【導(dǎo)讀】在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；點(diǎn)式及一般式），體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；直線方程考察的重點(diǎn)是直線方程的特征值有關(guān)問(wèn)題，對(duì)參數(shù)的討論中確定圓的方程。察也會(huì)是一個(gè)出題方向；當(dāng)直線的傾斜角等于900時(shí)，直線的斜率不存在。4．直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件。形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k——直線上已知點(diǎn)，k——斜率傾斜角為90°的直線不能用此式。FEyDxCyBxyAx，表示圓的方程的充要條件是：。①、2x項(xiàng)2y項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0，即0??CA；②、沒(méi)有xy項(xiàng)，即B=0；③、，所以yx的最大值是32。證明：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由題設(shè)知x1＞1，x2＞1，點(diǎn)A，由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一條直線上。由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝3，于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

　　

【正文】 處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得，體積法不用得到垂線。 題型 6：線面夾角 例 6．（ 20xx 浙江理， 17） 如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面為直角梯形， AD∥ BC,∠ BAD=90176。 ,PA⊥底面 ABCD，且 PA＝ AD=AB=2BC， M、 N 分別為 PC、 PB的中點(diǎn)。 (Ⅰ )求證： PB⊥ DM。 (Ⅱ )求 CD 與平面 ADMN 所成的角的正弦值。 解析： （ I ）因?yàn)?N 是 PB 的中點(diǎn)， PA PB? ，所以AN PB? 。 因?yàn)?AD? 平面 PAB ，所以 AD PB? ， 從而 PB? 平面 ADMN . 因?yàn)?DM? 平面 ADMN ，所以 PB DM? . （ II）取 AD 的中點(diǎn) G ，連結(jié) BG 、 NG ，則//BG CD ， 所以 BG 與平面 ADMN 所成的角和 CD 與平面ADMN 所成的角相等。 因?yàn)?PB? 平面 ADMN ，所以 BGN? 是 BG 與平面第 22 頁(yè) 共 25 頁(yè) ADMN 所成的角。 在 Rt BGN? 中， 10s in5BNB N G BG? ? ?。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。 題型 7：面面距離 例 7．在長(zhǎng)方體 ABCD— A1B1C1D1 中， AB=4， BC=3， CC1=2，如圖： （ 1）求證：平面 A1BC1∥平面 ACD1； （ 2）求 (1)中兩個(gè)平行平面間的距離； （ 3）求點(diǎn) B1 到平面 A1BC1 的距離。 （ 1）證明 ：由于 BC1∥ AD1，則 BC1∥平面 ACD1， 同理， A1B∥平面 ACD1，則平面 A1BC1∥平面 ACD1。 （ 2）解：設(shè)兩平行平面 A1BC1 與 ACD1 間的距離為 d，則 d 等于 D1 到平面 A1BC1 的距離。易求 A1C1=5， A1B=2 5 ， BC1= 13 ，則 cosA1BC1=652，則 sinA1BC1=6561，則 S111 CBA?= 61 。 由于111111 DCABBCAD VV ?? ?，則31S11BCA?178。 d= )21(31 111 DCAD?178。 BB1，代入求得 d=616112，即兩平行平面間的距離為616112。 （ 3）解：由于線段 B1D1 被平面 A1BC1 所平分，則 B D1 到平面 A1BC1 的距離相等，則由（ 2）知點(diǎn) B1 到 平面 A1BC1 的距離等于616112。 點(diǎn)評(píng)： 立體幾何圖形必須借助面的襯托，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來(lái)。在具體的問(wèn)題中，證明和計(jì)算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個(gè)輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過(guò)對(duì)這個(gè)平面的截得，延展或構(gòu)造，綱舉目張，問(wèn)題就迎刃而解了。 題型 8：面面角 例 8．（ 20xx 四川理， 19） 如圖，在長(zhǎng)方體1 1 1 1ABCD A B C D? 中， ,EP分別是 11,BC AD 的中點(diǎn)， ,MN 分別是 1,AECD 的中點(diǎn)，1 ,2A D A A a A B a? ? ?。 D 1 C 1B 1A 1D CBA第 23 頁(yè) 共 25 頁(yè) （Ⅰ）求證： //MN 面 11ADDA ； （Ⅱ）求二面角 P AE D??的大小。 （Ⅲ）求三棱錐 P DEN? 的體積。 解 析：（Ⅰ）證明：取 CD 的中點(diǎn) K ，連結(jié),MK NK ∵ ,MNK 分別為 1,AK CD CD 的中點(diǎn)， ∵ 1// , //M K AD N K DD，∴ //MK 面 11ADDA ，//NK 面 11ADDA ∴面 //MNK 面 11ADDA ∴ //MN 面 11ADDA （Ⅱ）設(shè) F 為 AD 的中點(diǎn) ∵ P 為 11AD 的中點(diǎn) ∴ 1//PF DD ∴ PF? 面 ABCD 作 FH AE? ，交 AE 于 H ，連結(jié) PH ，則由三垂線定理得 AE PH? 。 從而 PHF? 為二面角 P AE D??的平面角。 在 Rt AEF? 中， 17, 2 ,22aA F E F a A E a? ? ?，從而 2 221 7 1 72a aA F E F aFH AEa?? ? ?。 在 Rt PFH? 中， 1 17ta n2DDPFPFH F H F H? ? ? ?，故二面角 P AE D??的正切值為217 。 （Ⅲ）12 2 211 1 1 542 4 4 4N E P E C D PS S B C C D a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?矩 形 ， 作 1DQ CD? ，交 1CD 于 Q ，由 11AD? 面 11CDDC 得 11AC DQ? ， ∴ DQ? 面 11BCDA ， ∴在 1Rt CDD? 中， 112255C D D D aaD Q aCD a? ?? ? ?， 第 24 頁(yè) 共 25 頁(yè) ∴ 13P D E N D E N P N E PV V S D Q? ? ?? ? ?21 5 234 5aa??316a?。 點(diǎn)評(píng)： 求角和距離的基本步驟是作、證、算。此外還要特別注意融合在運(yùn)算中的推理過(guò)程，推理是運(yùn)算的基礎(chǔ)，運(yùn)算只是推理過(guò)程的延續(xù)。如求二 面角，只有根據(jù)推理過(guò)程找到二面角后，進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，才能求出。因此，求角與距離的關(guān)鍵還是直線與平面的位置關(guān)系的論證。 五．思維總結(jié) 空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問(wèn)題的基本思路是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決． 1． 空間 的 角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念， 由 它們的定義， 可得其 取值范圍 ，如兩異面直線所成的角 θ∈ (0，2?)，直線與平面所成的角 θ∈ 0,2???????，二面角的大小，可用它們的平面角來(lái)度量，其平面角 θ∈ (0，π )。 對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過(guò)一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過(guò)程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過(guò)空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力． （ 1）求異面直線所成的角， 一般是平移轉(zhuǎn)化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線；或過(guò)空間任一點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角θ，構(gòu)造一個(gè)含θ的三角形，解三角形即可。方法二是補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ。 （ 2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)（斜足），然后在直線上取一點(diǎn)（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影），最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。 （ 3）求二面角，一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來(lái)解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根據(jù)定義作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無(wú)棱二面角先作出棱后同上進(jìn)行。間接法主要是投影法：即在一個(gè)平面α上的圖形面積為 S，它在另一個(gè)平面β上的投影面積為 S′，這兩個(gè)平面的夾角為θ，則 S′ =Scosθ。 如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角 ?－ l－ ?的 平面角（記作 ?）通常有以下幾種方法： (1) 根據(jù)定義； (2) 過(guò)棱 l 上任一點(diǎn) O 作棱 l 的垂面 ?，設(shè) ?∩ ?＝ OA， ?∩ ?＝ OB，則∠ AOB＝ ?(圖 1)； (3) 利用三垂線定理或逆定理，過(guò)一個(gè)半平面 ?內(nèi)一點(diǎn) A，分別作另一個(gè)平面 ?的垂線AB(垂足為 B),或棱 l 的垂線 AC(垂足為 C)，連結(jié) AC，則∠ ACB＝ ? 或∠ ACB＝ ?－ ?(圖2)； (4) 設(shè) A 為平面 ?外任一點(diǎn)， AB⊥ ?，垂足為 B， AC⊥ ?，垂足為 C，則∠ BAC＝ ?或第 25 頁(yè) 共 25 頁(yè) ∠ BAC＝ ?－ ?(圖 3)； (5) 利用面積射影定理，設(shè)平面 ?內(nèi)的平面圖形 F 的面積為 S， F 在平面 ?內(nèi)的射影圖形的面積為 S?，則 cos?＝SS39。. 圖 1 圖 2 圖 3 2．空間的距離問(wèn)題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離． 求距離的一般方法和步驟是：一作 —— 作出表示距離的線段；二證 —— 證明它就是所要求的距離；三算 —— 計(jì)算其值．此外，我們 還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離． 求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置 . ②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理 . ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視 .二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點(diǎn)在于找到面的垂線 .解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線； 作棱的垂面。作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則 .此外在解答題中一般不用公式“ cosθ ＝ SS? ”求二面角否則要適當(dāng)扣分。 ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)常考慮面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì) .而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法 . ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形最終求得所需的角與距離 求距離的關(guān)鍵是化歸。即空間距離與角向平面距離與角化歸 ，各種具體方法如下： （ 1）求空間中兩點(diǎn)間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形。 （ 2）求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法。 A BO β γβAB C βCAB βAB CβAB C