【正文】 圖 36b 傅立葉變換后得到幅值分布圖 圖 像 的 變 換 圖 36c 將低頻直流成分移動(dòng)到圖像中心得到幅值圖像 ， 圖 像 的 變 換 圖 36d 相位圖像 圖 像 的 變 換 圖 36e 將幅值圖像設(shè)為常數(shù)進(jìn)行反變換后的圖像 圖 像 的 變 換 圖 36f 忽略相角圖像，將其設(shè)置為零，反變換后的圖像 圖 像 的 變 換 ?分析頻譜分布： 從圖 b來(lái)看，變換結(jié)果四個(gè)角的周圍對(duì)應(yīng)低頻成分，中央對(duì)應(yīng)于高頻成分。 F=fft2(A)。左方的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為輸入節(jié)點(diǎn)，代表輸入數(shù)值；右方兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為輸出節(jié)點(diǎn)，表示輸入數(shù)值的疊加，運(yùn)算由左向右進(jìn)行。 W是以 N為周期的，許多系數(shù)是相同的，只需計(jì)算一次。后的圖像； （ d） 圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜 圖 35傅立葉旋轉(zhuǎn)頻譜 圖 像 的 變 換 表 31二維離散傅立葉變換的性質(zhì) 圖 像 的 變 換 圖 像 的 變 換 ? 傅立葉變換的缺點(diǎn)計(jì)算量過(guò)于龐大。 像一維離散傅立葉變換一樣 ， 系數(shù) 1/MN可以在正變換或逆變換中 ， 也可以在正變換和逆變換前分別乘以系數(shù) ， 只要兩式系數(shù)的乘積等于 1／ MN即可 。 通常 ， 將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換 （ Discrete Fourier Transform， DFT)。 圖 像 的 變 換 圖 32 正弦波的振幅 A和相位 φ 初 相 位 ?振幅 A基本 正 弦 波 (A ＝ 1 , ? ＝ 0)角 頻 率OA圖 像 的 變 換 圖 33圖 31（ a (a) 幅頻特性； (b) 相頻特性 A ?O f O f( a ) ( b )圖 像 的 變 換 時(shí)域和頻域之間的變換可用數(shù)學(xué)公式表示如下： ( x ) ( u ) ( u )fA ? ? ?正 變 換逆 變 換 為能同時(shí)表示信號(hào)的振幅和相位，通常采用復(fù)數(shù)表示法，因此式（ 31）可用復(fù)數(shù)表示為 ( x ) ( )f F x?正 變 換逆 變 換完成這種變換，一般采用的方法是線性正交變換。 ? 變換的方法是線性正交變換，也稱酉變換。 在實(shí)際應(yīng)用中 ， 這些條件一般總是可以滿足的 。式 (311)也可表示成指數(shù)形式： F(u)=|F(u) |ejφ(u) (712) 其中 )()(ar c t an)()()(|)(|22uRuIuuIuRuF????(313) (314) 圖 像 的 變 換 通常稱 |F(u) |為 f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜 ， φ(u)為 f(x)的相位譜 。 圖 像 的 變 換 ? 空間位移 002 ( )00( , ) ( , )u x v yjMNf x x y y F u v e ???? ? ?? 平移性質(zhì) 002 ( )00( , ) ( , )u x v yjMNf x y e F u u v v? ? ? ? ?頻率位移 圖像中心化 0 2Mu ?0 2Nv ?( , ) ( 1 ) ( , )22xy NMf x y F u v?? ? ? ?圖 像 的 變 換 只要將 f(x,y)乘以 (1)x+y,再進(jìn)行 DFT，即可將圖像頻譜原點(diǎn)移動(dòng)到圖像中心（ M/2,N/2) 原圖像 無(wú)平移的傅立葉頻譜 平移后的傅立葉頻譜 圖 34 傅立葉平移頻譜 圖 像 的 變 換 ? 周期性： ( , ) ( , ) ( , ) ( , )F u v F u a M v F u v b N F u a M v b N? ? ? ? ? ? ?( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y f x a M y F x y b N f x a M y b N? ? ? ? ? ? ?? 共軛對(duì)稱性： *( , ) ( , )F u v F u v? ? ?| ( , ) | | ( , ) |F u v F u v? ? ?? 旋轉(zhuǎn)不變性 00( , ) ( , )f r F? ? ? ? ???圖 像 的 變 換 由旋轉(zhuǎn)不變性可知，如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn) θ0角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。 1965年 Cooly 和 Tukey提出逐次加倍的 FFT，要求 N是 2的整數(shù)次冪 。 設(shè) N為 2的正整數(shù)次冪， 即 ?,2,12 ?? nn n如令 M為正整數(shù)，且 N=2M 圖 像 的 變 換 離散傅立葉變換可改寫成如下形式 ： ??? ???????????10)12(2)2(2101202 )12()2()()(MxxuMxuMMxMxuxM WxfWxfWxfuF由旋轉(zhuǎn)因子 W的定義可知 uxMuxM WW ?22uMuxMMxMxuxM WWxfWxfuF 21010)12()2()( ????????? 現(xiàn)定義 1,1,0,)12()(1,1,0,)2()(1010?????????????MxuWxfuFMxuWxfuFMxuxMoMxuxMe??圖 像 的 變 換 )()()( 2 uFWuFuF ouMe ?? 進(jìn)一步考慮 W的對(duì)稱性和周期性可知 ， 于是 uMMuM WW ??uMMuM WW 22 ???)()()( 2 uFWuFMuF ou Me ???由此，可將一個(gè) N點(diǎn)的離散傅立葉變換分解成兩個(gè) N／ 2短序列的離散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)和奇數(shù)序列的離散傅立葉變換 Fe(u)和 Fo(u) 。0 ,1 , 2 , , 1.MNj ux M v y NxyMNj ux M v y NuvF u v f x y eMNuMvNf x y F u v exMyNMN????????????????????????????容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維情況式中：式中：在數(shù)字圖象處理中，圖象一般取方形，即圖 像 的 變 換 五、 MATLAB中快速傅立葉變換的實(shí)現(xiàn) ? MATLAB中，矩陣函數(shù)的下標(biāo)是從 1開始，因此F(1,1)代表 F(0,0)， f(1,1)代表 f(0,0) ? MATLAB中提供以下圖像處理函數(shù) fft2 用來(lái)計(jì)算快速傅立葉變換，其格式為： F=fft2(f) F=fft2(f,m,n) 截去或補(bǔ)充 0元素，使圖像的大小為 m n，然后進(jìn)行 fft。 mesh(freqz2(h))。下圖為二維 FFT頻率成分分布示意圖 圖 像 的 變 換 變換之后，必須由幅值圖和相位圖共同重建圖像。 圖 像 的 變 換 二維離散余弦變換（ DCT） 離散余弦變換 （ Discrete Cosine Transform， DCT） 的變換核為余弦函數(shù) 。 圖 像 的 變 換 二 、 考慮到兩個(gè)變量，很容易將一維 DCT的定義推廣到二維DCT。 因此 ， 在作 DCT時(shí) ， 可把長(zhǎng)度為 N的 f(x)的長(zhǎng)度延拓為 2N點(diǎn)的序列 fe(x)， 然后對(duì)fe(x)作 DFT， 最后取 DFT的實(shí)部便可得到 DCT的結(jié)果 。imshow(log(abs(B))) 圖 像 的 變 換 idct2 格式與 dct2相同 dctmtx 反回 dct變換陣 B=dctmtx(N) n=8/16\ 例：利用 dct變換實(shí)現(xiàn)圖像壓縮 I=imread(‘’)。 2n階哈達(dá)瑪矩陣有如下形式： ???????????1111]1[21HH???????????????????????????????????111111111111111122224HHHHH圖 像 的 變 換 哈達(dá)瑪矩陣的階數(shù)是按 N＝ 2n(n＝ 0, 1, 2, …)規(guī)律排列的 ， 階數(shù)較高的哈達(dá)瑪矩陣 ， 可以利用矩陣的克羅內(nèi)克積運(yùn)算 ， 由低階哈達(dá)瑪矩陣遞推得到 ， 即 ????????????????????????????????2222222222211111NNNNNHHHHHHHHHHHHnnnnnn圖 像 的 變 換 (Kronecker Product) 運(yùn)算用符號(hào)記作A⊙ B， 設(shè) ,2222111211?????????????????????nnaaaaaaA???????????????????ijiijjbbbabbbbbB???????212222111211圖 像 的 變 換 則 ??????????????????BaBaBaBaBaBaBaBaBaBAmnmmnn???????212222111211????????????????????AbAaAbAbAbAbAbAbAbABijiijj???????212222111211圖 像 的 變 換 2. 離散沃爾什 哈達(dá)瑪變換 一維離散沃爾什變換定義為 ????10),()(1)(NxxuW a l s hxfNuW????10),()()(NuxuW a l s huWxf一維離散沃爾什逆變換定義為 式中 ， Walsh(u, x)為沃爾什函數(shù) 。 因此 ， 二維 WHT可用于壓縮圖像信息 。 小波變換是通過(guò)縮放母小波 （ Mother wavelet） 的寬度來(lái)獲得信號(hào)的頻率特征 ， 通過(guò)平移母小波來(lái)獲得信號(hào)的時(shí)間信息 。 圖 像 的 變 換 基本小波函數(shù) ψ()的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放。 第四步： 伸展小波， 重復(fù)第一步至第三步， 如圖所示。 這種方法實(shí)際上是一種信號(hào)分解的方法 ， 在數(shù)字信號(hào)處理中常稱為雙通道子帶編碼 。 如果對(duì)信號(hào)的高頻分量不再分解 ，而對(duì)低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解 ， 就可以得到信號(hào)不同分辨率下的低頻分量 ， 這也稱為信號(hào)的多分辨率分析 。 S表示原始的輸入信號(hào) ， 通過(guò)兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器組 ， 其中一個(gè)濾波器為低通濾波器 ， 通過(guò)該濾波器可得到信號(hào)的近似值 A（ Approximations） ， 另一個(gè)為高通濾波器 ， 通過(guò)該濾波器可得到信號(hào)的細(xì)節(jié)值 D（ Detail） 。 小波的縮放因子與信號(hào)頻率之間的關(guān)系是：縮放因子 scale越小 ， 表示小波越窄 ， 度量的是信號(hào)的細(xì)節(jié)變化 ， 表示信號(hào)頻率越高；縮放因子 scale越大 ， 表示小波越寬 ， 度量的是信號(hào)的粗糙程度 ， 表示信號(hào)頻率越低 。 小波的縮放操作 OOOf ( t )f ( t )f ( t )tttf ( t ) ＝ ?? ( t ) ； s c a l e ＝ 1f ( t ) ＝ ?? (2 t ) ； s c a l e ＝ 0 . 5f ( t ) ＝ ?? (4 t ) ； s c a l e ＝ 0 . 2 5310 圖 像 的 變 換 (2) 平移 。 圖 像 的 變 換 1.