【正文】 —— 4 分 (Ⅱ )解：由題設 ABCD－ A1B1C1D1 是正四棱柱，得 A1A⊥底面 AC， A1A⊥ AC．又 A1A⊥ A1B1，∴ A1A 是異面直線 A1B1 與 AC 間的公垂線． —— 6 分∵ D1B∥面 EAC，且面 D1BD 與面 EAC 交線為 EO，∴D1B∥ EO．又 O是 DB的中點，∴ E是 D1D的中點， D1B=2EO=2a．∴ D1D==a．異面直線 A1B1 與 AC 間的距離為 a． —— 8 分 (Ⅲ )解法一：如圖，連 結D1B1．∵ D1D=DB=a，∴ BDD1B1 是正方形．連結 B1D 交 D1B 于 P，交 EO于 Q．∵ B1D⊥ D1B， EO∥ D1B，∴ B1D⊥ EO．又 AC⊥ EO， AC⊥ ED．∴ AC⊥面 BDD1B1，∴ B1D⊥ AC，∴ B1D⊥面 EAC．∴ B1Q 是三棱錐 B1－ EAC 的高． —— 10 分由 DQ=PQ，得 B1Q=B1D=a．∴所以三棱錐 B1－ EAC 的體積是． —— 12 分解法二：連結 B1O，則 =2． —— 10 分∵ AO⊥面 BDD1B1，∴ AO 是三棱錐 A－ EOB1 的高， AO=a．在正方形 BDD1B1 中， E、 O 分別是 D1D、 DB 的中點 (如 右圖 )，則．∴．所以三棱錐 B1－ EAC 的體積是． —— 12 分 (23)本小題主要考查等比數(shù)列、對數(shù)計算等基本知識，考查綜合運用數(shù)學知識和方法解決實際問題的能力．滿分 14 分． (Ⅰ )解：厚度為α的帶鋼經(jīng)過減薄率均為 r0 的 n對軋輥后厚度為α (1－ r0)n．為使輸出帶鋼的厚度不超過β，冷軋機的軋輥數(shù) (以對為單位 )應滿足α(1－ r0)n≤β，即 (1－ r0)n≤． —— 4分由于 (1－ r0)n0， 0，對上式兩端取對數(shù)，得 nlg(1－ r0)≤ lg．由于 lg(1－ r0)1 時，方程③表示雙曲線一支的弧段． —— 14分解法二：如圖， 設 D 是 l 與 x軸的交點，過點 C 作 CE⊥ x軸， E是垂足． (ⅰ )當 |BD|≠ 0 時，設點 C(x， y)，則0 第五篇：高考卷 ,91 屆 ,普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題及答案（文） 1991年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（文史類）考生注意：這份試卷共三道大題 (26 個小題 )．滿分 120 分．一、選擇題：本大題共 15 小題； 每小題 3 分，共 45 分．在每小題給出的四個選項中，只有一是符合題目要求的．把所選項前的字母填在題后括號內(nèi) (1)已知 sinα =，并且α是第二象限的角，那么 tgα的值等于 ()(A)(B)(C)(D)(2)焦點在(－ 1， 0)，頂點在 (1， 0)的拋物線方程是 ()(A)y2=8(x＋ 1)(B)y2=－ 8(x＋ 1)(C)y2=8(x－ 1)(D)y2=－ 8(x－ 1)(3)函數(shù) y=cos4x－ sin4x 的最小正周期是 ()(A)(B)π (C)2π (D)4π (4)P(2， 5)關于直線 x＋ y=0 的對稱點的坐標是 ()(A)(5， 2)(B)(2，－ 5)(C)(－ 5，－ 2)(D)(－ 2，－ 5)(5)如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的 12 條直線中，異面直線共有 ()(A)12 對 (B)24 對 (C)36 對 (D)48 對 (6)函數(shù)y=sin(2x＋ )的圖像的一條對稱軸的方程是 ()(A)x=－ (B)x=－(C)x=(D)x=(7)如果三棱錐 S－ ABC 的底面是不等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等，且頂點 S 在底面的射影 O 在△ ABC內(nèi)，那么 O是△ ABC 的 ()(A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)內(nèi)心 (8)已知 {an}是等比數(shù)列，且 an0 ， a2a4 ＋ 2a3a5 ＋ a4a6=25 ， 那 么 a3 ＋ a5 的 值 等 于()(A)5(B)10(C)15(D)20(9)已知函數(shù) y=(x∈ R，且 x≠ 1)，那么它的反函數(shù)為 ()(A)y=(x∈ R，且 x≠ 1)(B)y=(x∈ R，且 x≠ 6)(C)y=(x∈ R，且x≠－ )(D)y=(x∈ R，且 x≠－ 5)(10)從 4 臺甲型和 5臺乙型電視機中任意取出 3 臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各 1 臺，則不同的取法共有 ()(A)140種 (B)84種 (C)70種（ D） 35 種 (11)設甲、乙、丙是三個命題．如果甲是乙的必要條件； 丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么 ()(A)丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件 (B)丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件 (C)丙是甲的充要條件 (D)丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件 (12)? (1－ )]的值等于 ()(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果 AC1，那么a=_____________(20)在長方體 ABCD－ A1B1C1D1 中，已知頂點 A 上三條棱長分別是、 2．如果對角線 AC1 與過點 A的相鄰三個面所成的角分別是α、β、γ，那么 cos2α＋ cos2β＋ cos2γ =_________三、解答題：本大題共 6 小題； 共 60 分． (21)(本小題滿分 8 分 )求函數(shù) y=sin2x＋ 2sinxcosx＋3cos2x 的最大值． (22)(本小題滿分 8 分 )已知復數(shù) z=1＋ i,求復數(shù)的模和輻角的主值． (23)(本小題滿分 10 分 )如圖，在三棱臺 A1B1C1－ ABC中，已知 A1A⊥底面 ABC， A1A=A1B1=B1C1=a， B1B⊥ BC，且 B1B 和底面ABC所成的角 45186。，求這個棱臺的體積． (24)(本小題滿分 10 分 )設 {an}是等差數(shù)列， bn=()an．已知 b1＋ b2＋ b3=,b1b2b3=．求 等差數(shù)列的通項 an． (25)(本小題滿分 12分 )設 a0， a≠ 1，解關于 x的不等式 (26)(本小題滿分 12 分 )已知橢圓的中心在坐標原點 O，焦點在坐標軸上，直線y=x＋ 1與該橢圓相交于 P和 Q，且 OP⊥ OQ， |PQ|=．求橢圓的方程． 1991年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 (文史類 )參考解答及評分標準說明： 一．本解答指出了每題所要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種較為常見的解法，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容參照評分標準制定相應評分細則．二．每題都要評閱到底，不要因為 考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱．當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后繼部分時，如果該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時，可視影響的程度決定后面部分的給分，但不得超過后面部分應給分數(shù)的一半； 如果這一步以后的解答有較嚴重的錯誤，就不給分．三．為了閱卷方便，本試題解答中的推導步驟寫得較為詳細，允許考生在解題過程中合理省略非關鍵性的推導步驟．四．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．五．只給整數(shù)分數(shù)．一．選擇題．本題考查基本知識和基本運算．每小題 3 分，滿分 45分． (1)A(2)D(3)B(4)C(5)B(6)A(7)D(8)A(9)B(10)C(11)A(12)C(13)C(14)B(15)C 二．填空題．本題考查基本知識基本運算．每小題 3 分，滿分 15 分． (16)(－ 2， 2)(17)2－ (18){x|－ 40,所以②式等價于③④—— 5 分解③式得 x，解④式得－ 1 時，由①式得 x4－ 2x2＋ a20，⑤—— 9 分由于 a1，判別式△ 1時，原不等式的解集為 {x|－∞ 1 時，由①式得 x4－ 2x2＋ a20，⑧ —— 9 分配方得 (x2－ 1)2＋ a2－ 10，⑨對任意實數(shù) x，不等式⑨都成立，即 a1 時 ，原不等式的解集為 {x|－∞ 1時，原不等式的解集為 {x|－∞