【正文】 如果對信號的高頻分量不再分解 ，而對低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解 ， 就可以得到信號不同分辨率下的低頻分量 ， 這也稱為信號的多分辨率分析 。 圖 像 的 變 換 由圖可以看出離散小波變換可以表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹 。 實(shí)際應(yīng)用中 ， 信號的低頻分量往往是最重要的 ， 而高頻分量只起一個(gè)修飾的作用 。 S表示原始的輸入信號 ， 通過兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器組 ， 其中一個(gè)濾波器為低通濾波器 ， 通過該濾波器可得到信號的近似值 A（ Approximations） ， 另一個(gè)為高通濾波器 ， 通過該濾波器可得到信號的細(xì)節(jié)值 D（ Detail） 。 這種方法實(shí)際上是一種信號分解的方法 ， 在數(shù)字信號處理中常稱為雙通道子帶編碼 。 通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換 。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為 2j（ j0且為整數(shù) ） 的倍數(shù) ， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進(jìn)行計(jì)算 ， 就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少 。 小波的縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系是：縮放因子 scale越小 ， 表示小波越窄 ， 度量的是信號的細(xì)節(jié)變化 ， 表示信號頻率越高；縮放因子 scale越大 ， 表示小波越寬 ， 度量的是信號的粗糙程度 ， 表示信號頻率越低 。 第四步： 伸展小波， 重復(fù)第一步至第三步， 如圖所示。 第二步： C， C 表示小波與所取一節(jié)信號的相似程度 ， 計(jì)算結(jié)果取決于所選小波的形狀 ， 如圖 312所示 。 在數(shù)學(xué)上 ， 函數(shù) f(t)延遲 k的表達(dá)式為 f(tk)， 如圖所示 。 小波的縮放操作 OOOf ( t )f ( t )f ( t )tttf ( t ) ＝ ?? ( t ) ； s c a l e ＝ 1f ( t ) ＝ ?? (2 t ) ； s c a l e ＝ 0 . 5f ( t ) ＝ ?? (4 t ) ； s c a l e ＝ 0 . 2 5310 圖 像 的 變 換 (2) 平移 。 圖 像 的 變 換 基本小波函數(shù) ψ()的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放。 為了對信號細(xì)節(jié)進(jìn)行分析，我們需要使用小波系數(shù)（ wavelet coefficient）對信號進(jìn)行分解和重構(gòu) 圖 像 的 變 換 對于原始信號 ? ?tf0? ? ? ? ? ?tgtftf 110 ??這里 ? ?tg1稱為第一級小波成分，以此遞推， ? ? ? ? ? ?tgtftf 221 ?? ? ? ? ? ? ?tgtftf JJ1J ???? ? ? ? ? ?tstf k,jkjkj ?? ?? ? ? ? ? ?? ??kk,jjkj twtgS和 W分別稱為尺度函數(shù)和小波系數(shù) 。 圖 像 的 變 換 39 （ a） 正弦波曲線； (b) 小波曲線 圖 39表示了正弦波和小波的區(qū)別，由此可以看出，正弦波從負(fù)無窮一直延續(xù)到正無窮，正弦波是平滑而且是可預(yù)測的， 而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到 0的函數(shù)，其平均值為 0， 小波趨于不規(guī)則、不對稱。 圖 像 的 變 換 1. 連續(xù)小波變換 （ CWT） 小波分析就是把一個(gè)信號分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波 ， 因此小波是小波變換的基函數(shù) 。 小波變換是通過縮放母小波 （ Mother wavelet） 的寬度來獲得信號的頻率特征 ， 通過平移母小波來獲得信號的時(shí)間信息 。 圖 像 的 變 換 ? 小波變換的歷史及發(fā)展 小波變換 (waveletes) 概念的提出： 1974 理論準(zhǔn)備 :， Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究 實(shí)現(xiàn)： 1986年 。同時(shí) ， WHT只需要進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算 ， 存儲量比 FFT要少得多 ， 運(yùn)算速度也快得多 。 FWHT的基本關(guān)系為 ????????????)]()([21)2()]()([21)(uWuWNuWuWuWuWoeoe WHT的變換核是可分離和對稱的 ， 因此二維 WHT也可分為兩個(gè)一維的 WHT分別用 FWHT進(jìn)行變換而得到最終結(jié)果 ， 由此便可實(shí)現(xiàn)二維的 FWHT。 因此 ， 二維 WHT可用于壓縮圖像信息 。 圖 像 的 變 換 根據(jù)題意，上式中的 M=N=4， 其二維 WHT變換核為 ?????????????????????????11111111111111114H圖 像 的 變 換 所以 ?????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????00000000000010021111111111111111133113311331133111111111111111114121W圖 像 的 變 換 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111114122W圖 像 的 變 換 再如，圖是一幅數(shù)字圖像及對其進(jìn)行二維 WHT 二維 WHT （ a）原圖像；（ b） WHT結(jié)果 圖 像 的 變 換 注： 圖中的結(jié)果是按哈達(dá)瑪變換后再用沃爾什排序的結(jié)果 。二維 WHT的正變換核和逆變換核分別為 ???????1010),(),(),(1),(NyMxyvW s l s hxuW al s hyxfMNvuW???????1010),(),(),(),(NvMuyvW s ls hxuW a ls hvuWyxf和 式中： x, u=0, 1, 2, …, M－ 1； y, v=0, 1, 2, …, N－ 1。 圖 像 的 變 換 由哈達(dá)瑪矩陣的特點(diǎn)可知 ， 沃爾什 哈達(dá)瑪變換的本質(zhì)上是將離散序列 f(x)的各項(xiàng)值的符號按一定規(guī)律改變后 ， 進(jìn)行加減運(yùn)算 ， 因此 ， DFT和采用余弦運(yùn)算的 DCT要簡單得多 。 2n階哈達(dá)瑪矩陣有如下形式： ???????????1111]1[21HH???????????????????????????????????111111111111111122224HHHHH圖 像 的 變 換 哈達(dá)瑪矩陣的階數(shù)是按 N＝ 2n(n＝ 0, 1, 2, …)規(guī)律排列的 ， 階數(shù)較高的哈達(dá)瑪矩陣 ， 可以利用矩陣的克羅內(nèi)克積運(yùn)算 ， 由低階哈達(dá)瑪矩陣遞推得到 ， 即 ????????????????????????????????2222222222211111NNNNNHHHHHHHHHHHHnnnnnn圖 像 的 變 換 (Kronecker Product) 運(yùn)算用符號記作A⊙ B， 設(shè) ,2222111211?????????????????????nnaaaaaaA???????????????????ijiijjbbbabbbbbB???????212222111211圖 像 的 變 換 則 ??????????????????BaBaBaBaBaBaBaBaBaBAmnmmnn???????212222111211????????????????????AbAaAbAbAbAbAbAbAbABijiijj???????212222111211圖 像 的 變 換 2. 離散沃爾什 哈達(dá)瑪變換 一維離散沃爾什變換定義為 ????10),()(1)(NxxuW a l s hxfNuW????10),()()(NuxuW a l s huWxf一維離散沃爾什逆變換定義為 式中 ， Walsh(u, x)為沃爾什函數(shù) 。 由于哈達(dá)瑪排序的沃爾什函數(shù)是由 2n（ n=0， 1， 2， … ） 階哈達(dá)瑪矩陣 （ Hadamard Matrix）得到的 ， 而哈達(dá)瑪矩陣的最大優(yōu)點(diǎn)在于它具有簡單的遞推關(guān)系 ， 即高階矩陣可用兩個(gè)低階矩陣的克羅內(nèi)克積求得 ， 因此在此只介紹哈達(dá)瑪排列定義的沃爾什變換 。 沃爾什函數(shù)系是一個(gè)完備正交函數(shù)系 ， 其值只能取＋ 1和－ 1。imshow(I) subplot(1,2,2)。imshow(log(abs(B))) 圖 像 的 變 換 idct2 格式與 dct2相同 dctmtx 反回 dct變換陣 B=dctmtx(N) n=8/16\ 例：利用 dct變換實(shí)現(xiàn)圖像壓縮 I=imread(‘’)。 圖 像 的 變 換 圖 38 DFT和 DCT （ a） DFT頻譜分布； （ b） DCT頻譜分布 圖 像 的 變 換 二、 離散余弦變換在圖像處理中的作用 在圖像編碼中的作用 JPEG 優(yōu)勢：信息集中能力強(qiáng) 圖 像 的 變 換 三、離散余弦變換的 matlab實(shí)現(xiàn) dct2 B=dct2(I） B=dct2(A,[m,n]) 使 A成為 m n大小的矩陣， B與 A同 B=dct2(A,m,n) 例： A=imread(‘’) figure subplot(1,2,1)。 由于 DFT和 IDFT已有快速算法 FFT和 IFFT， 因此可用它們實(shí)現(xiàn)快速 DCT和 IDCT算法 FCT及 IFCT。 Nuje euF2)(?圖 像 的 變 換 最后要注意的是二維 DCT的頻譜分布 ， 其譜域分布與 DFT相差一倍 ， 如圖 38所示 。 因此 ， 在作 DCT時(shí) ， 可把長度為 N的 f(x)的長度延拓為 2N點(diǎn)的序列 fe(x)， 然后對fe(x)作 DFT， 最后取 DFT的實(shí)部便可得到 DCT的結(jié)果 。 首先 ， 將 f(x)延拓為 ??????0)()(xfxf ex=0, 1, 2, …, N1 x=N， N+1, …, 2 N1 按照一維 DCT的定義， fe(x)的 DCT ????10)(1)0(Nxe xfNF圖