【正文】 ，公比為 c 的等比數(shù)列。 1c?∴ 。 +2+1 ＝ 2121??n =2n1. 因?yàn)?bn 2n+1 ＝ 2n（ bn+12n+1） =2n（ bn+2n2n+1） =2n（ bn2n） =? =2n（ b12） =2n〈 0， 所以 bnbn+2b2n+1 4． （廣東 21） （本小題滿分 14 分） 設(shè)數(shù)列 {an}滿足 a1=1,a2=2,an=13 (an1+2an2)(n=3,4,? )，數(shù)列 {bn}滿足 b1=1,bn(n=2,3,? )是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù) m 和自然數(shù) k，都有 1? bm+bm+1+? +bm+1? 1. （ 1） 求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項(xiàng)公式； (2) 記 =nanbn(n=1,2,? )，求數(shù)列 {}的前 n 項(xiàng)和 Sn. 用心 愛心 專心 解：（ 1）由121 ()3n n na a a????得 1 1 22 ()3n n n na a a a? ? ?? ? ? ? ( 3)n? 又 2110aa? ? ? ， ?數(shù)列 ? ?1nnaa? ? 是首項(xiàng)為 1 公比為 23? 的等比數(shù)列， 11 23nnnaa?? ??? ? ????? 1 2 1 3 2 4 3 1( ) ( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 222 2 2113 3 3n ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?11218 3 2312 5 5 313nn????????????? ? ? ? ??????， 由 122221111,0bbbb Z b? ? ? ???? ? ?????? 得 2 1b?? ，由 233331111,0bbbb Z b? ? ? ???? ? ?????? 得 31b? ，? 同理可得 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 1nb?? ；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， 1nb? ； 因此 11nb ???? （ 2）118 3 25 5 38 3 25 5 3nn n n nnnc na bnn??? ??????? ? ??? ?????? ?????? 1 2 3 4nnS c c c c c? ? ? ? ? ? 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， 0 1 2 3 18 8 8 8 8( 2 3 4 )5 5 5 5 53 2 2 2 2 21 2 3 45 3 3 3 3 3nnSnn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 用心 愛心 專心 ? ? 0 1 2 3 141 3 2 2 2 2 21 2 3 45 5 3 3 3 3 3 nn n ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 0 1 2 3 18 8 8 8 8( 2 3 4 )5 5 5 5 53 2 2 2 2 21 2 3 45 3 3 3 3 3nnSnn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0 1 2 3 14 3 2 2 2 2 21 2 3 45 5 3 3 3 3 3nn n ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 令 0 1 2 3 12 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3 3nnTn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??① ① 23 得 : 1 2 3 42 2 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3 3 3 nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??② ① ②得 : 1 2 3 4 11 2 2 2 2 2 213 3 3 3 3 3 3nnnTn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21223 332 3313nnnnn??? ??? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 29 9 33nnTn??? ? ? ???? 因此? ?? ?934 23 25 5 3934 27 25 5 3nn nnnSnn? ?? ???? ??? ? ?? ??? ??? ????? ??? 5． （江蘇 19）（ 16 分） （ 1）設(shè) naaa ,......, 21 是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（ 4?n ），且公差 0?d ，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得 到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列： ① 當(dāng) 4?n 時(shí)，求 da1 的數(shù)值； ② 求 n 的所有可能值； （ 2）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù) )4( ?nn ，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列nbbb ,......, 21 ，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)順序）都不能組成等比數(shù)列。 （ 2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù) n，存在一個(gè)公差為 d 的 n 項(xiàng)等差數(shù)列 nbbb ,......, 21 ，其中1 1 1,x y zb b b? ? ? （ 01x y z n? ? ? ? ?）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則 2 1 1 1y x zb b b? ? ???，即21 1 1( ) ( ) ( )b y d b x d b z d? ? ? ? ?，化簡(jiǎn)得 22 1( ) ( 2 )y x z d x z y b d? ? ? ? （ *） 由 1 0bd? 知， 2y xz? 與 2x z y?? 同時(shí)為 0 或同時(shí)不為 0 當(dāng) 2y xz? 與 2x z y?? 同時(shí)為 0 時(shí)，有 x y z??與題設(shè)矛盾。 2 分 證明：設(shè) na 的公比為 11( 0)qq? ， nb 的公比為 22( 0)qq? ，則 1 1 1 21 1 1 0n n n n nn n n n nc b a b a qc a b b a q? ? ???? ? ? ?，故 nc 為等比數(shù)列． 12 5 , 12 6 4 5 。nS ?? ? 的取值范圍為 ( , 6).??? 18． (陜西 20)（本小題滿分 12 分） 已知數(shù)列 {}na 的首項(xiàng)1 23a?，1 2 1nn naa a? ? ?， 1,2,3,n? ?． （Ⅰ）證明：數(shù)列 1{ 1}na?是等比數(shù)列； （Ⅱ）數(shù)列 {}nna 的前 n 項(xiàng)和 nS ． 解：（Ⅰ） 1 2 1nn naa a? ? ?， ? 111 1 1 12 2 2nn n naa a a??? ? ? ?， ? 11 1 11 ( 1)2nnaa? ? ? ?，又1 23a?， ?1111 2a ?? ， ?數(shù)列 1{ 1}na?是以為 12 首項(xiàng)， 12 為公比的等比數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111 1 1 11 2 2 2nnna ?? ? ? ? ?，即 1112nna ??， ?2nnnnna ??． 設(shè)231 2 32 2 2nT ? ? ? ?? 2nn， ① 則231 1 22 2 2nT ? ? ??1122nn????，② 由① ? ②得 21 1 12 2 2nT ? ? ??1 1 111( 1 )1122 112 2 2 2 212nn n n n nn n n? ? ??? ? ? ? ? ? ??， ?112 22n nnnT ?? ? ?．又 1 2 3? ? ? ? ( 1)2nnn ???