【正文】 圖(b)、 (c)、 (d)是 p1不可刪除的三種情況 。 如果 p1=1(即黑點(diǎn) )時(shí) ， 下面 4個(gè)條件同時(shí)滿足 ， 則刪除 p1(p1=0)： ① 2≤N(p1)≤6， 其中 N(p1)是 p1的非零鄰點(diǎn)的個(gè)數(shù)； ② S(p1) = 1， 其中 S(p1)是以 p2， p3， p4， …， p9為序時(shí)這些點(diǎn)的值從 0到 1變化的次數(shù)； ③ p2p4p6=0或者 S(p1)≠1； ④ p4p6p8 =0或者 S(p1)≠1 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 （ 2） 同第 （ 1） 步 ， 僅將 ③ 中的條件改為 p2p4p8=0， ④ 中的條件改為 p2p6p8=0。 下面介紹一個(gè)具體的細(xì)化算法 。 如前所述 ， 一個(gè)圖像的 “ 骨架 ” ， 是指圖像中央的骨骼部分 ， 是描述圖像幾何及拓?fù)湫再|(zhì)的重要特征之一 。 對(duì)于給定的圖像 X以及結(jié)構(gòu)元素 Ｂ ， (X kＢ )可以將 X腐蝕為空集 ， 如果用 N表示 (X kＢ )運(yùn)算將 X腐蝕成空集前的最后一次迭代次數(shù) ， 即 N =max{k | (X kB)≠ }， 則 ?]})[(){()(0BkBXkBXXS Nk???????相反，圖像 X也可以用 Sk（ X）重構(gòu)，即 })({0kBXSX kNk????第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 式中， B為結(jié)構(gòu)元素， (Sk(X) ⊕ kB)代表連續(xù) k次用 B對(duì) Sk(X)膨脹， 即 BBBXSkBXS kk ?????? )))(((())(( ?? ） 利用上式以及圖像腐蝕 、 膨脹的算法可以編寫程序?qū)崿F(xiàn)形態(tài)學(xué)骨架抽取變換 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 數(shù)字骨架可以從形態(tài)學(xué)的角度進(jìn)行定義 。 所有最大圓盤的圓心構(gòu)成了圖像的骨架 （ 中軸 ） 。 最大圓盤不是其他任何完全屬于 X的圓盤的子集 ， 并且至少有兩點(diǎn)與目標(biāo)邊界輪廓相切 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 骨架還可以用中軸表示 。 假設(shè)輸入集合是有限的 （ 即 N為有限 ） ， 最終將得到一個(gè)細(xì)化的圖像 。 許多數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法都依賴于擊中 /擊不中變換 。 因此 ， 尋找二值圖像的細(xì)化結(jié)構(gòu)是圖像處理的一個(gè)基本問題 。 為了能使從噪聲污染的圖像 X中恢復(fù)原始圖像 X0的結(jié)果達(dá)到最優(yōu) ， 在確定結(jié)構(gòu)元素的半徑時(shí) ， 可以采用優(yōu)化方法 。 先用 S對(duì) X進(jìn)行腐蝕得到圖 (c)， 再用 S對(duì)腐蝕結(jié)果進(jìn)行膨脹得到圖 (d)， 這兩個(gè)操作的串行結(jié)合就是開運(yùn)算 ， 它將目標(biāo)周圍的噪聲塊消除掉了 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 (a) 開運(yùn)算的結(jié)果； (b) 閉運(yùn)算的結(jié)果 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 第四節(jié) 形態(tài)學(xué)的應(yīng)用 一 、 形態(tài)學(xué)濾波 由于開 、 閉運(yùn)算所處理的信息分別與圖像的凸 、 凹處相關(guān) ， 因此 ， 它們本身都是單邊算子 ， 可以利用開 、 閉運(yùn)算去除圖像的噪聲 、 恢復(fù)圖像 ， 也可交替使用開 、 閉運(yùn)算以達(dá)到雙邊濾波目的 。 從圖 (e)可看出 ， 山峰基本沒有變化 ， 而所有比 b的直徑小的山谷得到了 “ 填充 ” 。 實(shí)際中常用開運(yùn)算操作消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的亮細(xì)節(jié) ， 而保持圖像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不受影響 。 用 b對(duì) f 做開運(yùn)算 ， 即 f○ b， 可看作將 b貼著 f 的下沿從一端滾到另一端 。 第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 三 、 灰值開 、 閉運(yùn)算 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中關(guān)于灰值開和閉運(yùn)算的定義與它們?cè)诙禂?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的對(duì)應(yīng)運(yùn)算是一致的 。 這里限制 (sx)和 (ty)在 f的定義域之內(nèi) ， 類似于在二值膨脹定義中要求兩個(gè)運(yùn)算集合至少有一個(gè) （ 非零 ） 元素相交 。 ??第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 (a) 圖像 f； (b) 結(jié)構(gòu)元素 b ； (c) 用結(jié)構(gòu)元素 b對(duì) f腐蝕； (d) 用結(jié)構(gòu)元素 b對(duì) f腐蝕的結(jié)果 0 1 2 3 4 5 6 7123yx123y0 1 2 3－ 1－ 2 xb( a ) ( b )Ofs( c )Ofs( d )s ′ s ″f b)( )( xsbsf ???? － ＋)( )( xsbsf ?????? － ＋第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 (a) 原始圖像 。()(1111SXSXSXSX iniiniiniini ????????? ????)()()。 ? ?第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 3） 單調(diào)性 如果 X Y， X● S Y● S， X○ S Y○ S 如果 Y Z且 Z● Y=Z， X● Y X● Z 根椐這一性質(zhì)可以知道 ， 結(jié)構(gòu)元素的擴(kuò)大只有在保證擴(kuò)大后的結(jié)構(gòu)元素對(duì)原結(jié)構(gòu)元素開運(yùn)算不變的條件下方能保持單調(diào)性 。 由腐蝕和膨脹的對(duì)偶性，可知 (XC○ S)C =X● S； (XC● S)C =X○ S 開 、 閉變換也是一對(duì)對(duì)偶變換 ， 因此 ， 閉運(yùn)算的幾何意義可以由補(bǔ)集的開運(yùn)算的幾何意義導(dǎo)出 。 當(dāng)使用圓盤結(jié)構(gòu)元素時(shí) ， 開運(yùn)算對(duì)邊界進(jìn)行了平滑 ， 去掉了凸角；當(dāng)使用線段結(jié)構(gòu)元素時(shí) ， 沿線段方向?qū)挾容^大的部分才能夠被保留下來 ， 而較小的凸部將被剔除 。 由開運(yùn)算的定義式 ， 可以推得 ?}|{ XxSxSSX ????? ?第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用 因而 X○ S是所有 X的與結(jié)構(gòu)元素 S全等的子集的并組成的 。 例如 ， 可先對(duì)圖像進(jìn)行腐蝕然后膨脹其結(jié)果 ， 或先對(duì)圖像進(jìn)行膨脹然后腐蝕其結(jié)果 （ 這里使用同一個(gè)結(jié)構(gòu)元素 ） 。 反之 ， 也可以將 X中的每一個(gè)點(diǎn)x擴(kuò)大為 S+x， 這就是膨脹運(yùn)算 ， 記為 X S。由圖可見，腐蝕將圖像（區(qū)域）收縮小了。 腐蝕可以把小于結(jié)構(gòu)元素的物體 (毛刺 、 小凸起 )去除 ， 這樣選取不同大小的結(jié)構(gòu)元素 ， 就可以在原圖像中去掉不同大小的物體 。 腐蝕也可以用集合的方式定義 ， 即 X用 S腐蝕的結(jié)果是所有使 S平移 x后仍在 X中的 x的集合 。 對(duì)一個(gè)給定的目標(biāo)圖像 X和一個(gè)結(jié)構(gòu)元素 S， 想象一下將 S在圖像上移動(dòng) 。 對(duì)每個(gè)結(jié)構(gòu)元素可以指定一個(gè)原點(diǎn) ， 它