【正文】 ()(1111SXSXSXSX iniiniiniini ????????? ????)()()。 由腐蝕和膨脹的對(duì)偶性，可知 (XC○ S)C =X● S； (XC● S)C =X○ S 開(kāi) 、 閉變換也是一對(duì)對(duì)偶變換 ， 因此 ， 閉運(yùn)算的幾何意義可以由補(bǔ)集的開(kāi)運(yùn)算的幾何意義導(dǎo)出 。 由開(kāi)運(yùn)算的定義式 ， 可以推得 ?}|{ XxSxSSX ????? ?第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 因而 X○ S是所有 X的與結(jié)構(gòu)元素 S全等的子集的并組成的 。 反之 ， 也可以將 X中的每一個(gè)點(diǎn)x擴(kuò)大為 S+x， 這就是膨脹運(yùn)算 ， 記為 X S。 腐蝕可以把小于結(jié)構(gòu)元素的物體 (毛刺 、 小凸起 )去除 ， 這樣選取不同大小的結(jié)構(gòu)元素 ， 就可以在原圖像中去掉不同大小的物體 。 對(duì)一個(gè)給定的目標(biāo)圖像 X和一個(gè)結(jié)構(gòu)元素 S， 想象一下將 S在圖像上移動(dòng) 。 在圖像中不斷移動(dòng)結(jié)構(gòu)元素 ， 就可以考察圖像之間各部分的關(guān)系 。 對(duì)一幅圖像 A，在圖像 A區(qū)域以外的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為 A的補(bǔ)集 ， 記為 AC， 即 AC={a｜ a ∈ A}。 對(duì)于二值圖像而言 ， 習(xí)慣上認(rèn)為取值為 1的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于景物中心 ， 用陰影表示 ， 而取值為 0的點(diǎn)構(gòu)成背景 ， 用白色表示 ， 這類(lèi)圖像的集合是直接表示的 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是由一組形態(tài)學(xué)的代數(shù)運(yùn)算子組成的 ， 它的 基本運(yùn)算 有 4個(gè)： 膨脹 （ 或擴(kuò)張 ） 、 腐蝕 （ 或侵蝕 ） 、 開(kāi)啟和閉合 ， 它們?cè)诙祱D像和灰度圖像中各有特點(diǎn) 。 根據(jù)定義可知 ， 如果 ， 那么必有 。 為了確定目標(biāo)圖像的結(jié)構(gòu) ， 必須逐個(gè)考察圖像各部分之間的關(guān)系 ， 并且進(jìn)行檢驗(yàn) ， 最后得到一個(gè)各部分之間關(guān)系的集合 。 應(yīng)注意 ， 原點(diǎn)可以包含在結(jié)構(gòu)元素中 ， 也可以不包含在結(jié)構(gòu)元素中 ， 但運(yùn)算的結(jié)果常不相同 。 換句話(huà)說(shuō) ， 用 S來(lái)腐蝕 X得到的集合是 S完全包括在 X中時(shí) S的原點(diǎn)位置的集合 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 如果 S包含了原點(diǎn) ， 即 O∈S ， 那么 X S將是 X的一個(gè)收縮 ， 即 X S X（ 當(dāng) O∈S 時(shí) ） ；如果 S不包含原點(diǎn) ， 那么 X S X未必成立 。 前一種運(yùn)算稱(chēng)為開(kāi)運(yùn)算 （ 或開(kāi)啟 ） ， 后一種運(yùn)算稱(chēng)為閉運(yùn)算 （ 閉合 ） 。 而 X－ X○ S給出的是圖像的凸出特征 。 ?? ???第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 4） 平移不變性 (X+h)● S=(X● S)+h， (X+h)○ S=(X○ S)+h X● (S+h)=X● S， X○ (S+h)=X○ S 5）等冪性 (X● S)● S = X● S， (X○ S)○ S = X○ S 開(kāi) 、 閉運(yùn)算的等冪性意味著一次濾波就能把所有特定結(jié)構(gòu)元素的噪聲濾除干凈 ， 作重復(fù)的運(yùn)算不會(huì)再有效果 。 (b) 灰值腐蝕后的圖像 。 用結(jié)構(gòu)元素 b(灰值圖像 )對(duì)灰值圖像 f做開(kāi)運(yùn)算記為 f ○ b， 其定義為 f○ b =（ f b b 用結(jié)構(gòu)元素 b(灰值圖像 )對(duì)灰值圖像 f做閉運(yùn)算記為 f● b， 其定義為 f● b =（ f b） b ? ?? ?第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 開(kāi) 、 閉運(yùn)算相對(duì)于函數(shù)的補(bǔ)和反射也是對(duì)偶的 ， 對(duì)偶關(guān)系可寫(xiě)為 (f○ b)C=(fC● bV） (f● b)C=(fC○ bV ) 因?yàn)?f (x， y)=f (x， y)， 所以可寫(xiě)為 (f○ b)=(fC● bV) (f● b)=(f○ bV) 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 在圖 (a)中 ， 給出了一幅圖像 f (x, y)在 y為常數(shù)時(shí)的一個(gè)剖面f(x)， 其形狀為一連串的山峰山谷 。 具體地說(shuō)就是 ， 第一步的腐蝕去除了小的亮細(xì)節(jié)并同時(shí)減弱了圖像亮度 ， 第二步的膨脹增加了圖像亮度 ， 但又不重新引入前面去除的細(xì)節(jié) 。 一般 ， 可以將開(kāi) 、 閉運(yùn)算結(jié)合起來(lái)構(gòu)成形態(tài)學(xué)噪聲濾波器 ， 例如 (X○ S)● S或 (X● S)○ S等 。為了達(dá)到這一目的 ， 可將圖像和噪聲視為隨機(jī)過(guò)程 ， 通過(guò)統(tǒng)計(jì)優(yōu)化分析得到優(yōu)化結(jié)果 。 其中數(shù)字圖像細(xì)化 ， 便是一種最常見(jiàn)的使用擊中 /擊不中變換的形態(tài)學(xué)算法 。 設(shè)想在 ｔ ＝０時(shí)刻 ， 將目標(biāo)邊界各處同時(shí)點(diǎn)燃 ， 火的前沿以勻速向目標(biāo)內(nèi)部蔓延 ， 當(dāng)前沿相交時(shí)火焰熄滅 ， 火焰熄滅點(diǎn)的集合就構(gòu)成了中軸 。對(duì)于圖像 X， 一般用 S(X)表示其骨架 。 圖 (a) 為一幅二值圖像 ， 圖 (b)為用 3 3的結(jié)構(gòu)元素 S（ 原點(diǎn)在中心 ） 得到的骨架 ， 圖 (c) 為用 5 5的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架 ，圖 (d) 為用 7 7的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架 。 設(shè)已知目標(biāo)點(diǎn)標(biāo)記為 1， 背景點(diǎn)標(biāo)記為 0。 在圖 (b)中刪除 p1會(huì)分割區(qū)域 ， 圖 (c)中刪除 p1 會(huì)分割縮短邊緣 ， 圖 (d)中滿(mǎn)足條件2≤N(p1)≤6但 p1不可刪除 。 算法對(duì)一幅圖像的所有邊界點(diǎn)即一個(gè) 3 3區(qū)域都進(jìn)行如下檢驗(yàn)和操作： 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 （ 1） 考慮以邊界點(diǎn)為中心的 8鄰域 ， 設(shè) p1為中心點(diǎn) ， 對(duì)其鄰域的 8個(gè)點(diǎn)逆時(shí)針繞中心點(diǎn)分別標(biāo)記為 p2， p3， …， p9， 其中 p2位于 p1的上方 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 (a) 一幅二值圖像； （ b） 用 3 3的結(jié)構(gòu)元素 S (c） 用 5 5的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架； （ d）用 7 7的結(jié)構(gòu)元素得到的骨架 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 第五節(jié) 應(yīng)用實(shí)例 —— 細(xì)化 利用前面所介紹的形態(tài)學(xué)知識(shí) ， 下面給出一種實(shí)用的對(duì)二值區(qū)域進(jìn)行形態(tài)學(xué)細(xì)化的一種算法 。 骨架對(duì)噪聲非常敏感 ， 而且連通的集合可能具有不連通的骨架 （ 例如兩個(gè)相切圓盤(pán)的骨架 ） 。 另外一種定義骨架的方法使用了最大圓盤(pán)概念： 目標(biāo) X的骨架由 X內(nèi)所有最大內(nèi)切圓盤(pán)的圓心組成 ， 如圖 (b)、 (c)所示 。 更一般地 ， 利用結(jié)構(gòu)對(duì)序列 B1，B2， …， BN迭代地產(chǎn)生輸出序列 ?NNN BXXBXXBXX ?????? ? 121211 , ?或者 )))(((}{}{ 21 N