【正文】 2b2，(ab)2，(a+b)2，a2b2+1，a3b+1，a2+b2+，2a2+3b4+1中，其值為正的共有( )A．3個． B．4個．C．5個． D．6個．4．a(chǎn)，b，c在數(shù)軸上的位置如圖25所示,則下列代數(shù)式中其值為正的一個是 ( ) A.。 B.。 C.(1a)(cb)。 (1bc).5．1993+9319的末位數(shù)字是 ( )A．2． B．4． C．6． D．8．6．今天是4月18日，是星期日，從今天算起第19933天之后的那一天是 ( )A．星期五． B．星期六．C．星期日． D．星期一．7．n為正整數(shù)，302被n(n+1)除所得商數(shù)q及余數(shù)r都是正值．則r的最大值與最小值的和是 ( ) A．148． B．247．C．93． D．122．8．絕對值小于100的所有被3除余1的整數(shù)之和等于 ( )A．0． B．32．C．33． D．33．9．x是正數(shù)，x表示不超過x的質(zhì)數(shù)的個數(shù)，如=3．，3，5共3個．那么19+93+418的值是( )A．12． B．11．C．10． D．9．10．如圖26是一個長為a，寬為b的矩形．兩個陰影圖形都是一對長為c的底邊在矩形對邊上的平行四邊形．則矩形中未涂陰影部分的面積為( )(a+b)c．B．a(chǎn)b(ab)c． C．(ac)(bc)．D．(ac)(b+c)．二、填空題（每題1分，共10分）1．．,在與它的絕對值之間共有c個整數(shù),則a+b+c=_________.2．設(shè)a=1247。2247。3247。4，b=1247。(2247。3247。4)，c=1247。(2247。3)247。4，d=1247。2247。(3247。4)，則(b247。a)247。(c247。d)=______．3．兩個同樣的大小的正方體形狀的積木．每個正方形上相對的兩個面上寫的數(shù)之和都v 等于1，現(xiàn)將兩個正方體并列放置．看得見的五個面上的數(shù)字如圖27所示，則看不見的七個面上的數(shù)的和等于______． 4．計算: =__________.,其中a,b,c,d，e為阿拉伯?dāng)?shù)碼，且a＜b＜c＜d，則|ab|+|bc|+|cd|+|de|的最大值是______．6．連續(xù)的1993個自然數(shù)之和恰是一個完全平方數(shù)．則這1993個連續(xù)自然數(shù)中最大的那個數(shù)的最小值是______．7．某次競賽滿分為100分，有六個學(xué)生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他們六個人的平均分為91分，第六名的得分是65分．則第三名的得分至少是______分．:=________.9．若a，b，c，d為非負整數(shù)．且(a2+b2)(c2+d2)=1993．則a+b+c+d=______．10．有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)去林中采蘑菇．平均每個采得蘑菇的個數(shù)約是一個十位數(shù)字為3的兩位數(shù),又知甲采的數(shù)量是乙的,乙采的數(shù)量是丙的倍,丁比甲多采了3個蘑菇,則丁采蘑菇______ 個.三、解答題（在試卷背面寫出推理、運算的過程及最后結(jié)果．每題5分，共10分）1． 如圖28，十三個邊長為正整數(shù)的正方形紙片恰好拼成一個大矩形（其中有三個小正方形的邊長已標(biāo)出字母x，y，z）．試求滿足上述條件的矩形的面積最小值．2．你能找到三個整數(shù)a，b，c，使得關(guān)系式(a+b+c)(abc)(ab+c)(b+ca)=3388成立嗎？如果能找到，請舉一例，如果找不到，請說明理由．答案與提示一、選擇題1．C 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 7．A 8．D 9．B 10．C提示：=10100100010000=11090．選C．2．，最大整數(shù)是12．共計包含(12)(109)+1=98個整數(shù)．，最大整數(shù)是199．共計包含19911+1=189個整數(shù)．因此墨水共蓋住98+189=287個整數(shù)．選C．3．當(dāng)a=b=0時，a2+b2，a2b2，(ab)2，(a+b)2取值為0，而當(dāng)a=1，b=1時a3b+1=0．因此對任意有理數(shù)a，b其值為正的只有a2b2+1，a2+b2+，2a2+3b4+1，共3個選A．a(chǎn)c(1bc)＜0，所以選A．5．1993=19423+1，9319=9344+3所以1993與191的末位數(shù)相同是9319與933末位數(shù)字相同是7．因此1993+9310末位數(shù)字是9+7=16的末位數(shù)字6，選C．6．19933=(2847+5)3=(2847)3+3(2877)25+3(2877)52+125．所以19933被7除的余數(shù)與125被7除的余數(shù)相同，125=77+6．所以19933被7除余數(shù)為6．從4月18日星期日數(shù)起，每到第十天就是星期六，如4月24日是星期六，因此199336恰是星期六，再往后數(shù)6天，19933天是星期五．而19933天之后的那一天應(yīng)是星期六，選B．7．n(n+1)為偶數(shù)．設(shè)302被n(n+1)除商q余r，則302=n(n+1)q+r知，r為偶數(shù)．顯然B、C均應(yīng)排除．由除數(shù)n(n+1)只能取6，12，20，30，42，56，72，90，110，132，156，182，210，240，272這些值，計算得相應(yīng)的余數(shù)中最小的正值為2，最大正值為146．所以r的正的最小值與最大值的和是148．選A．8．即求100與100之間被3除余1的整數(shù)之和，在0到100之間被3除余1的整數(shù)是1，4，7，…91，94，97共計33個．在100到0之間被3除余1的整數(shù)是98，95，92，89，…8，5，2．共33個其總和為33．選D．9．19為不超過19的質(zhì)數(shù)，有2，3，5，7，11，13，17，19共8個．93為不超過93的質(zhì)數(shù)，共24個，易知1=0．所以19+93+418=19+93=8+24=32=11，選B．10．解①大矩形面積為ab，兩個陰影平行四邊形面積分別為ac與bc．重疊部分面積為c2，所以未涂陰影部分面積為abacbc+c2=(ac)(bc)，選C．解②將陰影部分等積變形如圖29，兩個陰影平行四邊形面積及二者重疊部分面積(c2)均未改變．易見，未涂陰影部分面積為空白矩形的面積，是(ac)(bc)，選C．二、填空題提示：1994個整數(shù)，a=1994。1993+1=3987個整數(shù)，3987=1=5982．3．由于正方體上相對兩個面上寫的數(shù)之和都等于1．所以每個正方體六個面上寫的數(shù)之和等于3．兩個正方體共十二面上寫的數(shù)之總和等于6．而五個看得見的面上的數(shù)之和是1+2+3+4+5=15．因此，看不見的七個面上所寫數(shù)的和等于(6)15=21．5．若a＜b＜c＜d≤e時|ab|+|bc|+|cd|+|de|=(ba)+(cb)+(dc)+(ed)=ea．當(dāng)e=9，a=1時取最大值為8．若a＜b＜c＜d，且d＞e時．|ab|+|bc|+|cd|+|de|=(ba)+(cb)+(dc)+(de)=2dae．當(dāng)d=9，a=1，e=0時，取最大值17．所以|ab|+|bc|+|cd|+|de|的最大值是17．6．設(shè)這連續(xù)的1993個自然數(shù)為x996，x995，…，x1，x，x+1，x+2，…，x+995，x+996．顯然．x996≥1，即x≥997．這1993個連續(xù)自然數(shù)之和設(shè)為σ．則σ=1993x，要求σ為完全平方數(shù)，而1993又是質(zhì)數(shù)，x的最小值為1993．此時，1993個連續(xù)自然數(shù)中最大的那個數(shù)x+996=1993+996=2989，即當(dāng)σ為完全平方數(shù)時，1993個連續(xù)自然數(shù)中最大的那個數(shù)的最小值是2989．7．設(shè)六個人的成績依次為x1，x2，x3，x4，x5，x6．則65=x6＜x5＜x4＜x3＜x2＜x1≤100．∴x1+x2+x3+x4+x5=54665=481．要使x3最小，必須x1，x2盡可能大，x4，x5盡可能接近x3，所以當(dāng)x1=100，x2=99，x4=x31，x5=x32時，x3取最小值，即100+99+x3+(x31)+(x32)=481．3x3=48110099+3=285．x3=95．答：第三名的得分至少是95分．9．因為1993是質(zhì)數(shù)，a2+b2與c2+d2都是正整數(shù)，所以a2+b2與c2+d2分別取值1與1993（參見第一試填空第7題解答）．為確定起見；，不妨設(shè)a2+b2=1，c2+d2=1993．(1)a2+b2=1．推知a＝0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1．(2)c2+d2=1993．若c≤31，d≤31，則c2+d2≤2312=2961=1922＜1993．所以c，d中至少有一個大于31．又由于442=1936＜1993，故設(shè)c為c，d中較大的一個，則32≤c≤44．我們依次取c=44，43，42，41，…，33，32試算如下：其中1933c2的結(jié)果中，只有144=122為完全平方數(shù)，即432+122=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43．因此，c+d=55．所以a+b+c+d=1+55=66．一個近似為首位的是3的兩位整數(shù)．因此，由近似數(shù)的表示有…≤x≤…因x是整數(shù)，x只能從24，25，26，27，28，29，30，31中選取．因此只能有x=30，即丙采30個蘑菇．此時，乙采45個蘑菇，甲采36個蘑菇，因此丁采39個蘑菇．舍五入，約為38是個十位數(shù)是3的兩位數(shù)．三、解答題1．如圖30已有三個小正方形的邊長為x，y，z，我們通過x，y，z表示其余正方形的邊長依次填在每個正方形中，它們是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4yz，4x+4y2x，及5x2y+z．因矩形對邊相等。所以得11x+3y=7x+16yz及8x+8y3z=6x+5y+z化簡上述的兩個方程得到z=13y4x，4z=2x+3y．消去z得18x=49y．因為18與49互質(zhì)，所以x、y的最小自然數(shù)解是x=49，y=18，此時z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形長、寬的表達式11x+3y及8x+8y3z，得長、寬分別為593和422．此時得最小面積值是593422=250246．2．答：找不到滿足條件的三個整數(shù)理由如下：如果存在整數(shù)a，b，c，使(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(b+ca)=3388成立．因為3388是偶數(shù)，則左邊四個因子中至少有一個是偶數(shù)．不妨設(shè)a+b+c為偶數(shù),則ab+c=(a+b+c)2b為偶數(shù)．同理a+bc=(a+b+c)2c為偶數(shù)．b+ca=(a+b+c)2a為偶數(shù)．因此(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(b+ca)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾．故不存在三個整數(shù)a，b，c滿足關(guān)系式(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(b+ca)=3388．希望杯第五屆（1994年）初中一年級第1試試題一、選擇題（每題3分，共30分）以下每題的四個結(jié)論中，僅有一個是正確的．1．│a│是 ( )A．正數(shù) B．負數(shù). C．非正數(shù) D．0.2．在下面的數(shù)軸上(圖1)，表示數(shù)(2)(5)的點是( )A．M B．N. C．P D．Q ( ) 。 。 。 .4.=( )A． B．. C． D．5．432(43)2=( ) A．0 B．72. D．108 6. x的與的差是( ) A.。 B.。 C.。 D..7．n是整數(shù)，那么被3整除并且商恰為n的那個數(shù)是( ) A.。 +3。 。 .8．如果x∶y=3∶2并且x+3y=27，則x，y中較小的是( )A．3 B．6. C．9 D．12 9. 200角的余角的等于( ) A.。 B.。 C.。 .10. =( )A．1 B．49. C．7 D．7二、A組填空題（每題3分，共30分）1．絕對值比2大并且比6小的整數(shù)共有______個．2．在一次英語考試中，某八位同學(xué)的成績分別是93,99,89,91,87,81,100,95，則他們的平均分數(shù)是______．3．| | | |19921993|1994|1995|1996|=______．4．?dāng)?shù)：,．5.=________.6．在自然數(shù)中，從小到大地數(shù)，第15個質(zhì)數(shù)是N,N的數(shù)字和是a，數(shù)字積是b,則的值是__________.7．一年定期儲蓄存款，%．現(xiàn)在存入100元，則明年的今日可取得本金與利息共______元．8．若方程19xa=0的根為19a，則a=______．=x+2時,19x94+3x+27的值是__________.10．下面有一個加法豎式，其中每個□蓋著一個數(shù)碼，則被□蓋住的七個數(shù)碼之和等于______．三、B組填空題（每題4分，共40分）1．已知a,b是互為相反數(shù)，c,d是互為負倒數(shù)，x的絕對值等于它的相反數(shù)的2倍，則x3+abcdx+abcd的值是______．2．199219941994199419931993=___．按上表中的要求,填在空格中的十個數(shù)的乘積是_______．4．在數(shù)碼兩兩不等的所有的五位數(shù)中，最大的減去最小的，所得的差是______．5．已知N=199219931994+199319941995+199419951996+199519961997，則N的末位數(shù)字是______．6．要將含鹽15%的鹽水20千克，變?yōu)楹}20%的鹽水，需要加入純鹽______千克．7．一次考試共需做20個小題,做對一個得8分，做錯一個減5分，不做的得0分．