用復(fù)變函數(shù)來(lái)表示平面向量場(chǎng)-資料下載頁(yè)
2025-05-12 11:38本頁(yè)面
【正文】 一區(qū)域 D內(nèi)，不含有電荷，則力函數(shù) ( , )u x y與勢(shì)函數(shù) ( , )v x y滿足柯西－黎曼條件 ,u v u vx y y x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 當(dāng)上述四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，從而可得 D內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù) ( ) ( , ) ( , )w f z u x y i v x y? ? ?() 稱這個(gè)函數(shù)位靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)（或電位）， 場(chǎng) E可以用復(fù)勢(shì)表示為 ( ) .vuE i if zxx?? ?? ? ? ? ???() 可見(jiàn)靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)和電流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)相 差一個(gè)因子 i?通流體場(chǎng)一樣，利用靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)，可 見(jiàn)研究場(chǎng)的等式線和電力線分布情況， 描繪出該場(chǎng)的圖形。 ，這是電工上的習(xí)慣用法， 例 1 周圍所形成的電場(chǎng)，用 q表示垂直于 L。在此平面上一點(diǎn) z x iy??處的場(chǎng)強(qiáng)記為 E的表達(dá)式。 研究帶有電荷的無(wú)限長(zhǎng)直線 L的 據(jù)電學(xué)中的疊加原理，可將向量 E看作是 電荷 qdh所產(chǎn)生的強(qiáng)度向量 dE的和，將電荷 qdh看作是集中于 L上 M點(diǎn)處的點(diǎn)電荷，由 庫(kù)侖定理，高度為 h的點(diǎn)電荷 qhd的場(chǎng)強(qiáng)向 量 dE的大小等于 22qdhdErh?? 向量 E在復(fù)平面上，它的大小等于 dE在 復(fù)平面上的投影之和，因而 22c o sc o s qE d E d hrh?? ?????? ??? 其中 ? 是向量 dE與復(fù)平面的夾角，由 直角三角形 MOP有 t a nhr ??于是 22 2 21 c o s .r h r??因此 22c o s 2 .qqEdrr??? ?????又由于向量 E 的方向與向量 o p z? 方向相同 于是 2 2 2 2 22 2 2 z q z q x q yEir z x y x yz? ? ? ???仿例 2 計(jì)算可得復(fù)勢(shì)為 1( ) 2 l n .w F z q i cz? ? ?該場(chǎng)的圖形如（圖 ）所示，（實(shí)線 表示力線，虛線是勢(shì)線）
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