【正文】 本含量 n為 4 ，則 一 共 可 抽 得44=256個樣本。分別求這些樣本的平均數(shù) ，其次數(shù)分布如表 4—6所示。 ? 根據(jù)表 4—6，在 n=2的試驗中，樣本平均數(shù)抽樣總體的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為： iy102 第二章 理論分布和抽樣分布 ? ? =4/16=1/4=(1/2)/2= ?? ???? ? 316/1616/48148/)()( 22222 ?????? ? ??nnnyy NNyfyfNyf ??n/2?nyy ??? ???? 2/214/12103 第二章 理論分布和抽樣分布 ? 同理，可得 n=4時： ? 這就驗證了 ， 的正確性。 ?? ??? 3256/768yny /4/)2/1(8/1256/32 22 ?? ????ny ?? ??? 42181?? ?y ny /?? ?104 第二章 理論分布和抽樣分布 表 4—6 N=4, n=2和 n=4時的次數(shù)分布 105 理論分布 ? 106 第二章 理論分布和抽樣分布 ? 由以上模擬抽樣試驗可以看出 ，雖然原總體并非正態(tài)分布，但從中隨機抽取樣本， 即使樣本含量很小 (n=2, n=4)，樣本平均數(shù)的分布卻趨向于正態(tài)分布形式。隨著樣本含量 n 的增大， 樣本平均數(shù)的分布愈來愈從不連續(xù)趨向于連續(xù)的正態(tài)分布。 107 第二章 理論分布和抽樣分布 ? 中心極限定理告訴我們：不論 Y變量是連續(xù)型還是離散型，也無論 Y服從何種分布，一般只要 n＞ 30，就可認(rèn)為 的分布是正態(tài)的。 y108 第二章 理論分布和抽樣分布 ? 注意，樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個統(tǒng)計量。二者的區(qū)別在于： ? 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 S 是 反 映 樣 本中各 觀測值 ， ， … ， 變異程度大小的一個指標(biāo)，它的大小說明了 對該樣本代表性的強弱。 ? 樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 是樣本平均數(shù) 的標(biāo)準(zhǔn)差，它是抽樣誤差的估計值， 其大小說明了樣本間變異程度的大小及精確性的高低。 1ykyyy , . . . , 212y nyyys109 理論分布 ? 樣本平均數(shù)分布 可標(biāo)準(zhǔn)化，獲得 u值。 ? 從 u值可查正態(tài)離差概率表，獲得其相應(yīng)的概率。 nyyuy???? ????110 理論分布 ? 二、兩個獨立樣本平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布 ? 如果從一個總體隨機地抽取一個樣本容量為 的樣本，同時隨機獨立地從另一個總體抽取一個樣本容量為 的樣本，那么可以得到分別屬于兩個總體的樣本，這兩個樣本的平均數(shù)用 和 表示。 1n2n1y 2y111 理論分布 ? 設(shè)這兩個樣本所來自的兩個總體的平均數(shù)分別為 和 ，它們的方差分別為 和 。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計的推導(dǎo)，兩個獨立隨機抽取的樣本平均數(shù)間差數(shù) ( )的抽樣分布參數(shù)與兩個母總體間存在如下關(guān)系 : 1? 2? 1?2?21 yy ?112 理論分布 ? (1)兩個樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù) 必等于兩母總體平均數(shù)的差數(shù)。 ? ? (2)兩個獨立的樣本平均數(shù)差數(shù)分布的方差 等于兩母總體的樣本平均數(shù)的方差總和。 ? ? 其差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為 : 21 yy ??2121 ??? ??? yy221 yy ??1221212222121 nnyyyy????? ?????12221212yy nn???? ??113 理論分布 ? (3) 如果兩個總體各作正態(tài)分布，則其樣本平均數(shù)差數(shù) ( )準(zhǔn)確地遵循正態(tài)分布律， 無論樣本容量大或小，都有 N( )。 ? 若兩個樣本抽自于兩個非正態(tài)總體，尤其 與 相差很大時，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布很難確定。不過當(dāng) 和 相當(dāng)大、而 與 相差不太遠(yuǎn)時，也可近似地應(yīng)用正態(tài)接近方法估計平均數(shù)差數(shù)出現(xiàn)的概率，當(dāng)然這種估計的可靠性得依兩總體偏離正態(tài)的程度和相差大小而轉(zhuǎn)移。 12yy?1 2 1 22,y y y y????21? 22?1n 2n 21?22?114 理論分布 ? 兩個獨立樣本平均數(shù)差數(shù)的分布 也可標(biāo)準(zhǔn)化，獲得 u值。 ? 從 u值可查正態(tài)離差概率表，獲得其相應(yīng)的概率。 1212221212( ) ( )yyunn????? ? ???115 理論分布 ? 第五節(jié) t 分 布 ? 由樣本平均數(shù)抽樣分布的性質(zhì)知道： 若 Y～ N(μ, σ2)，則 ～ N(μ， σ2/n)。將隨機變量 標(biāo)準(zhǔn)化得： ，則 u～ N(0,1)。 ? 當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 σ未知時，以樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S代替 σ所得到的統(tǒng)計量 記為 t。在計算 時，由于采用 S來代替 σ，使得 t 變量不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而服從 t分布 (t－ distribution)。 ? ，具 n1的自由度。 yyu ?? /)( ??ySy /)( ?? ySy yysyt )( ???)1()( 2???? ?nnyynSSy116 理論分布 ? t分布的概率分布密度函數(shù)如下： ? 式中， ∞ ＜ t ＜ ∞ ； df=n1為 t分布的自由度。 ? 當(dāng) df的 增大， t分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 ? t分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為： ? μt＝ 0 (df1) ? (df2） 212)1()2/( ]2/)1[(1)(???? ???dfdftdfdfdftf ?)2/( ?? dfdft?117 理論分布 ? t分布密度曲線如 圖 所示， ? 其特點是： 118 理論分布 ? t分布受自由度的制約，每一個自由度都有一條 t分布密度曲線。 ? t分布密度曲線以縱軸為對稱軸，左右對稱，且在 t＝ 0時，分布密度函數(shù)取得最大值。 ? 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比， t分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。 df越小這種趨勢越明顯。df越大， t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 。當(dāng)： ? n 30時， t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很??； ? n 100時， t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；n→ ∞ 時， t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。 119 理論分布 ? t分布的概率分布函數(shù)為： ? ? 因而 t在區(qū)間（ t1， +∞ ）取值的概率 ——右尾概率為 1F t (df)。由于 t分布左右對稱， t在區(qū)間（ ∞ ， t1）取值的概率也為 1F t (df)。 ? 于是 t 分布曲線下由 ∞ 到 t 1和由 t 1到 +∞ 兩 個相等的概率之和 ——兩尾概率為 2(1F t (df))。對于不同自由度下 t分布的兩尾概率及其對應(yīng)的臨界 t值已編制成附表 4，即 t分布表。 ? ????? 1 )()( 1)( tdft dttfttPF120 理論分布 ? 例如，當(dāng) df=15時，查附表 4得兩尾概率等于 界 t值為 =，其意義是： ? P(∞t )= P(t+∞)= ； ? P(∞t )+ p(t+∞)= 。 ? 由附表 4可知，當(dāng) df一定時，概率 P越大，臨界 t值越??；概率 P越小，臨界 t值越大 。當(dāng)概率 P 一定時，隨著 df的增加，臨界 t值在減小，當(dāng) df=∞ 時，臨界 t值與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界 u值相等。 121 第六章 方差分析 ? 第六節(jié) F分布 ? 在一個平均數(shù)為 181。、方差為 的正態(tài)總體中，隨機抽取兩個獨立樣本，分別求得其均方 和 ，將 和 的比值定義為 F: ? （ ） ? 即從一個總體內(nèi)隨機抽取的兩個樣本的方差 和 的比值稱為 F值 。 ? 此 F值具有 的自由度 和 的自由度 。如果在給定的 和 下按上述方法從正態(tài)總體中進行一系列抽樣，就可得到一系列的 F值而作成一個 F分布。 2?21s21s22s 22s1222( , ) 1 2/vvF s s?21s22s1v21s 22s 2v1v 2v122 第六章 方差分析 統(tǒng)計理論的研究證明， F分布乃具有平均數(shù) 和取值區(qū)間為 的一組曲線；而某一特定曲線的形狀則僅決定于參數(shù) 和 。在 或 =1時， F分布曲線是嚴(yán)重傾斜成反向 J型；當(dāng) 時，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài)（圖 ） 1?F?? ??，01v 2v 1v 2v31?v123 第六章 方差分析 ? F分布下一定區(qū)間的概率可從已制成的統(tǒng)計表查出。附表 7系各種 和 下右尾概率 α= α= F值 (一尾概率表 )。 1v 2v124 第六章 方差分析 ? 附表 7的數(shù)值設(shè)計是專供測驗 的總體方差 是否顯著大于 的總體方差 而設(shè)計的（ 對 ）， F = 。 ? 這種用 F值出現(xiàn)概率的大小推斷兩個總體方差是否相等的測驗方法稱為 F測驗 。 21s21? 22s 22?22210 : ?? ?H 2221: ?? ?AH 2212/ss125 第六章 方差分析 ? [例 ] 算得均方 = ，均方 = ，具自由度 = 4， = 20。試測驗差異顯著性 ? ? 假設(shè) ， ， α=。 ? 測驗計算 : ? F=? 計算得 F = 為均方 的 5倍。實得 。 ? 推斷 :否定 ，接受 ；即 顯著地大于 。 21s22210 : ?? ?H 2221: ?? ?AH22s1v 2v,4, ?FF ?22210 : ?? ?H 2221: ?? ?AH21s 22s21s22