【正文】 因此 281 13 491a b q? ? ?． 又13 213 14b ?? ?， 所以 2q? ． 記表中第 ( 3)kk≥ 行所有項的和為 S ， 則 ( 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) ( 3 )1 ( 1 ) 1 2 ( 1 )k k kkbqSkq k k k k? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ≥． 12． （上海 21）（本題滿分 18分）本題共有 3 個小題，第 1小題滿分４分，第 2 小題滿分６分，第 3 小題滿分 8 分． 已知數(shù)列 ??na ： 1 1a? ， 2 2a? ， 3ar? ， 3 2nnaa? ??（ n 是正整數(shù)），與數(shù)列 ??nb ： 1 1b? ， 2 0b? ， 3 1b?? ， 4 0b? ， 4nnbb? ? （ n 是正整數(shù)）． 記 1 1 2 2 3 3n n nT b a b a b a b a? ? ? ? ?． （ 1）若 1 2 3 12 64a a a a? ? ? ? ?，求 r 的值； （ 2）求證：當(dāng) n 是正整數(shù)時， 12 4nTn?? ； （ 3）已知 0r? ，且存在正整數(shù) m ，使得在 12 1mT ? ， 12 2mT ? ， ， 12 12mT ? 中有 4 項為 100．求r 的值，并指出哪 4 項為 100． 【解】（ 1） ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2...1 2 3 4 2 5 6 4 7 8 6a a a ar r r r? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 48 ?? ……………… ..2 分 ∵ 48 4 64, ? ? ? ? ……………… ..4 分 【證明】（ 2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 12, 4 .nn Z T n?? ? ?時 ① 當(dāng) n=1 時， 1 2 1 3 5 7 9 1 1 4,T a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?等式成立 … .6 分 ② 假設(shè) n=k 時等式成立，即 12 4,kTk?? 那么當(dāng) 1nk??時， ? ? 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 5 1 2 7 1 2 9 1 2 1 11 2 1 k k k k k k kkT T a a a a a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?……… 8 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 8 1 8 8 4 8 5 8 4 8 8k k k r k k k r k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 4 4 1 ,kk? ? ? ? ? ?等式也成立 . 用心 愛心 專心 根據(jù)①和②可以斷定：當(dāng) 12, 4 .nn Z T n?? ? ?時 ………………… ...10 分 【解】（ 3） ? ?12 4 1 .12 1 , 12 2 4 1 。 （Ⅱ）若 122 2 4na a a? 對 n≥ 2 恒成立，求 a2的值 . 用心 愛心 專心 解：（ I）因 a1=2,a2=22,故 由此有 a1=2(2)0, a2=2(2)4, a3=2(2)2, a4=2(2)3, 從而猜想 an的通項為 *)N(2 1)2( ?? ?? na nn , 所以 a2xn= xn2)2(2? . (Ⅱ )令 xn= a2=2x2,故只需求 x2的值。 （ Ⅲ ） ? ? ? ? ? ?211 1 2 2 1 12 2 2 2 2 2nnn n n n na a a a a a a a??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 112nn ?? ? ? 14． (天津 20)（本小題滿分 12 分） 已知 數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ， 2 2a? ，且 11(1 )n n na q a qa??? ? ?( 2 0)nq?≥ ， ． （ Ⅰ ）設(shè) 1 ()n n nb a a n?? ? ? *N，證明 ??nb 是等比數(shù)列； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ Ⅲ ）若 3a 是 6a 與 9a 的等差中項，求 q 的值，并證明：對任意的 n?*N ， na 是 3na? 與 6na?的等差中項． （ Ⅰ ）證明：由題設(shè) 11(1 ) ( 2)n n na q a qa n??? ? ? ≥，得 11()n n n na a q a a??? ? ?， 即 1 2nnb qb n?? ， ≥ ． 又 1 2 1 1b a a? ? ? ， 0q? ，所以 ??nb 是首項為 1，公比為 q 的等比數(shù)列． （ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）， 211aa??， 32a a q??， ? ? 21 ( 2 )nnna a q n???? ≥． 將以上各式相加，得 21 1 ( 2 )nna a q q n?? ? ? ? ?… ≥．所以當(dāng) 2n≥ 時， 111111.nnq qa qnq?? ????? ??? ??， ， 上式對 1n? 顯然成立． （ Ⅲ ）解：由（ Ⅱ ），當(dāng) 1q? 時，顯然 3a 不是 6a 與 9a 的等差中項，故 1q? ． 由 3 6 9 3a a a a? ? ? 可得 5 2 2 8q q q q???，由 0q? 得 用心 愛心 專心 3611qq??? ， ① 整理得 3 2 3( ) 2 0qq? ? ?，解得 3 2q ?? 或 3 1q? （舍去） ． 于是 3 2q?? ． 另一方面， 2 1 1 33 ( 1 )11n n nnn q q qa a qqq? ? ?? ?? ? ? ???， 1 5 1 66 (1 )11n n nnn q q qa a qqq? ? ?? ?? ? ? ???． 由 ① 可得 36n n n na a a a n??? ? ? ? *N，． 所以對任意的 n?*N ， na 是 3na? 與 6na? 的等差中項 ． 15．（浙江 18）（本題 14 分）已知數(shù)列 ??nx 的首項 1 3x? ，通項 2nnx p nq??（ ,n N p q??為常數(shù)），且 1 4 5,x x x 成等差數(shù)列，求： （Ⅰ） ,pq的值； （Ⅱ）數(shù)列 ??nx 的前 n 項的和 nS 的公式。 5 分 （ Ⅱ ）數(shù)列 lnna 和 lnnb 分別是公差為 1lnq 和 2lnq 的等差數(shù)列． 用心 愛心 專心 由條件得 1112( 1 )ln ln22( 1 ) 21ln ln2nnn a qnn nn b q???? ??，即 11122 ln ( 1 ) ln2 ln ( 1 ) ln 2 1a n q nb n q n?? ?? ? ?． 6． （江西 19） 等差數(shù)列 {}na 的各項均為正數(shù)， 1 3a? ， 前 n 項和為 nS ， {}nb 為等比數(shù)列 , 1 1b? ，且 2264,bS? 33960bS? ． (1)求 na 與 nb ； (2)求和：121 1 1nS S S? ? ?． （ 1）設(shè) {}na 的公差為 d ， {}nb 的公比為 q ，則 d 為正整數(shù)， 3 ( 1)na n d? ? ? ， 1nnbq?? 依題意有 23322( 9 3 ) 9 6 0( 6 ) 6 4S b d qS b d q? ? ? ?? ? ? ??① 用心 愛心 專心 解得 2,8dq??? ??或65403dq? ?????? ???(舍去 ) 故 13 2 ( 1 ) 2 1 , 8 nnna n n b ?? ? ? ? ? ? （ 2） 3 5 ( 2 1 ) ( 2)nS n n n? ? ? ? ? ? ? ∴121 1 1 1 1 1 11 3 2 4 3 5 ( 2 )nS S S n n? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 2 4 3 5 2nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1(1 )2 2 1 2nn? ? ? ???3 2 34 2( 1)( 2)nnn??? ?? 7． （湖南 20） 數(shù)列 ??na 滿 足 ,2,0 21 ?? aa 222 ( 1 c o s ) 4 s in , 1 , 2 , 3 , ,22nn nna a n??? ? ? ? ? （ I）求 43,aa ，并求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ II）設(shè) 1 3 2 1kkS a a a ?? ? ? ?， 2 4 2kkT a a a? ? ? ?， 2 ()2 kk kSW k NT ????， 求使 1kW? 的所有 k 的值，并說明理由。 ②當(dāng) n=5時 , 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 中同樣不可能刪去 1 2 4 5,a a a a ，否則出現(xiàn)連續(xù)三項。 bn+2＜ b21?n , 解 法二： （Ⅰ）同解法一 . （Ⅱ）因為 b2=1, bn 方法二 由題設(shè)得：當(dāng) 2n? 時， 2 1 11 2 11 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnn n