【正文】 na c a c a c a a c????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 用心 愛心 專心 1( 1) 1nna a c ?? ? ?∴ 1n? 時， 1aa? 也滿足上式。 。 按照以上排列的規(guī)律，第 n 行（ 3?n ）從左向右的第 3 個數(shù)為 2 62nn?? 4． （四川 16）設(shè)數(shù)列 ??na 中， 112 , 1nna a a n?? ? ? ?， 則通項 na? ______ ? ?1 12nn? ? _____。下面證 1c? ，用反證法 方法一：假設(shè) 1c? ，由函數(shù) ()xf x c? 的函數(shù)圖象知，當(dāng) n 趨于無窮大時， 1nc? 趨于無窮大 1 11n a? ? ?∴ c 不能對 *nN? 恒成立，導(dǎo)致矛盾。 bn+12n (或者說：當(dāng) n≥ 6 時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續(xù)的三項 ) 綜上所述， 4n? 。10 分 從而有 118 16 424n nn nc????． 所以數(shù)列 nc 的前 n 項和為 2 44 4 4 ( 4 1 )3nn? ? ? ? ?… ． 12 3 , 12 4 4 1 。 設(shè) Sn 表示 x2 的前 n 項和，則 a1a2? an= ns2 ,由 2 2 ≤ a1a2? an＜ 4 得 32 ≤ Sn＝ x1+x2+? +xn＜ 2(n≥ 2). 因上式對 n=2 成立，可得 32 ≤ x1+x2，又由 a1=2,得 x1＝ 1,故 x2≥ 21 . 由于 a1=2， 232 1 ??? nnn aaa (n∈ N*),得2123 ?? ?? nnn xxx(n∈ N*),即 )2(2121)23(2 111212 nnnnnnn xxxxxxx ?????? ?????? ， 因此數(shù)列｛ xn+1+2xn｝是首項為 x2+2,公比為 21 的等比數(shù)列，故 xn+1+2xn=(x2+2)121?n (n∈ N*). 將上式對 n 求和得 Sn+1－ x1+2Sn=(x2+2)(1+21 +? +121?n)=(x2+2)(2－121?n)（ n≥ 2） . 因 Sn＜ 2， Sn+1＜ 2（ n≥ 2）且 x1=1,故 (x2+2)(2－121?n)＜ 5（ n≥ 2） . 因此 2x2－ 1＜122 2??nx（ n≥ 2） . 下證 x2≤ 21 ，若淆，假設(shè) x2＞ 21 ，則由上式知，不等式 2n－ 1＜12 222 ??xx 對 n≥ 2 恒成立，但這是不可能的，因此 x2≤ 21 . 又 x2≥ 21 ，故 z2=21 ，所以 a2=2 2z = 2 . 17． (湖北 21).（本小題滿分 14 分） 用心 愛心 專心 已知數(shù)列1 2{ } { } , 1 3n n xa b a a n a?? ? ?和 滿 足 ： 4 , ( 1 ) ( 3 2 1 )nn n nn b a n? ? ? ? ? ?,其中 ? 為實數(shù)， n 為正整數(shù) . （Ⅰ）證明：當(dāng) 18 { }nb? ?? 時 ， 數(shù) 列 是 等 比 數(shù) 列 ； （Ⅱ）設(shè) nS 為數(shù)列 {}nb 的前 n 項和，是否存在實數(shù) ? ，使得對任意正整數(shù) n，都有 12?nS ?? 若存在，求 ? 的取值范圍；若不存在，說明理由 . (Ⅰ )證明：假設(shè)存在一個實數(shù) ?，使｛ an｝是等比數(shù)列，則有 2122 aaa ? ,即 （ 2 33?? ） 2= 44499? ? ?????????2 244 9 4 9 0 ,9? ? ?? ? ? ? ? ?矛盾 . 所以｛ an｝不是等比數(shù)列 . （Ⅱ）證明：∵ 1111 2( 1 ) [ 3 { 1 } 2 1 ] ( 1 ) ( 2 1 4 )3nnn a nb a n a n????? ? ? ? ? ? ? ? ? 22( 1 ) , ( 3 2 1 ) .33nna n b? ? ? ? ? ? ? 又 118 , ( 18 ) ??? ? ? ? ? ? ?由上式知 1 20 , ( ) ,3 nnn nbb n Nb ?? ? ? ? ? 故當(dāng) 18,??? 時 ， 數(shù)列｛ bn｝是以 ??（ +18） 為首項， 23? 為公比的等比數(shù)列 . （Ⅲ）當(dāng) 18???時 ， 由（Ⅱ）得 12( 1 8 ) ( ) ,3 nnb ? ?? ? ? ?于是 32( 1 8 ) [1 ( ) ] ,53 nnS ?? ? ? ? ? 當(dāng) 18??? 時， 0nb? ，從而 ? 上式仍成立 . 要使對任意正整數(shù) n , 都有 ?? 即 3 2 2 0( 1 8 ) [ 1 ( ) ] 1 2 1 8 .253 1 ( )3n n??? ? ? ? ? ? ??? 令 2( ) 1 ( ) ,3 nfn ? ? ? 則 當(dāng) n 為正奇數(shù)時， 51 ( ) :3fn??當(dāng) n 為正偶數(shù)時， 5 ( ) 1,9 fn?? 5( ) (1 ) .3f n f??的 最 大 值 為 于是可得 32 0 1 8 6 .5? ? ? ? ? ? 用心 愛心 專心 綜上所述，存在實數(shù) ? ，使得對任意正整數(shù) n ，都有 12。mnnnnT m mn m m T mn m m T m rnn m m T m rn m m T m rn m m T m? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?當(dāng) 時 ，當(dāng) 時 ，當(dāng) 時 ，當(dāng) 時 ，當(dāng) 時 ， 1 2 1 1 , 1 2 1 2 , 4 4 .nn m m T m? ? ? ? ? ?當(dāng) 時……………………… ..13 分 ∵ 4m+1 是奇數(shù)， 4 1 , 4 , 4 4m r m r m? ? ? ? ? ? ?均為負(fù)數(shù)， ∴ 這些項均不可能取到 100. ……………………… ..15 分 此時， 293 294 297 298, , ,T T T T為 100. ………………………… 18 分 13． （四川 21）（本小題滿分 12 分） 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 22nnnSa??， （ Ⅰ ）求 14,aa （ Ⅱ ）證明： ? ?1 2 nnaa? ? 是等比數(shù)列； （ Ⅲ ）求 ??na 的通項公式 【解】： （ Ⅰ ） 因為 1 1 1 1, 2 2a S a S? ? ?，所以 112, 2aS?? 由 22nnnaS??知 11122nnnaS ????? 11 2nnnaS ??? ? ? 得 12nnnaS ??? ① 所以 222 1 22 2 2 6 , 8a S S? ? ? ? ? ? 333 2 22 8 2 1 6 , 2 4a S S? ? ? ? ? ? 4432 40aS? ? ? （ Ⅱ ）由題設(shè)和 ① 式知 ? ? ? ?11 2 2 2nnn n n na a S S?? ? ? ? ? ? 122nn??? 2n? 用心 愛心 專心 所以 ? ?1 2 nnaa? ? 是首項為 2，公比為 2 的等比數(shù)列。 3 分 由 3 6 10a a a， ， 成等比數(shù)列得 23 10 6aa a? ， 即 2(10 ) (10 6 ) (10 2 )d d d? ? ? ?， 整理得 210 10 0dd??， 解得 0d? 或 1d? ． 例如 n 項數(shù)列 1， 12? ， 1 22? ，??， 1 ( 1) 2n?? 滿足要求。 若刪去 2a ，則 23 1 4a a a?? ，即 21 1 1( 2 ) ( 3 )a d a a d? ? ? ?化簡得 1 40ad??，得 1 4ad ?? 當(dāng) n 為奇數(shù)時 當(dāng) n 為偶數(shù)時 用心 愛心 專心 若刪去 3a ，則 22 1 4a a a?? ，即 21 1 1( ) ( 3 )a d a a d? ? ? ?化簡得 1 0ad?? ，得 1 1ad? 綜上，得 1 4ad?? 或 1 1ad? 。 2n =2n＜ 0, 所以 bn ∴ 數(shù)列 ??na 的通項公式為 1( 1) 1nna a c ?? ? ? *()nN? 。 。 三、解答題 1． （安徽 21） （本小題滿分 12 分） 設(shè)數(shù)列 ??na 滿足 *01, 1 , ,nna a a c a c c N?? ? ? ? ?其中 ,ac為實數(shù)，且 0c? （ Ⅰ ）求 數(shù)列 ??na 的通項公式 （ Ⅱ ）設(shè) 11,22ac??， *(1 ),nnb n a n N? ? ?,求 數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nS ； （ Ⅲ ）若 01na??對任意 *nN? 成立，證明 01c?? 解 (1) 方法一 ： 1 1 ( 1)nna c a? ? ? ?∵ ∴ 當(dāng) 1a? 時， ? ?1na? 是首項為 1a?