【正文】 骨架由 X內(nèi)所有最大內(nèi)切圓盤(pán)的圓心組成 ， 如圖 (b)、 (c)所示 。 最大圓盤(pán)不是其他任何完全屬于 X的圓盤(pán)的子集 ， 并且至少有兩點(diǎn)與目標(biāo)邊界輪廓相切 。 骨架的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)相應(yīng)的最大圓盤(pán)和半徑 r。 最大圓盤(pán)定義的骨架與火種方式定義的骨架除在某些特殊情況下端點(diǎn)處存在差異外 ， 絕大多數(shù)情況下都是一致的 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 骨架的定義 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 按照最大圓盤(pán)定義骨架的方式 ， 在歐氏二值圖像的內(nèi)部任意給定一點(diǎn) ， 如果以該點(diǎn)為圓心存在一個(gè)最大圓盤(pán) ， 其整個(gè)盤(pán)體都在圖像的內(nèi)部 ， 且至少有兩點(diǎn)與目標(biāo)邊界相切 ， 則該點(diǎn)便是骨架上的點(diǎn) 。 所有最大圓盤(pán)的圓心構(gòu)成了圖像的骨架 （ 中軸 ） 。對(duì)于圖像 X， 一般用 S(X)表示其骨架 。 注意 ， 不同的圖像可能有相同的骨架 。 骨架對(duì)噪聲非常敏感 ， 而且連通的集合可能具有不連通的骨架 （ 例如兩個(gè)相切圓盤(pán)的骨架 ） 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 數(shù)字骨架可以從形態(tài)學(xué)的角度進(jìn)行定義 。 對(duì)于 k＝ 0， 1， 2， …， 定義骨架子集 Sk（ X） 為圖像 X內(nèi)所有最大圓盤(pán) kB的圓心 x構(gòu)成的集合 。 從骨架的定義可知 ， 骨架是所有骨架子集的并 ， 即 S(X)=∪ { Sk（ X ） | k＝ 0， 1， 2， …} 可以證明骨架子集為 Sk（ X） = (X kB)［ (X kＢ ) ○ Ｂ ］ 式中， B為結(jié)構(gòu)元素， (X kB)代表連續(xù) k次用 B對(duì) X腐蝕，即 (X kB)=（（ …(X Ｂ ) Ｂ ） …） Ｂ 。 ? ??? ? ? ?S(X) = ∪ ｛ (X kB)［ (X kB) ○ Ｂ ］ | k＝ 0， 1， 2， … ｝ 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 這就是骨架的形態(tài)學(xué)表示 ， 它也是用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法提取圖像骨架技術(shù)的依據(jù) 。 對(duì)于給定的圖像 X以及結(jié)構(gòu)元素 Ｂ ， (X kＢ )可以將 X腐蝕為空集 ， 如果用 N表示 (X kＢ )運(yùn)算將 X腐蝕成空集前的最后一次迭代次數(shù) ， 即 N =max{k | (X kB)≠ }， 則 ?]})[(){()(0BkBXkBXXS Nk???????相反，圖像 X也可以用 Sk（ X）重構(gòu)，即 })({0kBXSX kNk????第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 式中， B為結(jié)構(gòu)元素， (Sk(X) ⊕ kB)代表連續(xù) k次用 B對(duì) Sk(X)膨脹， 即 BBBXSkBXS kk ?????? )))(((())(( ?? ） 利用上式以及圖像腐蝕 、 膨脹的算法可以編寫(xiě)程序?qū)崿F(xiàn)形態(tài)學(xué)骨架抽取變換 。 圖 (a) 為一幅二值圖像 ， 圖 (b)為用 3 3的結(jié)構(gòu)元素 S（ 原點(diǎn)在中心 ） 得到的骨架 ， 圖 (c) 為用 5 5的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架 ，圖 (d) 為用 7 7的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架 。 注意圖 (c)和 (d)中由于模板較大葉柄沒(méi)有保留下來(lái) 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 (a) 一幅二值圖像； （ b） 用 3 3的結(jié)構(gòu)元素 S (c） 用 5 5的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架； （ d）用 7 7的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 第五節(jié) 應(yīng)用實(shí)例 —— 細(xì)化 利用前面所介紹的形態(tài)學(xué)知識(shí) ， 下面給出一種實(shí)用的對(duì)二值區(qū)域進(jìn)行形態(tài)學(xué)細(xì)化的一種算法 。 如前所述 ， 一個(gè)圖像的 “ 骨架 ” ， 是指圖像中央的骨骼部分 ， 是描述圖像幾何及拓?fù)湫再|(zhì)的重要特征之一 。 求一幅圖像骨架的過(guò)程就是對(duì)圖像進(jìn)行 “ 細(xì)化 ”的過(guò)程 。 在文字識(shí)別 、 地質(zhì)構(gòu)造識(shí)別 、 工業(yè)零件形狀識(shí)別或圖像理解中 ， 先對(duì)被處理的圖像進(jìn)行細(xì)化有助于突出形狀特點(diǎn)和減少冗余信息量 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 在細(xì)化一幅圖像 X時(shí)應(yīng)滿足兩個(gè)條件： 第一 ， 在細(xì)化的過(guò)程中 ， X應(yīng)該有規(guī)律地縮小； 第二 ， 在 X逐步縮小的過(guò)程中 ， 應(yīng)當(dāng)使 X的連通性質(zhì)保持不變 。 下面介紹一個(gè)具體的細(xì)化算法 。 設(shè)已知目標(biāo)點(diǎn)標(biāo)記為 1， 背景點(diǎn)標(biāo)記為 0。 邊界點(diǎn)是指本身標(biāo)記為 1而其 8連通鄰域中至少有一個(gè)標(biāo)記為 0的點(diǎn) 。 算法對(duì)一幅圖像的所有邊界點(diǎn)即一個(gè) 3 3區(qū)域都進(jìn)行如下檢驗(yàn)和操作： 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 （ 1） 考慮以邊界點(diǎn)為中心的 8鄰域 ， 設(shè) p1為中心點(diǎn) ， 對(duì)其鄰域的 8個(gè)點(diǎn)逆時(shí)針繞中心點(diǎn)分別標(biāo)記為 p2， p3， …， p9， 其中 p2位于 p1的上方 。 如果 p1=1(即黑點(diǎn) )時(shí) ， 下面 4個(gè)條件同時(shí)滿足 ， 則刪除 p1(p1=0)： ① 2≤N(p1)≤6， 其中 N(p1)是 p1的非零鄰點(diǎn)的個(gè)數(shù)； ② S(p1) = 1， 其中 S(p1)是以 p2， p3， p4， …， p9為序時(shí)這些點(diǎn)的值從 0到 1變化的次數(shù)； ③ p2p4p6=0或者 S(p1)≠1； ④ p4p6p8 =0或者 S(p1)≠1 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 （ 2） 同第 （ 1） 步 ， 僅將 ③ 中的條件改為 p2p4p8=0， ④ 中的條件改為 p2p6p8=0。 同樣當(dāng)對(duì)所有邊界點(diǎn)都檢驗(yàn)完畢后 ， 將所有滿足條件的點(diǎn)刪除 。 以上兩步操作構(gòu)成一次迭代 。 算法反復(fù)迭代 ， 直至沒(méi)有點(diǎn)再滿足標(biāo)記刪除的條件 ， 這時(shí)剩下的點(diǎn)就組成區(qū)域的骨架 。 圖(b)、 (c)、 (d)是 p1不可刪除的三種情況 。 在圖 (b)中刪除 p1會(huì)分割區(qū)域 ， 圖 (c)中刪除 p1 會(huì)分割縮短邊緣 ， 圖 (d)中滿足條件2≤N(p1)≤6但 p1不可刪除 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 (a)標(biāo)記 p1 (b) p1 (c) p1 (d) p1不可刪除情況三； (e) (f) 細(xì)化后的結(jié)果 p3p2p9p4p1p8p5p6p7( a )1( b )10p11 010 00( c )10p10 000 01( d )01p10 101 1 ( e ) ( f