伯寧．把學(xué)生帶進(jìn)數(shù)學(xué)樂園 —— 在圓錐曲線教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思想品質(zhì)[J]． 2021(11).寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文