【正文】 y zx y z???? ? ?? ? ? 2220 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )fffd v x y z x y z x y zx y z???? ? ?? ? ? ② 3330 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )fffd w x y z x y z x y zx y z???? ? ?? ? ?。 如果使用向量表示，則關(guān)系式②可通過(guò)雅克比矩陣進(jìn)行簡(jiǎn)化。函數(shù)的變化用 dF 表示，變量的變化用 dX 表示。 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , )du dxdF dv J x y z dy J x y z dXdw dz? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 接近不動(dòng)點(diǎn)處的收斂性 定義 包含 2個(gè)方程 1( , )x g x y? ， 2( , )y g x y? ③ 的方程組的不動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)（ p，q），滿足 12( , ) ( , )p g p q q g p q??且 。在三維情況下，方程組 1( , , )x g x y z? ， 2 ( , , )y g x y z? ， 3( , , )z g x y z? ④ 的 不 動(dòng) 點(diǎn) 是 點(diǎn) （ p,q,r ） 滿 足1 2 3( , , ) , ( , , )p g p q r q g p q r?? 且 r = g ( p , q , r ) 定義 對(duì)于方程組③中的函數(shù) ， 不動(dòng)點(diǎn)迭代為 11( , )k k kp g p q? ? ， 12( , )k k kq g p q? ? ⑤ 對(duì)于方程組④中的函數(shù)，不動(dòng)點(diǎn)迭代為 11( , , )k k k kp g p q r? ? ， 12( , , )k k k kq g p q r? ? ， 13( , , )k k k kr g p q r? ? ⑥ 其中 k=0， 1?? 26 定理 （不動(dòng)點(diǎn)迭代） 設(shè)方程組③④中的函數(shù)和它們的一階偏導(dǎo)數(shù)分別 在包含（ p， q）或（ p， q， r）的區(qū)域內(nèi)連續(xù)。如果初始點(diǎn)值足夠接近不動(dòng)點(diǎn)，則有下面 2種情況 （二維） 如果 00( , )pq 足夠接近（ p， q）而且 11( , ) ( , ) 1ggp q p qxy???? 22( , ) ( , ) 1ggp q p qxy???? 則迭代⑤收斂到不動(dòng)點(diǎn)（ p， q） （三維） 如果 0 0 0( , , )pqr 足夠接近（ p， q， r），而且 111( , , ) ( , , ) ( , , ) 1gggp q r p q r p q rx y z???? ? ?? ? ? 222( , , ) ( , , ) ( , , ) 1gggp q r p q r p q rx y z???? ? ?? ? ? 333( , , ) ( , , ) ( , , ) 1gggp q r p q r p q rx y z???? ? ?? ? ? 則迭代⑥將收斂到不動(dòng)點(diǎn)（ p， q， r） 如果上述條件不滿足，則迭代可能發(fā)散 賽德?tīng)柕ㄅc牛頓法 現(xiàn)在可以構(gòu)造一個(gè)與高斯 賽德?tīng)柗?lèi)似的改進(jìn)型不動(dòng)點(diǎn)迭代法，設(shè)用 1kp?計(jì)算 1kq? （在三維情況下，用 1kp? 和 1kq? ，計(jì)算 1kr? ），并將這些改進(jìn)融入公式⑤和⑥中時(shí)，這個(gè)方法稱(chēng)為賽德?tīng)柕? 11( , )k k kp g p q? ? 1 2 1( , )k k kq g p q??? 以及 11( , , )k k k kp g p q r? ? 1 2 1( , , )k k k kq g p q r??? 1 3 1 1( , , )k k k kr g p q r? ? ?? 下面我們把牛頓法擴(kuò)展到二維空間 設(shè)有方程組 1( , )u f x y? 2( , )v f x y? ⑦ 27 它意味著從 xy 平面到 w 平面的轉(zhuǎn)換。這里只關(guān)心在點(diǎn) 00( , )xy 處的變換行為，即點(diǎn)00( , )uv 。如果兩個(gè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)，則在點(diǎn) 00( , )xy 處用微分表示下列線性近似方程組是合法的 0 1 0 0 0 1 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( )u u f x y x x f x y y yxy??? ? ? ? ? 0 2 0 0 0 2 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( )v v f x y x x f x y y yxy??? ? ? ? ? ⑧ 方程組⑧是一個(gè)局部線性變換，它將自變量的微小變化聯(lián)系起來(lái)。當(dāng)使用雅克比矩陣00( , )J x y 時(shí)，這個(gè)關(guān)系可更容易地表示為： 1 0 0 1 0 000002 0 0 2 0 0( , ) ( , )( , ) ( , )f x y f x y xxxyuuyyvv f x y f x yxy?????? ??? ?????? ??? ? ?????????? ⑨ 如果方程組⑦用向量函數(shù) V=F（ X）表示，這個(gè)雅克比矩陣 ( , )Jxy 是導(dǎo)數(shù)的二維近似，因?yàn)殛P(guān)系式⑨可表示為 00( , )F J x y X? ? ? ⑩ 現(xiàn)在可以利用上式推導(dǎo)二維情況下的牛頓法。 設(shè)方程⑦中 u 和 v 為 0： 10 ( , )f x y? 20 ( , )f x y? Ⅰ 設(shè)（ p， q）為上述方程組的解，即 10 ( , )f pq? 20 ( , )f p q? Ⅱ 為利用牛頓法求解Ⅰ，需要考慮函數(shù)在點(diǎn) 00( , )pq 的微小變化： 0u u u? ? ? 0p x p? ? ? 0v v v? ? ? 0q y q? ? ? 設(shè)方程組⑦中（ x， y） =（ p， q），并利用式Ⅱ，可得到（ u， v） =（ 0， 0）。因此因變量的變化是 0 1 1 0 0 1 0 0( , ) ( , ) 0 ( , )u u f p q f p q f p q? ? ? ? ? 0 2 2 0 0 2 0 0( , ) ( , ) 0 ( , )v v f p q f p q f p q? ? ? ? ? Ⅲ 將Ⅲ中的結(jié)果代入式⑨可得線性變換表達(dá)式 1 0 0 1 0 01 0 01 0 02 0 0 2 0 0( , ) ( , ) ( , )( , )( , ) ( , )f p q f p q f p qpxyq f p qf p q f p qxy?????? ? ?????? ????? ? ??? ?????? Ⅳ 28 式中的雅克比矩陣 00( , )J p q 非奇異，則可解出 00[ , ] [ , ] [ , ]P p q p q p q??? ? ? ? ? ?為： 10 0 0 0 , ,P J p q F p q?? （ ） （ ） 然后，解 [ , ]Ppq? 的下一個(gè)近似值 1P 為 11 0 0 0 0 0 0( , ) ( , )P P P P J p q F p q?? ? ? ? ? 注意上式可是用于一個(gè)變量的牛頓法的一般化， 1 0 0 0( ) / ( )p p f p f p??? 29 結(jié)束語(yǔ) 迭代在計(jì)算機(jī)科學(xué)上的應(yīng)用十分的廣，通過(guò)重復(fù)循環(huán)的運(yùn)算，將序列的值逼近于真實(shí)值。本文探討的 就是大家都比較熟悉的迭代法，比喻：不動(dòng)點(diǎn)迭代，二分法，高斯 拉夫森法，牛頓法等。其實(shí)通過(guò)探討，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)各種迭代法之間存在著聯(lián)系，并在一定條件下可以轉(zhuǎn)換。甚至我們?cè)诔鰜?lái)問(wèn)題的時(shí)候，有時(shí)要結(jié)合不同的迭代法進(jìn)行處理。迭代法的實(shí)用性越來(lái)越強(qiáng)。我想隨著計(jì)算科學(xué)的深入研究探討，迭代法將會(huì)更加完善與功能性強(qiáng)，將會(huì)處理更多復(fù)雜而又繁瑣的問(wèn)題。 30 主要參考文獻(xiàn) [1] 姚傳義 數(shù)值分析 [M]. 中國(guó)輕工業(yè)出版社 [2] （美）索爾 著 吳兆金，范紅 軍 譯 數(shù)值分析 [M].中國(guó)郵電出版社 [3] （美） John Kurtis 著 陳渝 錢(qián)方 譯 數(shù)值方法（ MATLAB版） [M].電子工業(yè)出版社 [4] 曹志浩 變分迭代法 [M]科學(xué)出版社 [5] （英）瓦爾加 矩陣迭代分析（第二版） [M]高等出版社 31 致 謝 本文的寫(xiě)作過(guò)程中一直以來(lái)得到我的導(dǎo)師李某某 老師的悉心指導(dǎo)和熱心幫助。李老師很平易近人，為人熱情，在學(xué)術(shù)上又高度 嚴(yán)謹(jǐn)，本文的完成離不開(kāi)李老師的支持。再次我還要感謝以前的授課講師 — 章 某老師，感謝老師們對(duì)我的培養(yǎng)。至此，我謹(jǐn)向?qū)熞约袄蠋焸冎乱猿绺叩木匆夂驼\(chéng)摯的謝意。 還有我還要感謝一直以來(lái)對(duì)我支持和幫助的同學(xué)們。他們不僅生活上給我大學(xué)帶來(lái)了樂(lè)趣，并且在學(xué)習(xí)上幫我找資料，找素材。再次感謝他們。 最后我要特別感謝我的父母，在我漫長(zhǎng)的求學(xué)生涯中他們的無(wú)私關(guān)愛(ài)、鼓勵(lì)和支持是我不斷前進(jìn)的力量源泉。致此十 幾年的寒窗苦讀即將結(jié)束之時(shí)謹(jǐn)向他們致以衷心的感謝。