【正文】 ()(1111SXSXSXSX iniiniiniini ????????? ????)()()。 由腐蝕和膨脹的對偶性，可知 (XC○ S)C =X● S； (XC● S)C =X○ S 開 、 閉變換也是一對對偶變換 ， 因此 ， 閉運算的幾何意義可以由補集的開運算的幾何意義導出 。 由開運算的定義式 ， 可以推得 ?}|{ XxSxSSX ????? ?第七章 數學形態(tài)學及其應用 因而 X○ S是所有 X的與結構元素 S全等的子集的并組成的 。 反之 ， 也可以將 X中的每一個點x擴大為 S+x， 這就是膨脹運算 ， 記為 X S。 腐蝕可以把小于結構元素的物體 (毛刺 、 小凸起 )去除 ， 這樣選取不同大小的結構元素 ， 就可以在原圖像中去掉不同大小的物體 。 對一個給定的目標圖像 X和一個結構元素 S， 想象一下將 S在圖像上移動 。 在圖像中不斷移動結構元素 ， 就可以考察圖像之間各部分的關系 。 對一幅圖像 A，在圖像 A區(qū)域以外的所有點構成的集合稱為 A的補集 ， 記為 AC， 即 AC={a｜ a ∈ A}。 對于二值圖像而言 ， 習慣上認為取值為 1的點對應于景物中心 ， 用陰影表示 ， 而取值為 0的點構成背景 ， 用白色表示 ， 這類圖像的集合是直接表示的 。 第七章 數學形態(tài)學及其應用 數學形態(tài)學是由一組形態(tài)學的代數運算子組成的 ， 它的 基本運算 有 4個： 膨脹 （ 或擴張 ） 、 腐蝕 （ 或侵蝕 ） 、 開啟和閉合 ， 它們在二值圖像和灰度圖像中各有特點 。 根據定義可知 ， 如果 ， 那么必有 。 為了確定目標圖像的結構 ， 必須逐個考察圖像各部分之間的關系 ， 并且進行檢驗 ， 最后得到一個各部分之間關系的集合 。 應注意 ， 原點可以包含在結構元素中 ， 也可以不包含在結構元素中 ， 但運算的結果常不相同 。 換句話說 ， 用 S來腐蝕 X得到的集合是 S完全包括在 X中時 S的原點位置的集合 。 第七章 數學形態(tài)學及其應用 如果 S包含了原點 ， 即 O∈S ， 那么 X S將是 X的一個收縮 ， 即 X S X（ 當 O∈S 時 ） ；如果 S不包含原點 ， 那么 X S X未必成立 。 前一種運算稱為開運算 （ 或開啟 ） ， 后一種運算稱為閉運算 （ 閉合 ） 。 而 X－ X○ S給出的是圖像的凸出特征 。 ?? ???第七章 數學形態(tài)學及其應用 4） 平移不變性 (X+h)● S=(X● S)+h， (X+h)○ S=(X○ S)+h X● (S+h)=X● S， X○ (S+h)=X○ S 5）等冪性 (X● S)● S = X● S， (X○ S)○ S = X○ S 開 、 閉運算的等冪性意味著一次濾波就能把所有特定結構元素的噪聲濾除干凈 ， 作重復的運算不會再有效果 。 (b) 灰值腐蝕后的圖像 。 用結構元素 b(灰值圖像 )對灰值圖像 f做開運算記為 f ○ b， 其定義為 f○ b =（ f b b 用結構元素 b(灰值圖像 )對灰值圖像 f做閉運算記為 f● b， 其定義為 f● b =（ f b） b ? ?? ?第七章 數學形態(tài)學及其應用 開 、 閉運算相對于函數的補和反射也是對偶的 ， 對偶關系可寫為 (f○ b)C=(fC● bV） (f● b)C=(fC○ bV ) 因為 f (x， y)=f (x， y)， 所以可寫為 (f○ b)=(fC● bV) (f● b)=(f○ bV) 第七章 數學形態(tài)學及其應用 在圖 (a)中 ， 給出了一幅圖像 f (x, y)在 y為常數時的一個剖面f(x)， 其形狀為一連串的山峰山谷 。 具體地說就是 ， 第一步的腐蝕去除了小的亮細節(jié)并同時減弱了圖像亮度 ， 第二步的膨脹增加了圖像亮度 ， 但又不重新引入前面去除的細節(jié) 。 一般 ， 可以將開 、 閉運算結合起來構成形態(tài)學噪聲濾波器 ， 例如 (X○ S)● S或 (X● S)○ S等 。為了達到這一目的 ， 可將圖像和噪聲視為隨機過程 ， 通過統(tǒng)計優(yōu)化分析得到優(yōu)化結果 。 其中數字圖像細化 ， 便是一種最常見的使用擊中 /擊不中變換的形態(tài)學算法 。 設想在 ｔ ＝０時刻 ， 將目標邊界各處同時點燃 ， 火的前沿以勻速向目標內部蔓延 ， 當前沿相交時火焰熄滅 ， 火焰熄滅點的集合就構成了中軸 。對于圖像 X， 一般用 S(X)表示其骨架 。 圖 (a) 為一幅二值圖像 ， 圖 (b)為用 3 3的結構元素 S（ 原點在中心 ） 得到的骨架 ， 圖 (c) 為用 5 5的結構元素得到的骨架 ，圖 (d) 為用 7 7的結構元素得到的骨架 。 設已知目標點標記為 1， 背景點標記為 0。 在圖 (b)中刪除 p1會分割區(qū)域 ， 圖 (c)中刪除 p1 會分割縮短邊緣 ， 圖 (d)中滿足條件2≤N(p1)≤6但 p1不可刪除 。 算法對一幅圖像的所有邊界點即一個 3 3區(qū)域都進行如下檢驗和操作： 第七章 數學形態(tài)學及其應用 第七章 數學形態(tài)學及其應用 （ 1） 考慮以邊界點為中心的 8鄰域 ， 設 p1為中心點 ， 對其鄰域的 8個點逆時針繞中心點分別標記為 p2， p3， …， p9， 其中 p2位于 p1的上方 。 第七章 數學形態(tài)學及其應用 (a) 一幅二值圖像； （ b） 用 3 3的結構元素 S (c） 用 5 5的結構元素得到的骨架； （ d）用 7 7的結構元素得到的骨架 第七章 數學形態(tài)學及其應用 第五節(jié) 應用實例 —— 細化 利用前面所介紹的形態(tài)學知識 ， 下面給出一種實用的對二值區(qū)域進行形態(tài)學細化的一種算法 。 骨架對噪聲非常敏感 ， 而且連通的集合可能具有不連通的骨架 （ 例如兩個相切圓盤的骨架 ） 。 另外一種定義骨架的方法使用了最大圓盤概念： 目標 X的骨架由 X內所有最大內切圓盤的圓心組成 ， 如圖 (b)、 (c)所示 。 更一般地 ， 利用結構對序列 B1，B2， …， BN迭代地產生輸出序列 ?NNN BXXBXXBXX ?????? ? 121211 , ?或者 )))(((}{}{ 21 N