【導(dǎo)讀】1．（北京7）．已知等差數(shù)列??3．（寧夏8）設(shè)等比數(shù)列??na的公比q=2，前n項和為Sn，則。4．（江西5）在數(shù)列{}na中，12a?5．已知等比數(shù)列{}na滿足122336aaaa????6．（福建3）設(shè){}na是等差數(shù)列，若273,13aa??的無窮等比數(shù)列，且??na是等比數(shù)列，412. ，則該數(shù)列前10項和10S等。按照以上排列的規(guī)律，第n行（3?n）從左向右的第3個數(shù)為262nn??其中,ac為實數(shù)，且0c?nb的前n項和nS；na的通項公式為11nnaac????的函數(shù)圖象知，當(dāng)n趨于無窮大時，1nc?恒成立，導(dǎo)致矛盾。,ac∵為常數(shù)，∴（＊）式對*nN?na是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當(dāng)nm?解：（Ⅰ）由于21()nnannan??????，，，根據(jù)題意可知，10b?N，滿足：當(dāng)0nn≥時，0nb?可知，若0n為偶數(shù)，則。因此“存在*m?N，當(dāng)nm?時總有0na?”已知｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點（1,nnaa?N*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上.

　　

【正文】 ? ? ? ? ? ?211 1 2 2 1 12 2 2 2 2 2nnn n n n na a a a a a a a??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 112nn ?? ? ? 14． (天津 20)（本小題滿分 12 分） 已知 數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ， 2 2a? ，且 11(1 )n n na q a qa??? ? ?( 2 0)nq?≥ ， ． （ Ⅰ ）設(shè) 1 ()n n nb a a n?? ? ? *N，證明 ??nb 是等比數(shù)列； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ Ⅲ ）若 3a 是 6a 與 9a 的等差中項，求 q 的值，并證明：對任意的 n?*N ， na 是 3na? 與 6na?的等差中項． （ Ⅰ ）證明：由題設(shè) 11(1 ) ( 2)n n na q a qa n??? ? ? ≥，得 11()n n n na a q a a??? ? ?， 即 1 2nnb qb n?? ， ≥ ． 又 1 2 1 1b a a? ? ? ， 0q? ，所以 ??nb 是首項為 1，公比為 q 的等比數(shù)列． （ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）， 211aa??， 32a a q??， ? ? 21 ( 2 )nnna a q n???? ≥． 將以上各式相加，得 21 1 ( 2 )nna a q q n?? ? ? ? ?… ≥．所以當(dāng) 2n≥ 時， 111111.nnq qa qnq?? ????? ??? ??， ， 上式對 1n? 顯然成立． （ Ⅲ ）解：由（ Ⅱ ），當(dāng) 1q? 時，顯然 3a 不是 6a 與 9a 的等差中項，故 1q? ． 由 3 6 9 3a a a a? ? ? 可得 5 2 2 8q q q q???，由 0q? 得 用心 愛心 專心 3611qq??? ， ① 整理得 3 2 3( ) 2 0qq? ? ?，解得 3 2q ?? 或 3 1q? （舍去） ． 于是 3 2q?? ． 另一方面， 2 1 1 33 ( 1 )11n n nnn q q qa a qqq? ? ?? ?? ? ? ???， 1 5 1 66 (1 )11n n nnn q q qa a qqq? ? ?? ?? ? ? ???． 由 ① 可得 36n n n na a a a n??? ? ? ? *N，． 所以對任意的 n?*N ， na 是 3na? 與 6na? 的等差中項 ． 15．（浙江 18）（本題 14 分）已知數(shù)列 ??nx 的首項 1 3x? ，通項 2nnx p nq??（ ,n N p q??為常數(shù)），且 1 4 5,x x x 成等差數(shù)列，求： （Ⅰ） ,pq的值； （Ⅱ）數(shù)列 ??nx 的前 n 項的和 nS 的公式。 （ Ⅰ ）解：由 1 3x? ，得 23pq?? ， 又 44 24x p q??， 55 25x p q??，且 1 5 42x x x?? ，得 553 2 5 2 8p q p q? ? ? ?， 解得 1p? ， 1q? ． （ Ⅱ ） 解： 2( 2 2 2 ) (1 2 )nnSn? ? ? ? ? ? ? ? 1 ( 1)22 2n nn? ?? ? ? ． 16． （重慶 22）（本小題滿分 12 分，（Ⅰ）小問 6 分 .（Ⅱ）小問 6 分） 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列 {an}滿足 321 1 22 , ( N * )n n na a a a n??? ? ?. （Ⅰ）若2 1,4a?求 a3,a4,并猜想 a2020的值（不需證明） 。 （Ⅱ）若 122 2 4na a a? 對 n≥ 2 恒成立，求 a2的值 . 用心 愛心 專心 解：（ I）因 a1=2,a2=22,故 由此有 a1=2(2)0, a2=2(2)4, a3=2(2)2, a4=2(2)3, 從而猜想 an的通項為 *)N(2 1)2( ?? ?? na nn , 所以 a2xn= xn2)2(2? . (Ⅱ )令 xn= a2=2x2,故只需求 x2的值。 設(shè) Sn 表示 x2 的前 n 項和，則 a1a2? an= ns2 ,由 2 2 ≤ a1a2? an＜ 4 得 32 ≤ Sn＝ x1+x2+? +xn＜ 2(n≥ 2). 因上式對 n=2 成立，可得 32 ≤ x1+x2，又由 a1=2,得 x1＝ 1,故 x2≥ 21 . 由于 a1=2， 232 1 ??? nnn aaa (n∈ N*),得2123 ?? ?? nnn xxx(n∈ N*),即 )2(2121)23(2 111212 nnnnnnn xxxxxxx ?????? ?????? ， 因此數(shù)列｛ xn+1+2xn｝是首項為 x2+2,公比為 21 的等比數(shù)列，故 xn+1+2xn=(x2+2)121?n (n∈ N*). 將上式對 n 求和得 Sn+1－ x1+2Sn=(x2+2)(1+21 +? +121?n)=(x2+2)(2－121?n)（ n≥ 2） . 因 Sn＜ 2， Sn+1＜ 2（ n≥ 2）且 x1=1,故 (x2+2)(2－121?n)＜ 5（ n≥ 2） . 因此 2x2－ 1＜122 2??nx（ n≥ 2） . 下證 x2≤ 21 ，若淆，假設(shè) x2＞ 21 ，則由上式知，不等式 2n－ 1＜12 222 ??xx 對 n≥ 2 恒成立，但這是不可能的，因此 x2≤ 21 . 又 x2≥ 21 ，故 z2=21 ，所以 a2=2 2z = 2 . 17． (湖北 21).（本小題滿分 14 分） 用心 愛心 專心 已知數(shù)列1 2{ } { } , 1 3n n xa b a a n a?? ? ?和 滿 足 ： 4 , ( 1 ) ( 3 2 1 )nn n nn b a n? ? ? ? ? ?,其中 ? 為實數(shù)， n 為正整數(shù) . （Ⅰ）證明：當(dāng) 18 { }nb? ?? 時 ， 數(shù) 列 是 等 比 數(shù) 列 ； （Ⅱ）設(shè) nS 為數(shù)列 {}nb 的前 n 項和，是否存在實數(shù) ? ，使得對任意正整數(shù) n，都有 12?nS ?? 若存在，求 ? 的取值范圍；若不存在，說明理由 . (Ⅰ )證明：假設(shè)存在一個實數(shù) ?，使｛ an｝是等比數(shù)列，則有 2122 aaa ? ,即 （ 2 33?? ） 2= 44499? ? ?????????2 244 9 4 9 0 ,9? ? ?? ? ? ? ? ?矛盾 . 所以｛ an｝不是等比數(shù)列 . （Ⅱ）證明：∵ 1111 2( 1 ) [ 3 { 1 } 2 1 ] ( 1 ) ( 2 1 4 )3nnn a nb a n a n????? ? ? ? ? ? ? ? ? 22( 1 ) , ( 3 2 1 ) .33nna n b? ? ? ? ? ? ? 又 118 , ( 18 ) ??? ? ? ? ? ? ?由上式知 1 20 , ( ) ,3 nnn nbb n Nb ?? ? ? ? ? 故當(dāng) 18,??? 時 ， 數(shù)列｛ bn｝是以 ??（ +18） 為首項， 23? 為公比的等比數(shù)列 . （Ⅲ）當(dāng) 18???時 ， 由（Ⅱ）得 12( 1 8 ) ( ) ,3 nnb ? ?? ? ? ?于是 32( 1 8 ) [1 ( ) ] ,53 nnS ?? ? ? ? ? 當(dāng) 18??? 時， 0nb? ，從而 ? 上式仍成立 . 要使對任意正整數(shù) n , 都有 ?? 即 3 2 2 0( 1 8 ) [ 1 ( ) ] 1 2 1 8 .253 1 ( )3n n??? ? ? ? ? ? ??? 令 2( ) 1 ( ) ,3 nfn ? ? ? 則 當(dāng) n 為正奇數(shù)時， 51 ( ) :3fn??當(dāng) n 為正偶數(shù)時， 5 ( ) 1,9 fn?? 5( ) (1 ) .3f n f??的 最 大 值 為 于是可得 32 0 1 8 6 .5? ? ? ? ? ? 用心 愛心 專心 綜上所述，存在實數(shù) ? ，使得對任意正整數(shù) n ，都有 12。nS ?? ? 的取值范圍為 ( , 6).??? 18． (陜西 20)（本小題滿分 12 分） 已知數(shù)列 {}na 的首項1 23a?，1 2 1nn naa a? ? ?， 1,2,3,n? ?． （Ⅰ）證明：數(shù)列 1{ 1}na?是等比數(shù)列； （Ⅱ）數(shù)列 {}nna 的前 n 項和 nS ． 解：（Ⅰ） 1 2 1nn naa a? ? ?， ? 111 1 1 12 2 2nn n naa a a??? ? ? ?， ? 11 1 11 ( 1)2nnaa? ? ? ?，又1 23a?， ?1111 2a ?? ， ?數(shù)列 1{ 1}na?是以為 12 首項， 12 為公比的等比數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111 1 1 11 2 2 2nnna ?? ? ? ? ?，即 1112nna ??， ?2nnnnna ??． 設(shè)231 2 32 2 2nT ? ? ? ?? 2nn， ① 則231 1 22 2 2nT ? ? ??1122nn????，② 由① ? ②得 21 1 12 2 2nT ? ? ??1 1 111( 1 )1122 112 2 2 2 212nn n n n nn n n? ? ??? ? ? ? ? ? ??， ?112 22n nnnT ?? ? ?．又 1 2 3? ? ? ? ( 1)2nnn ??? ． ?數(shù)列 {}nna 的前 n 項和 22 ( 1 ) 4 22 2 2 2 2n nnn n n n n nS ? ? ? ? ?? ? ? ? ?．