微積分解題方法選講-資料下載頁
2025-05-13 02:30本頁面
【正文】 s,xyJuv?????? ? ???22a x b y a b u? ? ?221 :1D u v??? ? ? ?122DDf a x b y c d x d y f a b u c J d u d v? ? ? ? ??? ??xyO? ?222211xyuv????uv?? ?? ?2211221 2 2 2121uuf a b u c d u d vu f a b u c d u?? ? ??? ? ?? ? ? ????xyO22:uax byLuab???221xy ??u (3) 重積分的計算與應(yīng)用 數(shù)學(xué)競賽中單獨考察重積分計算的可能性較小，往往與多元函數(shù)極值、幾何與物理應(yīng)用等問題相結(jié)合。 例 7 求 其中 。 例 8 求 其中 。 ? ?x y z d v? ?????? ? ? ?2 2 2x y zx z e d v? ? ?? ????2 2 2: 1 4 , , , 0x y z x y z? ? ? ? ? ?2 2 2 2: , 0x y z R z? ? ? ? ? 例 9 求 例 10 設(shè)拋物面 及圓柱面 。 (1) 求 的一個切平面，使它與 及 圍成的立體 的體積最小。 (2) 當由 (1)確定的最小體積的立體 上有質(zhì)量分布，其密度為 1，求 的質(zhì)心。 ? ? 2 2 22 2 2 2 2 2, : 1x y zx y z d v a b c? ? ? ? ? ? ????? ? 2 22 : 1 1xy? ? ? ?221 :1z x y? ? ? ?1? 1? 2??0?0? 練習(xí) 1 計算積分 其中 。 練習(xí) 2 求 ，其中 練習(xí) 3 證明： ? ?m in ,D x y d ???: 1 , , 0D x y x y? ? ?? ?xyDI e e d?? ??????:1D x y??? ?? ?l n 11 , : 1 2 , 1 2l n 1Dyd x d y D x yx?? ? ? ? ???? 練習(xí) 4 求 練習(xí) 5 計算 其中 D由直線 x+y=1與兩坐標軸所圍三角形區(qū)域。 本題為第一屆預(yù)賽第 1題。 ? ? l n 11Dyxyxd x d yxy???? ????????c o s , : 0 , 0 , 1Dxy d x d y D x y x yxy?? ? ? ? ? ??? ????? 練習(xí) 6 證明： 練習(xí) 7 證明： 其中 。 本題與第 3屆預(yù)賽中的一個難題類似。 ? ?? ? ? ?1 2 2 2 211f a x b y c z d vu f a b c u d u???? ? ?? ? ?????? ? ? ?2 2 2 22 2 , : 1D f x y d x d y f u u d u D x y?? ? ? ? ??? ?2 2 2 2 2 2: 1 , 0x y z a b c? ? ? ? ? ? ?xyzO2 2 2:ua x b y czDuabc?????2 2 21x y z? ? ?u 練習(xí) 8 求 練習(xí) 9 求 其中 為常數(shù)。 練習(xí) 10 設(shè)曲面 。 (1) S1將 S2分成三塊，求這三塊曲面面積。 (2) 記 ，求 位于 S1內(nèi)部分的體積 V。 ? ?2 2 2 2 2 2 2,:l x m y n z d v x y z R? ? ? ? ? ? ????? ? 2 2 2 2 2,:x y z d v x y z R? ? ? ? ? ? ????,l m n2 2 212: 1 3 , :S z x y S x? ? ?22 25yz? ? ?2 2 2: 2 5x y z? ? ? ??2. 線面積分的計算及應(yīng)用 本部分要求熟練掌握兩類線面積分的計算方法，熟悉第 1, 2類線積分及第 1類面積分在物理上的應(yīng)用，特別要注意格林公式和高斯公式及其應(yīng)用問題。
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