【正文】 用心 愛心 專心 03 數(shù)列 一、選擇題 1．（北京 7） ．已知等差數(shù)列 ??na 中， 2 6a? ， 5 15a? ，若 2nnba? ，則數(shù)列 ??nb 的前 5項和等于（ C ） A． 30 B． 45 C． 90 D． 186 2．（廣東 4） 記等差數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，若 S1=4,S4=20,則該數(shù)列的公差 d= （ B ） 3． （寧夏 8） 設等比數(shù)列 ??na 的公比 q=2，前 n 項和為 Sn，則24aS =（ C ） A． 2 B． 4 C． 215 D． 217 4． （江西 5） 在 數(shù)列 {}na 中， 1 2a? ， 1 1ln(1 )nnaa n? ? ? ?， 則 na? （ A ） A． 2 lnn? B． 2 ( 1)lnnn?? C． 2 lnnn? D． 1 lnnn?? 5． （全國Ⅰ 7）已知等比數(shù)列 {}na 滿足 1 2 2 336a a a a? ? ? ?， ，則 7a? （ A ） A． 64 B． 81 C． 128 D． 243 6． （福建 3）設 {}na 是等差數(shù)列，若 273, 13aa??，則數(shù)列 {}na 前 8 項和為 （ C ） Ａ． 128 Ｂ． 80 Ｃ． 64 Ｄ． 56 7． （上海 14）若 數(shù)列 ??na 是首項為 l ，公比為 32a? 的無窮等比數(shù)列，且 ??na 各項的和為 a，則 a 的 值是（ B ） Ａ． 1 Ｂ． 2 Ｃ． 12 Ｄ． 54 8． (天津 4) 若等差數(shù)列 ??na 的前 5 項和 5 25S ? ，且 2 3a? ，則 7a? （ B ） A． 12 B． 13 C． 14 D． 15 9． （ 浙江 4）已知 ??na 是等比數(shù)列， 41252 ?? aa ，則公比 q = ( D ) （ A） 21? （ B） 2? （ C） 2 （ D） 21 10． (重慶 1)已知｛ an｝為等差數(shù)列， a2+a8=12,則 a5等于 ( C ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 11． (陜西 4) 已知 {}na 是等差數(shù)列， 124aa??， 7828aa??，則該數(shù)列前 10 項和 10S 等于（ B ） 用心 愛心 專心 A． 64 B． 100 C． 110 D． 120 二、填空題 1．（安徽 15） 在數(shù)列 {}na 在中， 54 2nan??， 212 na a a a n b n? ? ? ?， *nN? ,其中 ,ab為常數(shù)，則 ab? － 1 2．（寧夏 13）已知 ??na 為 等差數(shù)列 ， 1322aa??， 6 7a? ，則 5a? ． 15 3． （江蘇 10）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的規(guī)律，第 n 行（ 3?n ）從左向右的第 3 個數(shù)為 2 62nn?? 4． （四川 16）設數(shù)列 ??na 中， 112 , 1nna a a n?? ? ? ?， 則通項 na? ______ ? ?1 12nn? ? _____。 三、解答題 1． （安徽 21） （本小題滿分 12 分） 設數(shù)列 ??na 滿足 *01, 1 , ,nna a a c a c c N?? ? ? ? ?其中 ,ac為實數(shù)，且 0c? （ Ⅰ ）求 數(shù)列 ??na 的通項公式 （ Ⅱ ）設 11,22ac??， *(1 ),nnb n a n N? ? ?,求 數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nS ； （ Ⅲ ）若 01na??對任意 *nN? 成立，證明 01c?? 解 (1) 方法一 ： 1 1 ( 1)nna c a? ? ? ?∵ ∴ 當 1a? 時， ? ?1na? 是首項為 1a? ，公比為 c 的等比數(shù)列。 11 ( 1) nna a c ?? ? ?∴ ，即 1( 1) 1nna a c ?? ? ?。當 1a? 時， 1na? 仍滿足上式。 ∴ 數(shù)列 ??na 的通項公式為 1( 1) 1nna a c ?? ? ? *()nN? 。 方法二 由題設得：當 2n? 時， 2 1 11 2 11 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnn n na c a c a c a a c????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 用心 愛心 專心 1( 1) 1nna a c ?? ? ?∴ 1n? 時， 1aa? 也滿足上式。 ∴ 數(shù)列 ??na 的通項公式為 1( 1) 1nna a c ?? ? ? *()nN? 。 (2) 由（ 1）得 1 1(1 ) ( )2nnnb n a c n?? ? ? 212 1 1 12 ( ) ( )2 2 2 nnnS b b b n? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 11 1 1 1( ) 2 ( ) ( )2 2 2 2 nnSn ?? ? ? ? 211 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2nnn ?? ? ? ? ?∴ 211 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) 2 [ 1 ( ) ] ( )2 2 2 2 2 2n n n nnS n n?? ? ? ? ? ? ? ? ?∴ 12 ( 2 )( )2 nnSn? ? ?∴ (3) 由 （ 1）知 1( 1) 1nna a c ?? ? ? 若 10 ( 1) 1 1nac?? ? ? ?，則 10 (1 ) 1nac ?? ? ? 10 1,aa? ? ?∵ 1*10 ( )1nc n Na?? ? ??∴ 由 1 0nc? ? 對任意 *nN? 成立，知 0c? 。下面證 1c? ，用反證法 方法一：假設 1c? ，由函數(shù) ()xf x c? 的函數(shù)圖象知，當 n 趨于無窮大時， 1nc? 趨于無窮大 1 11n a? ? ?∴ c 不能對 *nN? 恒成立，導致矛盾。 1c?∴ 。 01c??∴ 方法二：假設 1c? ， 1 11nc a? ? ?∵ ， 1 1lo g lo g 1nccc a? ? ?∴ 即 *11 lo g ( )1 n Na? ? ?? 恒成立 （＊） ,ac∵ 為常數(shù)， ∴ （＊）式對 *nN? 不能恒成立，導致矛盾， 1c?∴ 01c??∴ 2．（北京 20） （本小題共 13 分） 數(shù)列 ??na 滿足 1 1a? ， 21 ()nna n n a?? ? ? ?（ 12n?， ， ）， ? 是常數(shù)． （ Ⅰ ）當 2 1a?? 時，求 ? 及 3a 的值； 用心 愛心 專心 （ Ⅱ ）數(shù)列 ??na 是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由； （ Ⅲ ）求 ? 的取值范圍，使得存在正整數(shù) m ，當 nm? 時總有 0na? ． 解：（ Ⅰ ）由于 21 ( ) ( 1 2 )nna n n a n?? ? ? ? ? ， ，且 1 1a? ． 所以當 2 1a?? 時，得 12?? ? ? ， 故 3?? ． 從而 23 ( 2 2 3 ) ( 1) 3a ? ? ? ? ? ? ?． （ Ⅱ ）數(shù)列 ??na 不可能為等差數(shù)列，證明如下： 由 1 1a? ， 21 ()nna n n a?? ? ? ?得 2 2a ??? ， 3 (6 )(2 )a ??? ? ?， 4 (12 ) ( 6 ) ( 2 )a ? ? ?? ? ? ?． 若存在 ? ，使 ??na 為等差數(shù)列，則 3 2 2 1a a a a???，即 (5 )(2 ) 1? ? ?? ? ? ?， 解得 3?? ． 于是 21 12aa ?? ? ? ? ?， 43 (11 ) ( 6 ) ( 2 ) 24aa ? ? ?? ? ? ? ? ? ?． 這與 ??na 為等差數(shù)列矛盾 ．所以，對任意 ? ， ??na 都不可能是等差數(shù)列． （ Ⅲ ）記 2 ( 1 2 )nb n n n?? ? ? ? ， ，根據(jù)題意可知， 1 0b? 且 0nb? ，即 2?? 且2*()n n n? ? ? ? N，這時總存在 *0n?N ，滿足：當 0nn≥ 時， 0nb? ；當 0 1nn?≤ 時，0nb? ． 所以由 1n n na ba? ? 及 1 10a ?? 可知，若 0n 為偶數(shù)，則0 0na ?，從而當 0nn? 時， 0na? ；若 0n 為奇數(shù)，則0 0na ?，從而當 0nn? 時 0na? ． 因此“存在 *m?N ，當 nm? 時總有 0na? ”的充分必要條件是： 0n 為偶數(shù)， 記 0 2 ( 1 2 )n k k??， ，則 ? 滿足 22221( 2 ) 2 0( 2 1 ) 2 1 0kkb k kb k k???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???． 故 ? 的取值范圍是 2 2 *4 2 4 2 ( )k k k k k?? ? ? ? ? N． 3． （福建 20）（本小題滿分 12 分） 用心 愛心 專心 已知｛ an｝是正數(shù)組成的數(shù)列， a1=1，且點（ 1,nnaa? ）（ n? N*）在函數(shù) y=x2+1的圖象上 . (Ⅰ )求數(shù)列｛ an｝的通項公式； (Ⅱ )若列數(shù)｛ bn｝滿足 b1=1,bn+1=bn+2na ，求證： bn bn+2＜ b2n+1. 解法一： （Ⅰ）由已知得 an+1=an+即 an+1an=1，又 a1=1, 所以數(shù)列｛ an｝是以 1 為首項，公差為 1 的等差數(shù)列 . 故 an=1+(a1) 1=n. (Ⅱ )由（Ⅰ）知： an=n