【正文】 k k k kr g p q r? ? ⑥ 其中 k=0， 1?? 26 定理 （不動(dòng)點(diǎn)迭代） 設(shè)方程組③④中的函數(shù)和它們的一階偏導(dǎo)數(shù)分別 在包含（ p， q）或（ p， q， r）的區(qū)域內(nèi)連續(xù)。 還有我還要感謝一直以來對(duì)我支持和幫助的同學(xué)們。 30 主要參考文獻(xiàn) [1] 姚傳義 數(shù)值分析 [M]. 中國輕工業(yè)出版社 [2] （美）索爾 著 吳兆金，范紅 軍 譯 數(shù)值分析 [M].中國郵電出版社 [3] （美） John Kurtis 著 陳渝 錢方 譯 數(shù)值方法（ MATLAB版） [M].電子工業(yè)出版社 [4] 曹志浩 變分迭代法 [M]科學(xué)出版社 [5] （英）瓦爾加 矩陣迭代分析（第二版） [M]高等出版社 31 致 謝 本文的寫作過程中一直以來得到我的導(dǎo)師李某某 老師的悉心指導(dǎo)和熱心幫助。設(shè) 1110 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )fffd u x y z x y z x y zx y z???? ? ?? ? ? 2220 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )fffd v x y z x y z x y zx y z???? ? ?? ? ? ② 3330 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )fffd w x y z x y z x y zx y z???? ? ?? ? ?。 ② 雅克比迭代使用所有舊坐標(biāo)來生成新坐 標(biāo)，而我們下面介紹的高斯 賽德爾迭代盡可能使用新坐標(biāo)得到更新的坐標(biāo)。 定理 （牛頓 拉夫森迭代的收斂速度） 設(shè)牛頓 拉夫森產(chǎn)生的序列 0{}nnp ?? ，收斂到函數(shù) ()fx的根 p，如果 p 是單根，則是二次收 斂，而且對(duì)于足夠大的 n有 21 ()2 ( )nnfpEEfp? ??? ? 16 如果 p 是 M 階多重根，則是線性收斂的，而且對(duì)于足夠大的 n 有1 1nnMEEM? ?? 值得注意的是：有時(shí)序列并不一定收斂，因?yàn)椴⒉豢赡茉?N 此迭代后總能找到結(jié)果，我們可以盡量的通過畫圖等各種方法來選擇 P0. 例如 ：設(shè) () xf x x ?? ，而且 0 ? ，則 1 4p? ， 2 ? ，?? 15 354 943 4p ? 而且 {}kp 緩慢發(fā)散到無窮大。用 x=p代入上式，并利用 0( ) 0fp? ，可得 0= 200 0 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2!f c p pf p f p p p?? ??? ? ? 如果 0p 足夠逼近 p，上式右邊的最后一項(xiàng)比前兩項(xiàng)的和小。也稱 r 為函數(shù) ()fx的零點(diǎn) 二分法是將連續(xù)函數(shù)的區(qū)間進(jìn)行對(duì)分取舍，從而逐步逼近到零點(diǎn)，直到一個(gè)任意小的包 含零點(diǎn)的間隔 定理 設(shè) ( ) ( , )f x C a b? ，且存在實(shí)數(shù) [ , ]r ab? 滿足 ( ) 0fr? 。 ②我們可以采用反證法。 “ 二分法 ” 和 “ 牛頓迭代法 ” 屬于近似迭代法。并對(duì)各種迭代法的收斂性進(jìn)行討論和比較，討論各種迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式（或關(guān)系）。如果對(duì)于所有 6 [ , ]x ab? ，有 g()x? 1,則迭代將不會(huì)收斂到 P，此時(shí) P 點(diǎn)稱為排斥不動(dòng)點(diǎn)。 與上述條件一樣，假設(shè) ()fa 和 ()fb 符號(hào)相反，如果找到經(jīng)過點(diǎn) ( , ( ))a f a 和( , ( ))b f b 的割線 L 與 x 軸的交點(diǎn)（ c， 0），則可得到一個(gè)更好的近似值。 例題： ① 用牛頓平方根算法求 5 的近似值。 （二重根情況下的加速收斂） 從 p0= 開始，使用加速牛頓 拉夫森迭代求函數(shù) 3( ) 3 2f x x x? ? ?的二重根 p=1 解： 由于 M=2，加速公式變?yōu)? 31 1 11 211( ) 3 42 ( ) 3 3k k kkk kkf p p ppp f p p? ? ?? ????? ? ?? ? 可得到下表中的值 k kp 1kkpp? ? kkE p p?? /kkEE? 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 0 18 很容易看出收斂速度變快。 例題： 利用上面給的線性方程組用高斯 賽德爾迭代過程求解 1 7 4kkk yzx ? ??? 11 2 1 4 8kkk xzy ?? ??? 111 1 5 2 5kkk xyz ??? ??? 如果從 P0=（ x0， y0， z0） =（ 1， 2， 2）開始，用上式中的迭代可收斂到解（ 2， 4， 3） 我們把計(jì)算結(jié)果列表得： K Xk Yk Zk 0 1 2 3 8 9 10 22 下面我們來探討收斂性： 比較向量之間的距離是很重要的，它可以用來判斷 {}kp 是否收斂到 P。如果初始點(diǎn)值足夠接近不動(dòng)點(diǎn)，則有下面 2種情況 （二維） 如果 00( , )pq 足夠接近（ p， q）而且 11( , ) ( , ) 1ggp q p qxy???? 22( , ) ( , ) 1ggp q p qxy???? 則迭代⑤收斂到不動(dòng)點(diǎn)（ p， q） （三維） 如果 0 0 0( , , )pqr 足夠接近（ p， q， r），而且 111( , , ) ( , , ) ( , , ) 1gggp q r p q r p q rx y z???? ? ?? ? ? 222( , , ) ( , , ) ( , , ) 1gggp q r p q r p q rx y z???? ? ?? ? ? 333( , , ) ( , , ) ( , , ) 1gggp q r p q r p q rx y z???? ? ?? ? ? 則迭代⑥將收斂到不動(dòng)點(diǎn)（ p， q， r） 如果上述條件不滿足，則迭代可能發(fā)散 賽德爾迭代法與牛頓法 現(xiàn)在可以構(gòu)造一個(gè)與高斯 賽德爾法類似的改進(jìn)型不動(dòng)點(diǎn)迭代法，設(shè)用 1kp?計(jì)算 1kq? （在三維情況下，用 1kp? 和 1kq? ，計(jì)算 1kr? ），并將這些改進(jìn)融入公式⑤和⑥中時(shí)，這個(gè)方法稱為賽德爾迭代 11( , )k k kp g p q? ? 1 2 1( , )k k kq g p q??? 以及 11( , , )k k k kp g p q r? ? 1 2 1( , , )k k k kq g p q r??? 1 3 1 1( , , )k k k kr g p q r? ? ?? 下面我們把牛頓法擴(kuò)展到二維空間 設(shè)有方程組 1( , )u f x y? 2( , )v f x y? ⑦ 27 它意味著從 xy 平面到 w 平面的轉(zhuǎn)換。他們不僅生活上給我大學(xué)帶來了樂趣，并且在學(xué)習(xí)上幫我找資料，找素材。我想隨著計(jì)算科學(xué)的深入研究探討，迭代法將會(huì)更加完善與功能性強(qiáng)，將會(huì)處理更多復(fù)雜而又繁瑣的問題。設(shè)有如下表達(dá)式 1( , , )u f x y z? ， 2( , , )v f x y z? ， 3( , , )w f x y z? ① 設(shè)已知表達(dá)式①中函數(shù)在點(diǎn) 0 0 0( , , )x y z 處的值，現(xiàn)在希望可以預(yù)測在臨近點(diǎn)（ x， y， z）處的值。 雅克比迭代： ( 1)jkx ? = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1k k k kj j jj j jj j jN Njjb a x a x a x a xa? ? ? ?? ? ? ? ?… … 其中 j=1， 2，?， N。我們總結(jié)下牛頓法在單根和二重根上的性能。由于 ()g p p? ，這樣尋找函數(shù) ()gx的不動(dòng)點(diǎn)，可以實(shí)現(xiàn)尋找方程 ( ) 0fx?根的牛頓 拉夫森迭代 證明 ： 我們從 1 階泰勒多項(xiàng)式和它的余項(xiàng)開始分析 200 0 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2!f c x pf x f p f p x