【正文】 （ Ⅰ ）解：由 1 3x? ，得 23pq?? ， 又 44 24x p q??， 55 25x p q??，且 1 5 42x x x?? ，得 553 2 5 2 8p q p q? ? ? ?， 解得 1p? ， 1q? ． （ Ⅱ ） 解： 2( 2 2 2 ) (1 2 )nnSn? ? ? ? ? ? ? ? 1 ( 1)22 2n nn? ?? ? ? ． 16． （重慶 22）（本小題滿分 12 分，（Ⅰ）小問(wèn) 6 分 .（Ⅱ）小問(wèn) 6 分） 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {an}滿足 321 1 22 , ( N * )n n na a a a n??? ? ?. （Ⅰ）若2 1,4a?求 a3,a4,并猜想 a2020的值（不需證明） 。 解：（ I）因?yàn)?,2,0 21 ?? aa 所以 223 1 1(1 c o s ) 4 s in 4 4 ,22a a a??? ? ? ? ? ? 224 2 2(1 c o s ) 4 s i n 2 4 ,a a a??? ? ? ? ?一般地 , 當(dāng) 2 1( )n k k N ???= 時(shí)， 222 1 2 1 2 1( 2 1 ) 2 1[ 1 c o s ] 4 s in 4 ,22k k kkka a a? ?? ? ???? ? ? ? ? 即 2 1 2 1 ????所以數(shù)列 ? ?21ka? 是首項(xiàng)為 0、公差為 4 的等差數(shù)列， 因此 21 4( 1).kak? ?? 當(dāng) 2 ( )n k k N??= 時(shí)， 222 2 2 2[ 1 c o s ] 4 s in 2 ,22k k kkka a a? ?? ? ? ? ? 所以數(shù)列 ? ?2ka 是首項(xiàng)為 公比為 2 的等比數(shù)列，因此 2 ? 用心 愛(ài)心 專心 故數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為22( 1 ) , 2 1 ( ) ,2 , 2 ( )nnn n k k Nan k k N??? ? ? ? ??? ?? ??? （ II）由（ I）知， 1 3 2 1 0 4 4( 1 ) 2 ( 1 ) ,kkS a a a k k k?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 212 4 2 2 2 2 2 2 ,kkkkT a a a ?? ? ? ? ? ? ? ? ?12 ( 1) .22kk kkS kkW T ????? 于是 1 0,W? 2 1,W?3 3,2W? 4 3,2W? 5 5,4W? 6 1516W?. 下面證明 : 當(dāng) 6k? 時(shí)， ? 事實(shí)上 , 當(dāng) 6k? 時(shí)， 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 3 ) 0,2 2 2kk k k kk k k k k kWW? ?? ? ?? ? ? ? ?即 1 .kkWW? ? 又 6 1,W? 所以當(dāng) 6k? 時(shí)， ? 故滿足 1kW? 的所有 k 的值為 3,4,5. 8．（遼寧 20） （本小題滿分 12 分） 在數(shù)列 ||na ， ||nb 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè) ()nn nba??*N． （ Ⅰ ） 數(shù)列 ||nc 是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論； （ Ⅱ ） 設(shè)數(shù)列 |ln |na ， |ln |nb 的前 n 項(xiàng)和分別為 nS ， nT ．若 1 2a? ，21nnS nTn? ?，求數(shù)列 ||nc 的前 n 項(xiàng)和． 解：（ Ⅰ ） nc 是 等比數(shù)列 ． 若刪去 3a ，則 1 5 2 4a a a a? ? ? ，即 1 1 1 1( 4 ) ( ) ( 3 )a a d a d a d? ? ? ? ?化簡(jiǎn)得 230d ? ，因?yàn)?0?d ，所以 3a 不能刪去； 當(dāng) n≥ 6 時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。 bn+2 b21?n =(bn+12n)(bn+1+2n+1) b21?n =2n+1 +（ b2b1） +b1 =2n1+2n2+ ∴ 數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 1( 1) 1nna a c ?? ? ? *()nN? 。 。 。 (2) 由（ 1）得 1 1(1 ) ( )2nnnb n a c n?? ? ? 212 1 1 12 ( ) ( )2 2 2 nnnS b b b n? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 11 1 1 1( ) 2 ( ) ( )2 2 2 2 nnSn ?? ? ? ? 211 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2nnn ?? ? ? ? ?∴ 211 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) 2 [ 1 ( ) ] ( )2 2 2 2 2 2n n n nnS n n?? ? ? ? ? ? ? ? ?∴ 12 ( 2 )( )2 nnSn? ? ?∴ (3) 由 （ 1）知 1( 1) 1nna a c ?? ? ? 若 10 ( 1) 1 1nac?? ? ? ?，則 10 (1 ) 1nac ?? ? ? 10 1,aa? ? ?∵ 1*10 ( )1nc n Na?? ? ??∴ 由 1 0nc? ? 對(duì)任意 *nN? 成立，知 0c? 。 bn12n事實(shí)上，在數(shù)列 1 2 3 2 1, , , , , ,n n na a a a a a??中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去 2a ，則必有 1 3 2nna a a a ?? ? ? ，這與 0?d 矛盾；同樣若刪去 1na? 也有 1 3 2nna a a a ?? ? ? ，這與 0?d 矛盾；若刪去 32,naa? 中任意一個(gè)，則必有1 2 1nna a a a ?? ? ? ，這與 0?d 矛盾。12 分 9． （全國(guó)Ⅰ 19）（本小題滿分 12 分） 在數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ， 1 22nnnaa? ??． （ Ⅰ ）設(shè)12nn nab ??．證明：數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS ． 解：（ 1） 1 22nnnaa? ??， 1 1 122nnaa? ???， 1 1nnbb? ??， 則 nb 為 等差數(shù)列 ， 1 1b? ， nbn? ， 12nnan?? ． （ 2） 0 1 2 11 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnS n n??? ? ? ? ? ? 1 2 12 1 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnS n n?? ? ? ? ? ? 用心 愛(ài)心 專心 兩式相減，得 0 1 12 1 2 2 2 2 2 1n n n nnS n n?? ? ? ? ? ? ?． 10． （全國(guó)Ⅱ 18）（本小題滿分 12 分） 等差數(shù)列 ??na 中， 4 10a? 且 3 6 10a a a， ， 成等比數(shù)列，求數(shù)列 ??na 前 20 項(xiàng)的和 20S ． 解：設(shè)數(shù)列 ??na 的公差為 d ，則 34 10a a d d? ? ? ?， 64 2 1 0 2a a d d? ? ? ?， 10 4 6 10 6a a d d? ? ? ?． 7 分 當(dāng) 0d? 時(shí)， 20 420 200Sa??． 12 分 11． (山東 20)（本小題滿分 12 分） 將數(shù)列 ??na 中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 記表中的第一列數(shù) 1 2 4 7a a a a， ， ， ，構(gòu)成的數(shù)列為 ??nb ， 111ba??． nS 為數(shù)列 ??nb 的前n 項(xiàng)和，且滿足22 1( 2 )nn n nb nb S S ?? ≥． 用心 愛(ài)心 專心 （ Ⅰ ）證明數(shù)列 1nS??????成等差數(shù)列，并求數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)81 491a ??時(shí)，求上表中第 ( 3)kk≥ 行所有項(xiàng)的和． （ Ⅰ ）證明：由已知，當(dāng) 2n≥ 時(shí)，22 1nn n nbb S S ??， 又 12nnS b b b? ? ? ?， 所以 1212 ( ) 1()nnn n n nSSS S S S??? ???， 即 112( ) 1nnnnSSSS??? ?? ， 所以11 1 12nnSS???， 又 1 1 1 1S b a? ? ? ． 所以數(shù)列 1nS??????是首項(xiàng)為 1，公差為 12 的等差數(shù)列． 由上可知 1 1 11 ( 1)22n nnS ?? ? ? ?， 即 21nS n? ?． 所以當(dāng) 2n≥ 時(shí)，1 2 2 21 ( 1 )n n nb S S n n n n?? ? ? ? ? ???． 因此 1122( 1)nnb nnn???? ?????， 　 　 　 　 ， ．≥ （ Ⅱ ）解：設(shè)上表中從第三行起，每 行的公比都為 q ，且 0q? ． 因?yàn)?1 2 1 31 2 1 2 7 82?? ? ? ? ?， 所以表中第 1 行至第 12 行共含有數(shù)列 ??na 的前 78 項(xiàng)， 故 81a 在表中第 13 行第三列， 用心 愛(ài)心 專心