【正文】 骨架由 X內(nèi)所有最大內(nèi)切圓盤的圓心組成 ， 如圖 (b)、 (c)所示 。 最大圓盤不是其他任何完全屬于 X的圓盤的子集 ， 并且至少有兩點與目標(biāo)邊界輪廓相切 。 骨架的每個點都對應(yīng)一個相應(yīng)的最大圓盤和半徑 r。 最大圓盤定義的骨架與火種方式定義的骨架除在某些特殊情況下端點處存在差異外 ， 絕大多數(shù)情況下都是一致的 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 骨架的定義 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 按照最大圓盤定義骨架的方式 ， 在歐氏二值圖像的內(nèi)部任意給定一點 ， 如果以該點為圓心存在一個最大圓盤 ， 其整個盤體都在圖像的內(nèi)部 ， 且至少有兩點與目標(biāo)邊界相切 ， 則該點便是骨架上的點 。 所有最大圓盤的圓心構(gòu)成了圖像的骨架 （ 中軸 ） 。對于圖像 X， 一般用 S(X)表示其骨架 。 注意 ， 不同的圖像可能有相同的骨架 。 骨架對噪聲非常敏感 ， 而且連通的集合可能具有不連通的骨架 （ 例如兩個相切圓盤的骨架 ） 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 數(shù)字骨架可以從形態(tài)學(xué)的角度進(jìn)行定義 。 對于 k＝ 0， 1， 2， …， 定義骨架子集 Sk（ X） 為圖像 X內(nèi)所有最大圓盤 kB的圓心 x構(gòu)成的集合 。 從骨架的定義可知 ， 骨架是所有骨架子集的并 ， 即 S(X)=∪ { Sk（ X ） | k＝ 0， 1， 2， …} 可以證明骨架子集為 Sk（ X） = (X kB)［ (X kＢ ) ○ Ｂ ］ 式中， B為結(jié)構(gòu)元素， (X kB)代表連續(xù) k次用 B對 X腐蝕，即 (X kB)=（（ …(X Ｂ ) Ｂ ） …） Ｂ 。 ? ??? ? ? ?S(X) = ∪ ｛ (X kB)［ (X kB) ○ Ｂ ］ | k＝ 0， 1， 2， … ｝ 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 這就是骨架的形態(tài)學(xué)表示 ， 它也是用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法提取圖像骨架技術(shù)的依據(jù) 。 對于給定的圖像 X以及結(jié)構(gòu)元素 Ｂ ， (X kＢ )可以將 X腐蝕為空集 ， 如果用 N表示 (X kＢ )運算將 X腐蝕成空集前的最后一次迭代次數(shù) ， 即 N =max{k | (X kB)≠ }， 則 ?]})[(){()(0BkBXkBXXS Nk???????相反，圖像 X也可以用 Sk（ X）重構(gòu)，即 })({0kBXSX kNk????第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 式中， B為結(jié)構(gòu)元素， (Sk(X) ⊕ kB)代表連續(xù) k次用 B對 Sk(X)膨脹， 即 BBBXSkBXS kk ?????? )))(((())(( ?? ） 利用上式以及圖像腐蝕 、 膨脹的算法可以編寫程序?qū)崿F(xiàn)形態(tài)學(xué)骨架抽取變換 。 圖 (a) 為一幅二值圖像 ， 圖 (b)為用 3 3的結(jié)構(gòu)元素 S（ 原點在中心 ） 得到的骨架 ， 圖 (c) 為用 5 5的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架 ，圖 (d) 為用 7 7的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架 。 注意圖 (c)和 (d)中由于模板較大葉柄沒有保留下來 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 (a) 一幅二值圖像； （ b） 用 3 3的結(jié)構(gòu)元素 S (c） 用 5 5的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架； （ d）用 7 7的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 第五節(jié) 應(yīng)用實例 —— 細(xì)化 利用前面所介紹的形態(tài)學(xué)知識 ， 下面給出一種實用的對二值區(qū)域進(jìn)行形態(tài)學(xué)細(xì)化的一種算法 。 如前所述 ， 一個圖像的 “ 骨架 ” ， 是指圖像中央的骨骼部分 ， 是描述圖像幾何及拓?fù)湫再|(zhì)的重要特征之一 。 求一幅圖像骨架的過程就是對圖像進(jìn)行 “ 細(xì)化 ”的過程 。 在文字識別 、 地質(zhì)構(gòu)造識別 、 工業(yè)零件形狀識別或圖像理解中 ， 先對被處理的圖像進(jìn)行細(xì)化有助于突出形狀特點和減少冗余信息量 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 在細(xì)化一幅圖像 X時應(yīng)滿足兩個條件： 第一 ， 在細(xì)化的過程中 ， X應(yīng)該有規(guī)律地縮??； 第二 ， 在 X逐步縮小的過程中 ， 應(yīng)當(dāng)使 X的連通性質(zhì)保持不變 。 下面介紹一個具體的細(xì)化算法 。 設(shè)已知目標(biāo)點標(biāo)記為 1， 背景點標(biāo)記為 0。 邊界點是指本身標(biāo)記為 1而其 8連通鄰域中至少有一個標(biāo)記為 0的點 。 算法對一幅圖像的所有邊界點即一個 3 3區(qū)域都進(jìn)行如下檢驗和操作： 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 （ 1） 考慮以邊界點為中心的 8鄰域 ， 設(shè) p1為中心點 ， 對其鄰域的 8個點逆時針繞中心點分別標(biāo)記為 p2， p3， …， p9， 其中 p2位于 p1的上方 。 如果 p1=1(即黑點 )時 ， 下面 4個條件同時滿足 ， 則刪除 p1(p1=0)： ① 2≤N(p1)≤6， 其中 N(p1)是 p1的非零鄰點的個數(shù)； ② S(p1) = 1， 其中 S(p1)是以 p2， p3， p4， …， p9為序時這些點的值從 0到 1變化的次數(shù)； ③ p2p4p6=0或者 S(p1)≠1； ④ p4p6p8 =0或者 S(p1)≠1 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 （ 2） 同第 （ 1） 步 ， 僅將 ③ 中的條件改為 p2p4p8=0， ④ 中的條件改為 p2p6p8=0。 同樣當(dāng)對所有邊界點都檢驗完畢后 ， 將所有滿足條件的點刪除 。 以上兩步操作構(gòu)成一次迭代 。 算法反復(fù)迭代 ， 直至沒有點再滿足標(biāo)記刪除的條件 ， 這時剩下的點就組成區(qū)域的骨架 。 圖(b)、 (c)、 (d)是 p1不可刪除的三種情況 。 在圖 (b)中刪除 p1會分割區(qū)域 ， 圖 (c)中刪除 p1 會分割縮短邊緣 ， 圖 (d)中滿足條件2≤N(p1)≤6但 p1不可刪除 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 (a)標(biāo)記 p1 (b) p1 (c) p1 (d) p1不可刪除情況三； (e) (f) 細(xì)化后的結(jié)果 p3p2p9p4p1p8p5p6p7( a )1( b )10p11 010 00( c )10p10 000 01( d )01p10 101 1 ( e ) ( f