【正文】 3n*3t= 27 整除。 方程問題的分類 方程的求解 方程的解涉及到方程的求解和與方程的解有關的運算。我們先來看方程的求解問題例 1解方程： 【選自第 21 屆初二希望杯試題】?????xx43324顯然，去分母兩邊同乘以 12 。這是不合適的。因為初二還沒有學到關??于三次求解的問題。當然，有能力可以做。但是觀察題目本身可以看出：左右兩邊都有由兩個互相為倒數(shù)的分式構成。也就是說。實際上左右兩邊只有一個式子。因為另一個式子是已定的式子的倒數(shù)。即 確定了，那么 也就確定了。因為他們互為倒數(shù)。所234x?423x?以這個題目也就變成求 的解。解得 x 有 3 個解23x??????? 71052x?????例 y=ax 與函數(shù) y=2x/3+b 的圖像入圖 5 所示，則關于 x,y 的方程組的解是 032axyb?????初中“希望杯”代數(shù)試題的研究22【選自第 22 屆初二希望杯試題】只要把交點（1,2）帶入兩個函數(shù)中可以得到 a=2,b=4/3,所以方程組 32axyob??????。得2034xy?????12xy???再看例 的整數(shù)解的個數(shù)為( ) 【選自第 24 初一希望杯試題】1||1|???x 這題可以分類討論，將 x 分成 xx1/1/ x1 時，明顯的絕對值里面的兩個式子都是負數(shù)。所以 =x12x+1=3x= x=1/ x|1|2|??立。當1x1/2 時。 =x+12x+1=x+2=1,x=x1/|||x件。當 x1/2 時。 =x+1+2x1=3x=1,x=1/。所以無解。||| 方程的應用 在方程的應用中仍然是一個很重要的點。即聯(lián)系實際，考察的靈動性很強。行程問題（包括相遇問題，追及問題）一直都是考察的重點。還有工程問題和盈利問題。但是側重點在行程問題以及相關問題上追及問題 例 、B、C 三輛車在同一條直路上同向行駛，某一時刻，A 在前，C 在后，B 在A、C 正中間. 10 分鐘后，C 追上 B。又過了 5 分鐘，C 追上 分鐘，B 追上 A. 【選自第 21 屆初二希望杯試題】 我們可以做如下假設：在最開始的時候，A 到 B 的距離跟 B 到 C 的距離是一 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文）23樣的。我們假設距離為 m，A 的速度為 x，B 的速度為 y，C 的速度為 z。由 10 分鐘后 C追上 B，可以列出：10z10y=m。又過了 5 分鐘，C 追上 A，可得 15z10x=得 15（yx）= B 追上 A 總共的時間為 t，那么1052zyx?????（yx）t=m. 聯(lián)立 得 t= 15 分鐘，B 追上 A。?????（ ）（ ）例 2. 有甲、乙兩輛小汽車模型，在一個環(huán)形軌道上勻速行駛，甲的速度大于乙。如果它們從同一點同時出發(fā)沿相反方向行駛，那么每隔 1 3分鐘相遇一次?，F(xiàn)在，它們從同一點同時出發(fā)，沿相同方向行駛，當甲第一次追上乙時，乙已經行駛了 4 圈，此時它們行駛了 分鐘。 【選自第 22 屆初一希望杯試題】 由條件每隔 1 3分鐘相遇一次。可以假設甲的速度為 x，乙的速度為 y，那么這個環(huán)形軌道的周長為 1 （x+y）.所以根據(jù)后面說當甲第一次追上乙的時候。明顯是甲比乙多跑了一圈。乙行駛了 4 圈，那么甲應該是 5 圈，所以可得可得 所以相遇的時間為 = =12.43y53xxy?????（ ） （ ） 5?4y3x??（ ） 16543?相遇問題 例 3．軌道 AB 長 米，從起點站 A 到終點站 B，每 米設一站點．甲、乙兩個機器人同時從 A 站點出發(fā)，到達 B 站點后，再返回，在 A 和 B 兩站點之間反復運動．甲、乙運動的速度都是 米／秒，甲每到達一個站點就休息 1 秒鐘，而乙從不休息，若甲、乙從 A 站點出發(fā)后 2 分鐘結束運動，問：它們出發(fā)后，曾幾次同時到達同一站點（包括起點站和終點站）? 【選自第 21 屆初一希望杯試題】 這道題要抓住一個等式，也是關鍵，那就是在每次他們相遇的時候，甲走的路加上乙走的路等于軌道 AB 長的偶數(shù)倍。所以假設在過了 t 秒后他們相遇。當然也發(fā)現(xiàn)題初中“希望杯”代數(shù)試題的研究24目是叫我們求他們在站點相遇的情況，不包括在站點以外相遇的情況。因為甲每到一個地方就要休息 1 秒鐘，所以可以這么說，甲到一個站所需的時間是 4 秒，而乙只要 3 秒，所以在 t 秒的時候他們相遇了。甲實際上在跑的時間只有 3t/4 秒。所以聯(lián)立可得+*3t/4=2k* 為整數(shù)。且 t ,所以 k 可以取 1,2,3,4,?2t?共有 5 次的時間到達同一站點。ab 兩人在環(huán)形跑道同時同地出發(fā)，a 每分 60 米，b 每分 50 米，兩人（分別）每走 200米休息 1 分鐘，全長 500 米,a 第二次追上 b 已過多長時間？ 改改題目里的表達：環(huán)行跑道周長 500 米，甲乙按順時針沿跑道同時同地起跑，甲每分鐘跑 60 米，乙每分鐘跑 50 米。甲乙兩人每跑 200 米都要停下來休息 1 分鐘，那么第一，二次追上乙時分別距起跑時間多少分鐘？路程問題例 4．奇奇開車從北京去少林寺旅游，在高速公路和非高速公路上的行駛速度分別是120 千米/時，60 千米/時. 若奇奇駛完全程用了 6 小時，其中在高速公路上行駛的路程是在非高速公路上行駛的路程的 6 倍，則全程長____________千米；【選自第 24 初一希望杯試題】 這個是簡單的列方程問題。假設在高速公路上行駛的路程是 6x，非高速公路上行駛的路程是 x。那么 .可得 x= ??5. 50例 一 個 自 行 車 輪 胎 ， 若 安 裝 在 前 輪 ， 則 行 駛 千 米 后 報 廢 ； 若 安 裝 在 后 輪 ，則 行 駛 3千 米 后 報 廢 。 現(xiàn) 有 一 輛 新 自 行 車 ， 在 行 駛 一 定 路 程 后 ，交 換 前 后 兩 輪 的 輪 胎 ， 再 繼 續(xù) 行 駛 ， 使 得 兩 個 輪 胎 同 時 報 廢 ， 那 么 該 車 最 多 行 駛 多 少 千 米【選自第 22 屆初二希望杯試題】 假設一個輪胎的磨損度為 m，那么前輪每行 1km 的磨損度就為 m/5000,同理后輪每行 1km 的磨損度為 m/ x，換胎后走的路程是y。則換之前的前輪他的磨損度為 m。列出式子為 mx/5000+my/3000=m 其中 mx/5000 是每換之前作為前輪的磨損度，my/3000 是換了之后作為后胎的磨損度。加起來就是一個輪胎的磨損度。同理，對于另一個輪胎，即剛開始做后胎的輪胎，有 mx/3000+my/5000=2 式就可以得 x+y=3750km。 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文）25經過上述試題的分類，歸納，解題，我們可以稍稍對于初一和初二 1 試試題的解題策略做個縱覽：首先在關于數(shù)與式的運算上，用到了配方法，代入法，特殊值法，分離法等等。其中分離法有系數(shù)上的分離，也涉及到題目中有 2 個未知數(shù)，已知其中一個未知數(shù)的條件去求另一個未知數(shù)，這時候可以對未知數(shù)進行分離。而在求最值的問題當中，有考察某些特定的知識：比如能被 11 整除的數(shù)有什么特征等；枚舉分析法：在分析的基礎上例舉出可能的情況再進行分析；假設法：假設某條件成立，那么對應的結果會怎么樣，往往涉及到題目條件的隱藏信息；還有數(shù)形結合：在涉及到絕對值的時候可以考慮用到數(shù)軸；還有分類討論，放縮法：尤其在對不等式的放縮求最值等等方法關于方程的求解問題可能涉及到很多的題型不同的知識點。總歸在處理的基礎上用待定系數(shù)法，消元法等等。而在方程的應用上所用的方法無非就是能找到題目的切入點，設好未知數(shù)，列出等式方程，進行求解。關于初一和初二 2 試試題的解題策略：數(shù)與式問題的研究上有用到提取公因式，拆分法：就是對一個式子進行加一項再減一項。還有觀察法：比如初二 23 屆的題目即例 。而 2 試中特有的代數(shù)證明題發(fā)現(xiàn)都是考察整除的?？v觀 1 試，2 試可以發(fā)現(xiàn)：在考察的知識點上或解題策略上有出入。有個很明顯的區(qū)別就是：1 試試題一看就知道怎么做，可以直接用一種方法套進去，但是 2 試不一樣，上述說的，2 試的觀察法是很重要的。這一點就體現(xiàn)了學生平時積累的知識多少和解題思維的強弱。當然觀察法也需要跟一些熟悉的解題策略聯(lián)系在一起才能發(fā)揮出更好的果效。比如 的例 1 試的解方程方程硬解是行不通的，因為 3 次方程沒有學過，只有觀察，緊緊圍繞我們學過的知識點。在此基礎上想辦法利用觀察法把這道題目放入我們能解決的策略當中，一經觀察可以發(fā)現(xiàn)左右兩邊的式子都是倒數(shù)的關系?？雌饋硎?4 個代數(shù)式，實質上只有 2 個。抓住這一點，就很容易了。所以 2 試的靈活性很強，包括在方程的應用上也是一樣，難度明顯加難了。但是不是知識點的問題，而是我們能不能對題目本身要表達的意思有個更好的理解與把握的問題。題目能在腦子中勾畫出來，把握解題的重點，其實初中“希望杯”代數(shù)試題的研究26找到關系后解方程不比 1 式難。主要是觀察題目時，有一個好的解題模型和思維模式。考察的不僅是運算能力還有模型思想和思維能力。這充分體現(xiàn)了希望杯的宗旨。參考文獻［1］張國旺，【M】.北京師范大學出版社，1998；［2］李世杰.“希望杯”中的整數(shù)解問題【J】.數(shù)理天地（初中版） ，；［3］【D 】.浙江師范大學，；［4］景敏， 年中考數(shù)學試題分類解析—數(shù)與代數(shù)【J】.中國數(shù)學教育，［5］白軍強.“希望杯”—中考數(shù)學的前兆【J】.數(shù)理天地（初中版） ，；［6］張奠宙，【M】.高等教育出版社，2022；［7］丁柯丹，—以希望杯初中數(shù)學競賽試題為例【J】.麗水學院學報，；［8］鄒啟文.“希望杯”中的分類思想（初二） 【J】.數(shù)理天地（初中版） ，；［9］【M】.科學出版社，2022；［10] 蔡親鵬， 【M】.浙江大學出版社，2022； [11] The SAT Reasoning College Board,2022. Administration. [12] The SAT Reasoning Test .The College Board,2022. Administration. 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文）27致謝首先感謝寧波大學給我提供了大學這個平臺，在這里，我的人生觀，價值觀得到塑造，各個方面的能力也得到提升。其次感謝大學四年中給我傳授知識的老師，他們的付出讓我有了現(xiàn)在的成果，不管是在學術上的教育還是為人上的教育，他們都給我留下印象。特別感謝程龍海老師，每次在論文上向他咨詢意見，他都耐心，細心的給我指教，幫助我不僅僅是在論文上的完善，同時在學習以及寫論文的過程中讓我明白了做事要嚴謹，認真，不能馬虎。感謝程老師的教誨和指導。也要感謝在四年成長路上給過我?guī)椭?，陪伴我共同度過難處的同伴，他們的付出讓我更加堅強，積極。讓我能更成熟的面對遇到的環(huán)境。