微積分模型ppt課件-資料下載頁
2025-04-29 01:24本頁面
【正文】 和絕對值充分小的任意常數(shù) ，有 ? ? m in?yJ? ? ? ? 021 ?? xx ??? ?x? ?? ? ? ? 0??? yJyJ ??而 ? ? ? ?yJyJ ?? ??? ? ? ?yJdxyyxFxx?????? ? 21, ????（在 處展開） 0??? ? ? ?? ? ? ?yJdxFFyyxFxx yy??????? ? ?212, ??????? ? ? ?221????? ???? ? ?xx yydxFF從而有 ? ? 021???? ?xx yydxFF ??又 ?? ??? ??? 212121xxyxxyxx ydxdxdFFdxF ???? ??? 21xxy dxdxdF?所以有 021????????? ?? ?xxyy dxdxdFF ?由 的任意性，得 ? ?x?? ? ? ? 0.., ???? ? yyxFdxdyyxFyy上式稱為 Euler公式，是泛函極值的必要條件?；虻葍r(jià)地 0??????? ???? yFyFFF yyyyyxy對于 ? ? ? ?? ??? 21,, xx dxzzyyxFzyJ Euler方程為 ?????????????00zzyyFdxdFFdxdF2．可變端點(diǎn)的泛函極值 第一類可變端點(diǎn)問題：端點(diǎn)條件為 ， 自由 滿足 Euler方程，但定解條件為 ? ? 11 yxy ?? ?2xy? ? 11 yxy ? 02 ??? xxyF第二類可變端點(diǎn)問題：端點(diǎn)條件為 ? ? 11 yxy ? ? ? 22 yxy ? （ 任意） 2x滿足 Euler方程，但定解條件為 ? ? 11 yxy ? ? ? 22 yxy ? ? ? 02 ?? xy3．條件極值， Hamilton函數(shù)典型形式為： ? ?? ? ? ? ? ?? ?dxtutxtFtuJ xx?? 21,? ? ? ? ? ?? ?tutxtftx ,??其中 為控制函數(shù)， 為狀態(tài)函數(shù)。 考慮泛函 ??tu ??tx? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?dxxuxtftuxtFtutxJ xx????? 21,, ?記 ? ? ? ? ? ? ? ?uxtftuxtFuxtH ,, ???稱 H為 Hamilton函數(shù)，則有 ? ? ? ?? ? ? ?dxxHtutxJ xx???? 21, ?則相應(yīng)的 Euler方程為 ? ? ? ?? ? ? ??????????????????????00uuxxxHdxdxHxHdxdxH????即 ? ???????????????00uHtxH?例（最速降線問題）求一平面曲線，使一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由 在重力作用下，沿該曲線滑 到 所用的時(shí)間最短。 ? ?11 , yxA? ?22 , yxB解：如圖，由能量守恒原理 x y A B o X1 X2 Y1 Y2 m gydtdsm ???????221（ s為弧長） 即 gydtds2?在由 dxyds 21 ???可得 dxgyydt21 2???? ? ????21 21 2xxdxgyyyt端點(diǎn)條件為 ? ? 11 yxy ? ? ? 22 yxy ?若取 ? ?00 ?y ? ? 11 yxy ?yyF21 ???則 Euler方程可化為 0?????? ??? yFyFF yyyyy? ? 0??????? ??? yFyFFy yyyyy? ? 0???? ?yFyFdxd則 ? ?221 cyy ???化為參數(shù)方程 ? ?? ?????????tcycttcxco s1s i n1
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