【正文】 。f ( x )是定義域為R的偶函數(shù)，且f ( 1 + x ) = f ( 1 – x )，當– 1 ≤ x ≤ 0時，f ( x ) = –x，則f ( ) = 。三、B組填空題2球O的半徑為1，點A、B、C在球面上，A與B、A與C的球面距離都是，B與C的球面距離為，則球O在二面角B – OA – C內(nèi)的部分的體積是 ；表面積是 。2若橢圓長軸、短軸、焦距的長度之和等于8，則長半軸的取值范圍是 ，當長半軸取得最小值時，橢圓的離心率等于 。2x，y是實數(shù)，且若x 2 + y 2 ≤ 1，則x + y + x y的最大值是 ，最小值是 。2lg cos x sin x與lg sin x cos x（2 k π x 2 k π +，k∈Z）的大小關系是 。2動直線l垂直于x軸，且與雙曲線x 2 – 2 y 2 = 4交于A，B兩點，P是上l滿足| PA | | PB | = 1的點，那么P點的軌跡方程是 。答案：一、D、D、D、B、C、B、B、C、A、D；二、11；1單調(diào)遞增；1等邊圓錐；1x = 2；15；1x ≤ – 2或5 ≤ x ；1[ – 2，log 2]；12；13；20；三、21；2[ 4 (– 1 )，2 ])，；2+，– 1；2當2 k π x 2 k π +時，lg cos x sin x lg sin x cos x，當x = 2 k π +時，lg cos x sin x = lg sin x cos x，當2 k π + x 2 k π +時，lg cos x sin x lg sin x cos x；2x 2 – 2 y 2 = 2（x 2或x – 2）或x 2 – 2 y 2 = 6。簡解：設a = cos x + sin x，則y =( a + 1 ) 2 ≤(+ 1 ) 2 =+；2設P ( x，y )，則A ( x，)，B ( x，–)，故| x 2 – 2 y 2 – 4 | = 2；第九屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽(高二)第一試1998年3月22日 上午 8：00—9：30一、選擇題（每小題6分）直線+= 1的傾斜角是（ ）（A）arctan （B）arctan ( –) （C）π + arctan （D）π + arctan ( –)函數(shù)y = arccos (– x 2 )的值域是（ ）（A）[ –，] （B）[ –，] （C）[，π ] （D）[，π ]以T1，T2，T3分別表示函數(shù)tan，| cos x |，sin( sin+ cos)的最小正周期，那么（ ）（A）T1 T2 T3 （B）T3 T2 T1 （C）T2 T1 T3 （D）T2 T3 T1不等式|– 3 | 1的解集是（ ）（A）[，2 ])∪( 6，+ ∞ ) （B）( – ∞，2 )∪( 6，+ ∞ ) （C）( 6，+ ∞ ) （D）( – ∞，2 )已知函數(shù)⑴ y = arcsin ( 2 x )，⑵ y = sin ( π x ) + cos ( π x )，⑶ y = log 2 x + log( 1 + x )，其中，在區(qū)間[，1 ]上單調(diào)的函數(shù)是（ ）（A）⑴⑵⑶ （B）⑵⑶ （C）⑴⑵ （D）⑴⑶使不等式+ 1 +成立的正整數(shù)a的最大值是（ ）（A）13 （B）12 （C）11 （D）10有以下幾個數(shù)列：⑴ a n =，⑵ S n = n ( 2 – 3 n )，⑶ a n + a n +1 = 2 a n + 2，⑷ a n =，⑸ a n a n + 2 = a，⑹ a n =log 2 6 n，其中是等差數(shù)列的有（ ）（A）⑴⑶ （B）⑵⑷ （C）⑶⑸ （D）⑵⑹在平面直角坐標系內(nèi)，方程x 2 + y 2 + x | x | + y | y | – 2 = 0表示的曲線是（ ）P是橢圓上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點，離心率e =，則∠F1PF2的最大值是（ ）（A）60176。 （B）90176。 （C）120176。 （D）135176。若0 a，b，c 1，并且a + b + c = 2，則a 2 + b 2 + c 2的取值范圍是（ ）（A）[，+ ∞ ) （B）[，2 ] （C）[，2 ) （D）(，2 )二、A組填空題（每小題6分）1不等式log sin x 2 x log sin x x 2在區(qū)間( 0，2 π )上的解是 。1當 α 2 π時，arccos ( sin α )的值等于 。1若圓錐的側面積為m，全面積為n，則圓錐的高與母線的夾角θ的大小等于 。1在2 1998的約數(shù)中，大于1949的所有約數(shù)的和等于 。1實數(shù)x，y適合條件1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2，則函數(shù)2 x 2 + 3 x y + 2 y 2的值域是 。1函數(shù)sin 3 x sin 3 x的最大值是 。1若實數(shù)x，y適合方程x 2 + y 2 – 2 x – 4 y + 1 = 0，那么代數(shù)式的取值范圍是 。1實數(shù)x，y適合方程4 x 2 – 2 x y 2 + 2 x y – y 3 = 0，則點( x，y )在平面直角坐標系內(nèi)的軌跡是 。1直線y = k x交曲線y =于點P、Q兩點，O是坐標原點，P在O、Q之間，若| OP | = 2 | PQ |，那么k = 。正方體與其外接球的體積之比是 。三、B組填空題（每小題6分）2數(shù)列{ a n }中，前n項的和S n = n 2 + 1，則a n = 。2雙曲線x y = 1的焦點坐標是 ，準線方程是 。2無窮等比數(shù)列{ a n }的首項為1，公比大于0，則的值等于 。2當m∈N，若方程m x 2 + 2 ( 2 m – 1 ) x + 4 m – 7 = 0至少有一個整數(shù)根，則m = 。2設α，β分別是方程log 2 x + x – 3 = 0和2 x + x – 3 = 0的根，則α + β = ，log 2 α + 2 β = 。答案：一、D、D、C、A、B、B、D、A、A、C；二、1( 2，π )；1– α；1arccos；12 1999 – 2 11；1[,7 ]；16；1[ 0，]；1( 2 x + y ) ( 2 x – y 2 )；19；2∶π；三、21；2( –，–)，(，)，x + y 177。= 0；23；21或5；23，3。簡解：a 2 a；1令x = t cos θ，y = t sin θ，則1 ≤ t 2 ≤ 2，原式= 2 t 2 + 3 t 2 sin θ cos θ = t 2 ( 2 +sin 2 θ )∈[t 2，t 2 ]；1原式= sin 4 x ( 3 – sin 2 x ) = 2 sin 2 x 2 sin 2 x ( 3 – sin 2 x )；1可以看作是圓C上動點與定點A ( – 2，0 )的連線的斜率的取值范圍，從圖中可知，k AM = 0，設∠CAM = α，則∠MAN = 2 α，tan α =，tan 2 α =，k AN =，故0 ≤ k ≤；1| OP | | OQ | = | OA | | OB | = 3，| PQ | 2 =，| PQ | =，d ==；2x = – 2 +，設p =∈Z，則m ( p 2 m – 2 p – 3 ) = 0，m = 0（舍）或m =，當| p | 3時，p 2 | 2 p + 3 |，只有p = 3或p = 177。 1。第十屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽(高二)第一試 1999年3月21日 上午 8：00 — 9：30一、選擇題（每題6分，共60分）arcsin+ arccos+ arctan ( –) + arccot ( –) =（ ）（A）0 （B）π （C）2 π （D）– π若無窮等比數(shù)列{ a n }的公比q = –，則=（ ）（A） 1 （B）1 （C）– （D）某等差數(shù)列共2 n + 1項，其中奇數(shù)項的和為95，偶數(shù)項的和為90，則第n + 1項是（ ）（A）7 （B）5 （C）4 （D）2若點M( a，)和點N( b，)都在直線l：x + y = 1上，則點P( c，)和點Q(，b )（ ）（A）都在l上 （B）都不在l上（C）點P在l上，點Q不在l上 （D）點Q在l上，點P不在l上不等式log(– x ) 2的解集是（ ）（A）[ 1，) （B）( 1，) （C）(，) （D）[ 1，)雙曲線y =( k 0 )的離心率用e = f ( k )來表示，則f ( k )（ ）（A）在( 0，+ ∞ )上是增函數(shù) （B）在( 0，+ ∞ )上是減函數(shù)（C）在( 0，1 )上是增函數(shù)，在( 1，+ ∞ )上是減函數(shù) （D）是常數(shù)當a，b均為有理數(shù)時，稱點P ( a，b )為有理點，又設A (，0 )，B ( 0，)，則直線AB上有理點的個數(shù)是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）無窮多個方程lg | x | = sin x的根的個數(shù)是（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7河中的船在甲、乙兩地往返一次的平均速度是V，它在靜水中的速度是u，河水的速度是v( u v 0 )，則（ ）（A）V = u （B）V u （C）V u （D）V與u的大小關系不確定若函數(shù)f ( x ) = x 3 – 3 x 2 + 6 x – 6，且f ( a ) = 1，f ( b ) = 5，則a + b =（ ）（A） 2 （B）0 （C）1 （D）2二、A組填空題（每題6分，共60分）1F1，F(xiàn)2是橢圓+= 1的兩個焦點，點P在橢圓上，且∠F1PF2 = 60176。，則△F1PF2的面積是 。1已知函數(shù)y = 9 – x 2 + x – 1 – 18 ? 3 – x 2 + x – 1的圖像與直線y = m的交點在平面直角坐標系的右半平面內(nèi)，則m的取值范圍是 。1已知函數(shù)y = log[ a x 2 + 2 x + ( a – 1 ) ]的值域是[ 0，+ ∞ ])，則參數(shù)a的值是 。1設圓C經(jīng)過點M ( 2，0 )和N ( 9，0 )，直線l過坐標原點，圓C和l的交弦為PQ，當l繞坐標原點旋轉時，弦PQ長度的最小值是 。1已知等比數(shù)列{ a n = a 1 q n – 1，q∈N，n∈N }中，對某個n 6有a 1 + a n = 1094，a 2 a n – 1 =，則a 3 + a n – 2 = 。1M是圓x 2 + y 2 – 6 x + 8 y = 0上的動點，O是原點，N是射線OM上的點，若| OM | | ON | = 150，則N點的軌跡方程是 。1在正四棱錐O – ABCD中，∠AOB = 30176。，面OAB和面OBC所成的二面角的大小是θ，且cos θ = a– c，其中a，b，c∈N，且b不被任何質數(shù)平方整除，則a + b + c = 。1過點P ( 1，1 )且與坐標軸圍成面積為2的三角形的直線的條數(shù)是 。1某漁場的最大養(yǎng)殖量是100噸魚，為保證魚群的生長空間，實際養(yǎng)殖量應當比100噸少，以留出適當?shù)目臻e量，已知魚群的年增長量與實際養(yǎng)殖量和空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為，則魚群年增長量的最大值等于 。設x 1，x 2是方程x