【正文】 腐蝕不滿足交換率 ， 即有： ； 膨脹和腐蝕操作之間也不具有交換率 ， 即： 因此也就意味著膨脹和腐蝕是不可逆的過程 ， 同時(shí)也說明膨脹和腐蝕運(yùn)算是可以級(jí)聯(lián)使用的 。 ),(),( BAEBAD cc ?? ),(),( BADBAE cc ??),(),( ABEBAE ?ABBADEBBAED ?? )),(()),((第 6章 二值圖像處理 圖 625采用圖 623中的集合和圖 623(f)中的結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行級(jí)聯(lián)運(yùn)算 ， 結(jié)果說明：先膨脹后腐蝕的結(jié)果和先腐蝕后膨脹的結(jié)果是并不一樣 。 一般定義對(duì)集合先腐蝕后膨脹為開啟運(yùn)算 ， 對(duì)集合先膨脹后腐蝕為閉合運(yùn)算 ， 下面主要介紹這兩個(gè)運(yùn)算 。 (a) 膨脹的結(jié)果 (b)膨脹后再腐蝕 (c) 腐蝕的結(jié)果 (d) 腐蝕后再膨脹 圖 625 膨脹和腐蝕的不可逆性 第 6章 二值圖像處理 開啟 （ Open） 與閉合 （ Close） 假定集合 A,B,A1和 A2， 其中 A1是 A2的子集 。 開啟運(yùn)算：集合 B對(duì)集合 A先腐蝕后膨脹； 閉合運(yùn)算：集合 B對(duì)集合 A先膨脹后腐蝕 。 )),((),( BBAEDBABAO ?? ?)),((),( BBADEBABAC ?????第 6章 二值圖像處理 ? 原來集合 A是連通的 ， 由于兩個(gè)主要區(qū)域的連接部分寬度小于小球的直徑 ， 因此腐蝕后形成了兩個(gè)部分 。 ?集合 A經(jīng)過開啟運(yùn)算后集合中向外的突出角未變 ， 但是所有向內(nèi)的突出角被圓滑了； ? 經(jīng)過閉合運(yùn)算后集合中向內(nèi)的突出角未變 ， 但是所有向外的突出角被圓滑了 。 (a) 集合 A (b)結(jié)構(gòu)元素 B (e) 被膨脹的結(jié)果 (f) 閉合運(yùn)算的結(jié)果 圖 626 開運(yùn)算和閉運(yùn)算示例 (c) 被腐蝕的結(jié)果 (d) 開啟運(yùn)算的結(jié)果 第 6章 二值圖像處理 觀察圖 626的結(jié)果發(fā)現(xiàn)： 開運(yùn)算有消除細(xì)小物體 ， 在纖細(xì)點(diǎn)出分離物體 ， 平滑物體邊界 ， 而又不明顯改變其面積的功能； 閉運(yùn)算則有填充物體內(nèi)細(xì)小空洞 ， 連接相鄰物體 ， 在不明顯改變物體面積的情況下平滑邊界的作用 。 有時(shí)候把開啟 、 閉合運(yùn)算反復(fù)做多次 ， 能起到滿意的效果 。例如有噪聲的圖像閾值二值化時(shí) ， 所得到的邊界往往很不平滑 ， 物體內(nèi)部有孔 ， 背景區(qū)域上有噪聲 。 即需要開元素 ， 也需要閉運(yùn)算 。 有時(shí)要幾次腐蝕 ， 再做相同次數(shù)膨脹 。 第 6章 二值圖像處理 開啟和閉合運(yùn)算具有下面的特性： ① 對(duì)偶率： ② 平移不變性： ③ 開運(yùn)算具有非擴(kuò)展性 ， 閉合運(yùn)算則具有擴(kuò)展性 ， 即有： ),(),( BAOBAC cc ?),(),( BACBAO cc ? xx BAOBAO ),(),( ?xx BACBAC ),(),( ? ABAO ?),(),( BACA ?第 6章 二值圖像處理 ④ 單調(diào)增加性： ⑤ 冪等性： 從概念上講 ， 一次閉合運(yùn)算已經(jīng)把的毛刺等細(xì)節(jié)去掉了 ，再做一次開啟運(yùn)算 ， 沒有更多的毛刺可消去 ， 因此 ， 第二次開啟運(yùn)算不再改變其形狀 ， 因此有等冪性 。 ),(),( 21 BAOBAO ?),(),( 21 BACBAC ?),()),(( BAOBBAOO ?),()),(( BACBBACC ?第 6章 二值圖像處理 形態(tài)學(xué)在二值圖像中的應(yīng)用 形態(tài)學(xué)在二值圖像處理中應(yīng)用非常廣泛 ， 通過對(duì)形態(tài)學(xué)算子的不同組合可以實(shí)現(xiàn)對(duì)二值圖像的濾波 、 邊界提取 、 細(xì)化 、 厚化 、 區(qū)域填充 、 骨架提取 、 剪枝等等運(yùn)算 。 比如形態(tài)學(xué)算子的開啟和閉合運(yùn)算就可以拿來對(duì)二值圖像進(jìn)行濾波運(yùn)算 ， 因此在介紹完形態(tài)學(xué)的基本概念和基本運(yùn)算后 ， 下面我們主要介紹幾種形態(tài)學(xué)在二值圖像處理中的應(yīng)用 。 第 6章 二值圖像處理 濾波去噪 把數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子開啟和閉合結(jié)合起來就可以構(gòu)成形態(tài)學(xué)濾波器 ， 記濾波操作為 L(A,B)， 則有： ABBABAL {[)(),( ??? ? }]) BBB ?? B 通過開啟可以濾除目標(biāo)區(qū)域外界的噪聲，通過閉合操作則把目標(biāo)區(qū)域內(nèi)部的噪聲消除了；因?yàn)殚]合操作還具有平滑的作用，因此目標(biāo)區(qū)域的邊界也將得到平滑。這個(gè)過程可以通過圖629來說明。 第 6章 二值圖像處理 (a) 二值圖像 (b)結(jié)構(gòu)元素 (c)腐蝕結(jié)果 (d)再膨脹結(jié)果 (e) 再膨脹 (f) 被腐蝕 圖 629 形態(tài)學(xué)濾波示例 比較 (a)和 (f)我們發(fā)現(xiàn)噪聲被濾除了，除了四個(gè)角被圓滑，由于受到內(nèi)部噪聲的影響，邊界在平滑的地方出現(xiàn)彎曲，但是疊加了噪聲的邊界部分是被平滑了。 第 6章 二值圖像處理 (a) 二值圖像 A (b) 結(jié)構(gòu)元素 N8 (c) 腐蝕的結(jié)果 (d) 提取的邊界 圖 630 邊界提取示例 邊界提取 腐蝕是一種消除邊界點(diǎn) ， 使邊界向內(nèi)部收縮的過程 ， 為了獲得目標(biāo)區(qū)域的邊界 ， 可以用原集合 A減去腐蝕后的結(jié)果 。 一般可以采用 N4或者 N8來作為結(jié)構(gòu)元素 。 假定 A的邊界為 l(A)，這個(gè)過程可以用下式來表達(dá)： ),()( BAEAAl ??第 6章 二值圖像處理 細(xì)化 （ Thinning） 前面介紹了細(xì)化以及細(xì)化的幾種方法 。 下面簡單介紹以下用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)來實(shí)現(xiàn)對(duì)二值圖像的細(xì)化操作 。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中細(xì)化的定義可以用擊中 擊不中變換來得到 ， 定義細(xì)化操作如下： cBAABAABAT )()(),( ????? ?圖 632 形態(tài)學(xué)細(xì)化示例 第 6章 二值圖像處理 (a) Circle 原圖 (b) 形態(tài)學(xué)提取邊界 (c) 提取骨架 圖 633形態(tài)學(xué)算子提取骨架示例 抽骨架 （ Skeletonization） 用形態(tài)學(xué)理論提取骨架的的方法可以通過用腐蝕和開啟運(yùn)算來實(shí)現(xiàn) 。