08高考試題分類----數(shù)列(已改無錯(cuò)字)
2022-10-04 14:41:34 本頁面
【正文】 6 10 6a a d d? ? ? ?． 3 分 由 3 6 10a a a， ， 成等比數(shù)列得 23 10 6aa a? ， 即 2(10 ) (10 6 ) (10 2 )d d d? ? ? ?， 整理得 210 10 0dd??， 解得 0d? 或 1d? ． 7 分 當(dāng) 0d? 時(shí)， 20 420 200Sa??． 9 分 當(dāng) 1d? 時(shí)， 14 3 10 3 1 7a a d? ? ? ? ? ?， 于是2 0 1 2 0 1 920 2S a d??? 20 7 190 330? ? ? ?． 12 分 11． (山東 20)（本小題滿分 12 分） 將數(shù)列 ??na 中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 記表中的第一列數(shù) 1 2 4 7a a a a， ， ， ，構(gòu)成的數(shù)列為 ??nb ， 111ba??． nS 為數(shù)列 ??nb 的前n 項(xiàng)和，且滿足22 1( 2 )nn n nb nb S S ?? ≥． 用心 愛心 專心 （ Ⅰ ）證明數(shù)列 1nS??????成等差數(shù)列，并求數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)81 491a ??時(shí)，求上表中第 ( 3)kk≥ 行所有項(xiàng)的和． （ Ⅰ ）證明：由已知，當(dāng) 2n≥ 時(shí)，22 1nn n nbb S S ??， 又 12nnS b b b? ? ? ?， 所以 1212 ( ) 1()nnn n n nSSS S S S??? ???， 即 112( ) 1nnnnSSSS??? ?? ， 所以11 1 12nnSS???， 又 1 1 1 1S b a? ? ? ． 所以數(shù)列 1nS??????是首項(xiàng)為 1，公差為 12 的等差數(shù)列． 由上可知 1 1 11 ( 1)22n nnS ?? ? ? ?， 即 21nS n? ?． 所以當(dāng) 2n≥ 時(shí)，1 2 2 21 ( 1 )n n nb S S n n n n?? ? ? ? ? ???． 因此 1122( 1)nnb nnn???? ?????， ， ．≥ （ Ⅱ ）解：設(shè)上表中從第三行起，每 行的公比都為 q ，且 0q? ． 因?yàn)?1 2 1 31 2 1 2 7 82?? ? ? ? ?， 所以表中第 1 行至第 12 行共含有數(shù)列 ??na 的前 78 項(xiàng)， 故 81a 在表中第 13 行第三列， 用心 愛心 專心 因此 281 13 491a b q? ? ?． 又13 213 14b ?? ?， 所以 2q? ． 記表中第 ( 3)kk≥ 行所有項(xiàng)的和為 S ， 則 ( 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) ( 3 )1 ( 1 ) 1 2 ( 1 )k k kkbqSkq k k k k? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ≥． 12． （上海 21）（本題滿分 18分）本題共有 3 個(gè)小題，第 1小題滿分４分，第 2 小題滿分６分，第 3 小題滿分 8 分． 已知數(shù)列 ??na ： 1 1a? ， 2 2a? ， 3ar? ， 3 2nnaa? ??（ n 是正整數(shù)），與數(shù)列 ??nb ： 1 1b? ， 2 0b? ， 3 1b?? ， 4 0b? ， 4nnbb? ? （ n 是正整數(shù)）． 記 1 1 2 2 3 3n n nT b a b a b a b a? ? ? ? ?． （ 1）若 1 2 3 12 64a a a a? ? ? ? ?，求 r 的值； （ 2）求證：當(dāng) n 是正整數(shù)時(shí)， 12 4nTn?? ； （ 3）已知 0r? ，且存在正整數(shù) m ，使得在 12 1mT ? ， 12 2mT ? ， ， 12 12mT ? 中有 4 項(xiàng)為 100．求r 的值，并指出哪 4 項(xiàng)為 100． 【解】（ 1） ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2...1 2 3 4 2 5 6 4 7 8 6a a a ar r r r? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 48 ?? ……………… ..2 分 ∵ 48 4 64, ? ? ? ? ……………… ..4 分 【證明】（ 2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 12, 4 .nn Z T n?? ? ?時(shí) ① 當(dāng) n=1 時(shí)， 1 2 1 3 5 7 9 1 1 4,T a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?等式成立 … .6 分 ② 假設(shè) n=k 時(shí)等式成立，即 12 4,kTk?? 那么當(dāng) 1nk??時(shí)， ? ? 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 5 1 2 7 1 2 9 1 2 1 11 2 1 k k k k k k kkT T a a a a a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?……… 8 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 8 1 8 8 4 8 5 8 4 8 8k k k r k k k r k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 4 4 1 ,kk? ? ? ? ? ?等式也成立 . 用心 愛心 專心 根據(jù)①和②可以斷定：當(dāng) 12, 4 .nn Z T n?? ? ?時(shí) ………………… ...10 分 【解】（ 3） ? ?12 4 1 .12 1 , 12 2 4 1 。12 3 , 12 4 4 1 。12 5 , 12 6 4 5 。12 7, 12 8 4 。12 9 , 12 10 4 4 。mnnnnT m mn m m T mn m m T m rnn m m T m rn m m T m rn m m T m? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ， 1 2 1 1 , 1 2 1 2 , 4 4 .nn m m T m? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí)……………………… ..13 分 ∵ 4m+1 是奇數(shù)， 4 1 , 4 , 4 4m r m r m? ? ? ? ? ? ?均為負(fù)數(shù)， ∴ 這些項(xiàng)均不可能取到 100. ……………………… ..15 分 此時(shí)， 293 294 297 298, , ,T T T T為 100. ………………………… 18 分 13． （四川 21）（本小題滿分 12 分） 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 22nnnSa??， （ Ⅰ ）求 14,aa （ Ⅱ ）證明： ? ?1 2 nnaa? ? 是等比數(shù)列； （ Ⅲ ）求 ??na 的通項(xiàng)公式 【解】： （ Ⅰ ） 因?yàn)?1 1 1 1, 2 2a S a S? ? ?，所以 112, 2aS?? 由 22nnnaS??知 11122nnnaS ????? 11 2nnnaS ??? ? ? 得 12nnnaS ??? ① 所以 222 1 22 2 2 6 , 8a S S? ? ? ? ? ? 333 2 22 8 2 1 6 , 2 4a S S? ? ? ? ? ? 4432 40aS? ? ? （ Ⅱ ）由題設(shè)和 ① 式知 ? ? ? ?11 2 2 2nnn n n na a S S?? ? ? ? ? ? 122nn??? 2n? 用心 愛心 專心 所以 ? ?1 2 nnaa? ? 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列。 （ Ⅲ ）
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