【正文】 ， ∵直線 l 過(guò)點(diǎn) P（ 5， 4）， ?? ? ? ?5 4 1a b，即 4 5a b ab? ? ? 。 即 8 5 20 0x y? ? ? ，或 2 5 10 0x y? ? ? 點(diǎn)評(píng)：要求 l 的方程，須先求截距 a、 b 的值，而求截距的方法也 有三種： （ 1）從點(diǎn)的坐標(biāo) ? ?a， 0 或 ? ?0， b 中直接觀察出來(lái)； （ 2）由斜截式或截距式方程確定截距； （ 3）在其他形式的直線方程中，令 x?0 得 y 軸上的截距 b；令 y?0 得出 x 軸上的截距 a。解題時(shí)善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功 倍的效果。 解析二：將 x=0， y=0 和 2x+3y=30 所圍成的三角形補(bǔ)成一個(gè)矩形 .如圖所示。 11=176.圖 第 7 頁(yè) 共 25 頁(yè) 因此所求△ AOB 內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)共有 2 6176? =91（個(gè)） 點(diǎn)評(píng)：本題較好地考查 了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過(guò)不等式解等知識(shí)探索解題途徑。 （Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡 M 的方程； （Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn) P，且斜率為－ 3 的直線與曲線 M 相交于 A、 B 兩點(diǎn)。 （Ⅰ）解法一，依題意，曲線 M 是以點(diǎn) P 為焦點(diǎn) ，直線 l 為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線 M 的方程為 y2=4x. 解法二：設(shè) M（ x， y），依題意有 |MP|=|MN|， 所以 |x+1|= 22)1( yx ?? 。 （Ⅱ）（ i）由題意得，直線 AB 的方程為 y=－ 3 （ x－ 1） . 由?????????.4),1(32 xyxy 消 y 得 3x2－ 10x+3=0， 解得 x1=31 ， x2=3。 假設(shè)存在點(diǎn) C（－ 1， y），使△ ABC 為正三角形，則 |BC|=|AB|且 |AC|=|AB|，即 ???????????????.)316()32()131(,)316()32()13(222222yy 圖 ① ② 第 8 頁(yè) 共 25 頁(yè) 由①－②得 42+（ y+2 3 ） 2=（ 34 ） 2+（ y－ 332 ） 2， 解得 y=－ 9314 。 因此，直線 l 上不存在點(diǎn) C，使得△ ABC 是正三角形。 又 |AC|2=（－ 1－ 31 ） 2+（ y－ 332 ） 2= 334928 y? +y2， |BC|2=（ 3+1） 2+（ y+2 3 ） 2=28+4 3 y+y2， |AB|2=（ 316 ） 2= 9256 。 即 |BC|2 |AC|2+|AB|2，即 92563 349283428 22 ?????? yyyy ， 即 y 392 時(shí)，∠ CAB 為鈍角。 第 9 頁(yè) 共 25 頁(yè) 又 |AB|2|AC|2+|BC|2，即 22 34283349289256 yyyy ?????? ， 即 0)32(,034334 22 ????? yyy。 因 此 ， 當(dāng)△ ABC 為 鈍 角三 角 形時(shí) ， 點(diǎn) C 的縱 坐 標(biāo) y 的 取 值范 圍 是)32(9 323 310 ???? yyy 或 。 圓心（ 332,35 ? ）到直線 l： x=－ 1 的距離為 38 ， 所以，以 AB 為直徑的圓與直線 l 相切于點(diǎn) G（－ 1，－ 332 ）。 因此，要使△ ABC 為鈍角三角形，只可能是∠ CAB 或∠ CBA 為鈍角。 令 x=－ 1 得 y= 932 。 令 x=－ 1 得 y=－ 3310 。 因此，當(dāng)△ ABC 為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn) C 的縱坐標(biāo) y 的取值范圍是 y－ 3310 或y 932 （ y≠ 2 3 ）。比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想 .該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查 .對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。 分析：如果設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ?，將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即可確定出三個(gè)獨(dú)立參數(shù) a， b， r，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果注意到△ ABC 外接圓的圓心是△ ABC 三邊垂直平分線的交點(diǎn)，由此可求圓心坐標(biāo)和半徑，也可以寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解法二：因?yàn)椤?ABC 外接圓的圓心既在 AB 的垂直平分線上，也在 BC 的垂直平分線上，所以先求 AB、 BC 的垂直平分線方程，求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。 故△ ABC 外接圓的方程是 22( 1) ( 3) 25xy? ? ? ?． 點(diǎn)評(píng)：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)。 分析：細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例 1 是相同的，在那里我們用了兩種方法求圓的方程．現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解（解法三），可以比較一下哪種方法簡(jiǎn)捷。 所以，圓的方程是 22 2 6 15 0x y x y? ? ? ? ?。 點(diǎn)評(píng)：“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法 ． 一般地，在選用圓的方程形式時(shí)，若問(wèn)題涉及圓心和半徑，則選用標(biāo)準(zhǔn)方程比較方便，否則選用一般方程方便些。 （ 1）當(dāng)且僅當(dāng) m 在 什么范圍內(nèi)，該方程表示一個(gè)圓。 解析： （ 1）由 x y m x m y m2 2 2 42 3 2 1 4 16 9 0? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( )， ， ExyOCBA 圖 4－ 1 第 12 頁(yè) 共 25 頁(yè) ?當(dāng)且僅當(dāng) 1 6 7 02? ? ?m m 時(shí)， 即 m m|? ? ???? ???17 1時(shí)，給定的方程表示一個(gè)圓。 消去參數(shù) m ? ? ? ?y x4 3 12( )， ? ? ? ? ? ?y x x4 3 1 207 42( ) ( )為所求圓心軌跡方程。 題型 5：圓的綜合問(wèn)題 例 9． 如圖 2，在平面直角坐標(biāo)系中，給定 y 軸正半軸上兩點(diǎn) A（ 0， a）， B（ 0， b）（ a b? ?0 ），試在 x 軸正半軸上求一點(diǎn) C，使∠ ACB 取得最大值。 其中 R 是△ ABC 的外接圓的半徑。 在過(guò) A、 B 兩定點(diǎn)且與 x 軸正向有交點(diǎn) C 的諸圓 中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) C 是圓與 x 軸的切點(diǎn)時(shí)，半徑最小。 由切割線定理，得： OC OA OB ab2 ? ?178。 點(diǎn)評(píng)：圓是最簡(jiǎn)單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。 例 10．已知⊙ O′過(guò)定點(diǎn) A(0， p)(p0)，圓心 O′在拋 物線 x2=2py 上運(yùn)動(dòng)， MN 為圓 O′截 x 軸所得的弦，令 |AM|=d1， |AN|=d2， ∠ MAN=θ。 解析：設(shè) O′ (x0， y0)，則 x02=2py0 (y0≥ 0)，⊙ O′的半徑 |O′ A|= 2020 )( pyx ?? ，⊙ O′的方程為 (xx0)2+(yy0)2=x02+(y0p)2。 （ 2）∵ M(x0p， 0) ， N(x0+p， 0) ∴ d1= 202 )( pxp ??， d2= 202 )( pxp ??，則 d12+d22=4p2+2x02 ，d1d2= 4044 xp ?， ∴12dd +21dd =212122dd dd ?=404202424xpxp?? =240422024)2(xpxp?? =2404202441xpxp??≤22022022241xpxp??=2 2 。 2 p， y0=p 時(shí)等號(hào)成立，∴21dd +12dd 的最大值為 2 2 。則θ =21∠ MO′ N=45176。 五．思維總結(jié) 抓好“三基”，把握重點(diǎn)，重視低、中檔題的復(fù)習(xí)，確保選擇題的成功率。 在解答有關(guān)直線的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)特別注意的幾個(gè)方面： （ 1）在確定直線的斜率、傾斜角時(shí)，首先要注意斜率存在的條件，其次要注意傾角的范圍； （ 2）在利用直線的截距式解題時(shí)，要注意防止由于“零截距”造成丟解的情況 .如題目條件中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一 坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的 m 倍（ m＞ 0）”等時(shí)，采用截距式就會(huì)出現(xiàn)“零截距”，從而丟解 .此時(shí)最好采用點(diǎn)斜式或斜截式求解； （ 3）在利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式解題時(shí)，要注意防止由于“無(wú)斜率”，從而造成丟解 .如在求過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)或討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，或討論兩直線的平行、垂直的位置關(guān)系時(shí)，一般要分直線有無(wú)斜率兩種情況進(jìn)行討論； （ 4） 首先 將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；處理代數(shù)問(wèn)題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問(wèn)題。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 12） — 空間中的夾角和距離 一．課標(biāo)要求： 1． 掌握兩條直線所成的角和距離的概念 及等角定理； （對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離）。隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施 ,立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考 ,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展，從歷年的考題變化看 , 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是常考常新的熱門(mén)話題。 三．要點(diǎn)精講 1．距離 空間中的距離是 立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。 求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。 （ 2）點(diǎn)到平面的距離 平面外一點(diǎn) P 在該平面上的射影為 P′，則線段 PP′的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離；求法： ○ 1 “一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。 （ 3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； （ 4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線 a 、 b 所成的角為 ，它們的公垂線 AA′的長(zhǎng)度為 d ，在 a 上有線段 A′ E ＝m ， b 上有線段 AF ＝ n ，那么 EF ＝ ?c o s2222 mnnmd ??? （“177。 90176。 90176。 180176。 （ 1）兩條異面直線所成的角 求法： ○ 1 先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得； ○ 2 通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是 ]2,0( ? ，向量所成的角范圍是