【正文】 為 ?????????????????????????11111111111111114H圖 像 的 變 換 所以 ?????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????00000000000010021111111111111111133113311331133111111111111111114121W圖 像 的 變 換 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111114122W圖 像 的 變 換 再如，圖是一幅數(shù)字圖像及對其進行二維 WHT 二維 WHT （ a）原圖像；（ b） WHT結(jié)果 圖 像 的 變 換 注： 圖中的結(jié)果是按哈達瑪變換后再用沃爾什排序的結(jié)果 。 從以上例子可看出 ， 二維 WHT具有能量集中的特性 ， 而且原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布 ， 經(jīng)變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上 。 因此 ， 二維 WHT可用于壓縮圖像信息 。 圖 像 的 變 換 快速沃爾什變換 （ FWHT） 類似于 FFT， WHT也有快速算法 FWHT， 也可將輸入序列f(x)按奇偶進行分組 ， 分別進行 WHT。 FWHT的基本關(guān)系為 ????????????)]()([21)2()]()([21)(uWuWNuWuWuWuWoeoe WHT的變換核是可分離和對稱的 ， 因此二維 WHT也可分為兩個一維的 WHT分別用 FWHT進行變換而得到最終結(jié)果 ， 由此便可實現(xiàn)二維的 FWHT。 圖 像 的 變 換 綜上所述 ， WHT是將一個函數(shù)變換成取值為＋ 1或－ 1的基本函數(shù)構(gòu)成的級數(shù) ， 用它來逼近數(shù)字脈沖信號時要比 FFT有利 。同時 ， WHT只需要進行實數(shù)運算 ， 存儲量比 FFT要少得多 ， 運算速度也快得多 。 因此 ， WHT在圖像傳輸 、 通信技術(shù)和數(shù)據(jù)壓縮中被廣泛使用 。 圖 像 的 變 換 ? 小波變換的歷史及發(fā)展 小波變換 (waveletes) 概念的提出： 1974 理論準備 :， Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究 實現(xiàn)： 1986年 。 推廣： 《 小波十講（ Ten Lectures on Wavelets） 》 離散小波變換 圖 像 的 變 換 一 、 小波變換克服了傅立葉變換在時頻域聯(lián)系上的缺陷 ，它在高頻處窗口高而窄 ， 可以精確定位突變信號的位置；在低頻處其窗口矮而寬 ， 適合分析漸變信號 。 小波變換是通過縮放母小波 （ Mother wavelet） 的寬度來獲得信號的頻率特征 ， 通過平移母小波來獲得信號的時間信息 。 對母小波的縮放和平移操作是為了計算小波系數(shù) ， 這些小波系數(shù)反映了小波和局部信號之間的相關(guān)程度 。 圖 像 的 變 換 1. 連續(xù)小波變換 （ CWT） 小波分析就是把一個信號分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波 ， 因此小波是小波變換的基函數(shù) 。 小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進行傅立葉變換的結(jié)果 。 圖 像 的 變 換 39 （ a） 正弦波曲線； (b) 小波曲線 圖 39表示了正弦波和小波的區(qū)別，由此可以看出，正弦波從負無窮一直延續(xù)到正無窮，正弦波是平滑而且是可預(yù)測的， 而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到 0的函數(shù)，其平均值為 0， 小波趨于不規(guī)則、不對稱。 … …( a ) ( b )圖 像 的 變 換 連續(xù)小波變換的數(shù)學(xué)定義為 ： ? ? ? ?? ?????? ??? dtabttRfa1b,aW *其中 ， ????* ????與 為復(fù)共軛，且 ? ? ?????? ????abta1tb,a， a為尺度參數(shù) ， b 為平移參數(shù)。 為了對信號細節(jié)進行分析，我們需要使用小波系數(shù)（ wavelet coefficient）對信號進行分解和重構(gòu) 圖 像 的 變 換 對于原始信號 ? ?tf0? ? ? ? ? ?tgtftf 110 ??這里 ? ?tg1稱為第一級小波成分，以此遞推， ? ? ? ? ? ?tgtftf 221 ?? ? ? ? ? ? ?tgtftf JJ1J ???? ? ? ? ? ?tstf k,jkjkj ?? ?? ? ? ? ? ?? ??kk,jjkj twtgS和 W分別稱為尺度函數(shù)和小波系數(shù) 。 ? ? ? ? ? ?? ?????? dtttfs * k,jjk ? ? ? ? ? ?? ?????? dtttfw * k,jjk圖 像 的 變 換 原始信號可以表示為 ： ? ? ? ? ? ?tftgtf JJ1jj0 ?? ?? 原始信號可以用從第 1級到第 J級的 J個分辨率小波來表示，實現(xiàn)了小波的多分辨率分析。 圖 像 的 變 換 基本小波函數(shù) ψ()的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放。簡單地講， 縮放就是壓縮或伸展基本小波， 縮放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖 714所示。 小波的縮放操作 OOOf ( t )f ( t )f ( t )tttf ( t ) ＝ ?? ( t ) ； s c a l e ＝ 1f ( t ) ＝ ?? (2 t ) ； s c a l e ＝ 0 . 5f ( t ) ＝ ?? (4 t ) ； s c a l e ＝ 0 . 2 5310 圖 像 的 變 換 (2) 平移 。 簡單地講 ， 平移就是小波的延遲或超前 。 在數(shù)學(xué)上 ， 函數(shù) f(t)延遲 k的表達式為 f(tk)， 如圖所示 。 311小 (a) 小波函數(shù) ψ(t)； (b) 位移后的小波函數(shù) ψ(tk) O t?? ( t )O t?? ( t － k )( a ) ( b )圖 像 的 變 換 CWT計算主要有如下五個步驟： 第一步： 取一個小波 ， 將其與原始信號的開始一節(jié)進行比較 。 第二步： C， C 表示小波與所取一節(jié)信號的相似程度 ， 計算結(jié)果取決于所選小波的形狀 ， 如圖 312所示 。 第三步：向右移動小波 ， 重復(fù)第一步和第二步 ， 直至覆蓋整個信號 ， 如圖所示 。 第四步： 伸展小波， 重復(fù)第一步至第三步， 如圖所示。 圖 像 的 變 換 312計算系數(shù)值 C 原 始 信 號小 波 信 號C ＝ 0 . 0 1 0 2圖 像 的 變 換 圖 313 計算平移后系數(shù)值 C 原 始 信 號小 波 信 號圖 像 的 變 換 圖 314 計算尺度后系數(shù)值 C 原 始 信 號小 波 信 號C ＝ 0 . 2 2 4 7圖 像 的 變 換 第五步：對于所有縮放 ， 重復(fù)第一步至第四步 。 小波的縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系是：縮放因子 scale越小 ， 表示小波越窄 ， 度量的是信號的細節(jié)變化 ， 表示信號頻率越高；縮放因子 scale越大 ， 表示小波越寬 ， 度量的是信號的粗糙程度 ， 表示信號頻率越低 。 圖 像 的 變 換 2. 離散小波變換 （ DWT） 在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù) ， 其計算量相當(dāng)大 ， 將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量 ， 而且有許多數(shù)據(jù)是無用的 。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為 2j（ j0且為整數(shù) ） 的倍數(shù) ， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進行計算 ， 就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少 。 使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換 （ Dyadic Wavelet Transform） ， 它是離散小波變換 （ Discrete Wavelet Transform， DWT） 的一種形式 。 通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換 。 圖 像 的 變 換 通過利用雙尺度關(guān)系，可得尺度系數(shù)和小波系數(shù)的離散形式為 ? ? ? ?? ???n1jn*k2njk sps? ? ? ?? ???n1jn*k2njk sqw我們可以將尺度函數(shù)即近似原始信號分解成低分辨率的尺度系數(shù)和小波系數(shù)，實現(xiàn)信號的多分辨率分解 ? ?1ks ? ?2ks? ?1kw ? ?2kw? ?0ks ? ?4ks? ?3kw ? ?4kw? ?3ks圖 像 的 變 換 依據(jù)平移規(guī)范正交條件，我們可由第 j級的小波系數(shù)和尺度系數(shù)導(dǎo)出第 j1級的尺度系數(shù)，如下式所示 ? ? ? ? ? ?????? ??kjkk2nkjkk2n1jn wqsps由該式對信號進行重構(gòu) ? ?4ks ? ?2ks ? ?1ks ? ?0ks? ?4kw ? ?3kw ? ?2kw ? ?1kw? ?3ks圖 像 的 變 換 圖 315 2D圖像及其 2層小波變換的結(jié)果 圖 像 的 變 換 執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器 ， 該方法是Mallat于 1988年提出的 ， 稱為 Mallat算法 。 這種方法實際上是一種信號分解的方法 ， 在數(shù)字信號處理中常稱為雙通道子帶編碼 。 用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖 316所示 。 S表示原始的輸入信號 ， 通過兩個互補的濾波器組 ， 其中一個濾波器為低通濾波器 ， 通過該濾波器可得到信號的近似值 A（ Approximations） ， 另一個為高通濾波器 ， 通過該濾波器可得到信號的細節(jié)值 D（ Detail） 。 圖 像 的 變 換 圖 316 小波分解示意圖 SA D濾 波 器 組低通 高通圖 像 的 變 換 在小波分析中 ， 近似值是大的縮放因子計算的系數(shù) ， 表示信號的低頻分量 ， 而細節(jié)值是小的縮放因子計算的系數(shù) ， 表示信號的高頻分量 。 實際應(yīng)用中 ， 信號的低頻分量往往是最重要的 ， 而高頻分量只起一個修飾的作用 。 如同一個人的聲音一樣 ， 把高頻分量去掉后 ， 聽起來聲音會發(fā)生改變 ， 但還能聽出說的是什么內(nèi)容 ， 但如果把低頻分量刪除后 ， 就會什么內(nèi)容也聽不出來了 。 圖 像 的 變 換 由圖可以看出離散小波變換可以表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹 。 原始信號經(jīng)過一對互補的濾波器組進行的分解稱為一級分解 ， 信號的分解過程也可以不斷進行下去 ，也就是說可以進行多級分解 。 如果對信號的高頻分量不再分解 ，而對低頻分量進行連續(xù)分解 ， 就可以得到信號不同分辨率下的低頻分量 ， 這也稱為信號的多分辨率分析 。 如此進行下去 ， 就會形成圖 317所示的一棵比較大的分解樹 ， 稱其為信號的小波分解樹 （ Wavel